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2014年12月 9日 (火)

直角三角形内の正方形の数は?(愛知淑徳中学 2010年)

たくさんの正方形のタイルを縦、横に並べて大きな長方形を作ります。

次に、この長方形の縦、横の辺と対角線で大きな直角三角形を1つ作ります。

最後に、この大きな直角三角形に含まれるタイルの個数を数えます。

たとえば、下の図のように、縦4個、横6個のタイルを並べると、

大きな直角三角形とは太線の三角形で、含まれるタイルの個数は、8個です。

     Pic_2558q

では、タイルを縦に21個、横に51個並べて長方形を作ったとき、

直角三角形に含まれるタイルの個数を求めなさい。

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縦4個、横6個のタイルを並べた図は、下の図1のように、

2つの黄色い三角形と、青い長方形の3つの部分に分けられます。

 

   Pic_2559a

 

直角三角形に含まれるタイルは、青い長方形の部分の枚数と、

黄色い三角形に含まれる枚数の合計となります。

ここで、黄色い三角形の縦と横の個数の比、2:3は、

並べたタイルの個数の比 4:6 です。

このことから、縦21個、横51個のタイルを並べたときは、

21:51=7:17 なので、

下の図2のように考えればよいことがわかります。

Pic_2560a_2

 

青い長方形の部分に含まれるタイルの個数は、

17×7×3=357個 です。

残る黄色い直角三角形の中に何個あるかが問題です。

この直角三角形は、縦と横の比が 7 : 17 なので、

下の図3のように、7段に分けて考えます。

 

Pic_2561a

すなわち、1段目~7段目に何個のタイルがあるか調べます。

タイルを縦1cm、横1cmとして考え、

直角三角形の縦と横が7cm、17cmということから、

対角線とそれぞれの段の交点6ヶ所について、

左はしから何cmなのか調べると、下の図4のようになります。

 

Pic_2562a

 

1段目にはタイルはありません。(すべて対角線と交わっている)

2段目は対角線との交点が17/7cm=2.4・・cm地点なので

2個のタイルがあることがわかります。

3段目は対角線との交点が34/7cm=4.8・・cm地点なので

4個のタイルがあることがわかります。

4段目は対角線との交点が51/7cm=7.2・・cm地点なので

7個のタイルがあることがわかります。

5段目は対角線との交点が68/7cm=9.7・・cm地点なので

9個のタイルがあることがわかります。

6段目は対角線との交点が85/7cm=12.1・・cm地点なので

12個のタイルがあることがわかります。

7段目は対角線との交点が102/7cm=14.5・・cm地点なので

14個のタイルがあることがわかります。

よって、図2の黄色い直角三角形1つには、

2+4+7+9+12+14=48個 のタイルがある

ということが求められます。

ゆえに、タイルを縦21個、横51個ならべたとき、直角三角形に

含まれるタイルの数は、

357+48×3=501個 です。

<別解>

対角線で切られない正方形ではなく、

対角線で切られる正方形の数について考えると、下の図5を参考に考えると、

 

       Pic_25622a

 

縦の辺の正方形の個数 + 横の辺の正方形の個数 - 1

として数えることができます。

縦7個、横17個の正方形を並べて作った長方形の

対角線によって切られる正方形の個数は、

7+17-1=23個 です。

縦21個、横51個の正方形を並べて作った長方形の

対角線によって切られる正方形の個数は、この3倍で

23×3=69個 です。

(21+51-1=71個 ではないので注意)

よって、直角三角形に含まれるタイルの個数は、

(21×51-69)÷2=501個 となります。

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コメント

直角三角形の斜辺が通過するマスの数は(21-1)+(51-1)-(3-1)+1=69個なので、(21×51-69)÷2=501個というのはどうでしょう。。

別解2と同じでした。
失礼いたしました。。

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