直角三角形内の正方形の数は？（愛知淑徳中学 2010年）

たくさんの正方形のタイルを縦、横に並べて大きな長方形を作ります。

次に、この長方形の縦、横の辺と対角線で大きな直角三角形を１つ作ります。

最後に、この大きな直角三角形に含まれるタイルの個数を数えます。

たとえば、下の図のように、縦４個、横６個のタイルを並べると、

大きな直角三角形とは太線の三角形で、含まれるタイルの個数は、８個です。

　　　　　

では、タイルを縦に２１個、横に５１個並べて長方形を作ったとき、

直角三角形に含まれるタイルの個数を求めなさい。

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縦４個、横６個のタイルを並べた図は、下の図１のように、

２つの黄色い三角形と、青い長方形の３つの部分に分けられます。

　　　

直角三角形に含まれるタイルは、青い長方形の部分の枚数と、

黄色い三角形に含まれる枚数の合計となります。

ここで、黄色い三角形の縦と横の個数の比、２：３は、

並べたタイルの個数の比 ４：６ です。

このことから、縦２１個、横５１個のタイルを並べたときは、

２１：５１＝７：１７ なので、

下の図２のように考えればよいことがわかります。

青い長方形の部分に含まれるタイルの個数は、

１７×７×３＝３５７個 です。

残る黄色い直角三角形の中に何個あるかが問題です。

この直角三角形は、縦と横の比が ７ ： １７ なので、

下の図３のように、７段に分けて考えます。

すなわち、１段目～７段目に何個のタイルがあるか調べます。

タイルを縦１ｃｍ、横１ｃｍとして考え、

直角三角形の縦と横が７ｃｍ、１７ｃｍということから、

対角線とそれぞれの段の交点６ヶ所について、

左はしから何ｃｍなのか調べると、下の図４のようになります。

１段目にはタイルはありません。（すべて対角線と交わっている）

２段目は対角線との交点が１７/７ｃｍ＝２．４・・ｃｍ地点なので

２個のタイルがあることがわかります。

３段目は対角線との交点が３４/７ｃｍ＝４．８・・ｃｍ地点なので

４個のタイルがあることがわかります。

４段目は対角線との交点が５１/７ｃｍ＝７．２・・ｃｍ地点なので

７個のタイルがあることがわかります。

５段目は対角線との交点が６８/７ｃｍ＝９．７・・ｃｍ地点なので

９個のタイルがあることがわかります。

６段目は対角線との交点が８５/７ｃｍ＝１２．１・・ｃｍ地点なので

１２個のタイルがあることがわかります。

７段目は対角線との交点が１０２/７ｃｍ＝１４．５・・ｃｍ地点なので

１４個のタイルがあることがわかります。

よって、図２の黄色い直角三角形１つには、

２＋４＋７＋９＋１２＋１４＝４８個 のタイルがある

ということが求められます。

ゆえに、タイルを縦２１個、横５１個ならべたとき、直角三角形に

含まれるタイルの数は、

３５７＋４８×３＝５０１個 です。

＜別解＞

対角線で切られない正方形ではなく、

対角線で切られる正方形の数について考えると、下の図５を参考に考えると、

　　　　　　　

縦の辺の正方形の個数　＋　横の辺の正方形の個数　－ １

として数えることができます。

縦７個、横１７個の正方形を並べて作った長方形の

対角線によって切られる正方形の個数は、

７＋１７－１＝２３個 です。

縦２１個、横５１個の正方形を並べて作った長方形の

対角線によって切られる正方形の個数は、この３倍で

２３×３＝６９個 です。

（２１＋５１－１＝７１個 ではないので注意）

よって、直角三角形に含まれるタイルの個数は、

（２１×５１－６９）÷２＝５０１個 となります。

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