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2014年12月20日 (土)

周囲の長さは?(函館ラ・サール中学 2009年)

たて1cm、横2cmの長方形の紙を下の図のように規則的にならべていきます。

Pic_1663q

(1)6番目の図形の周囲の長さ(図の太線部分)は何cmですか?

(2)図形の周囲の長さが150cmになるのは何番目の図形ですか?

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(1)太線の長さは、下の図1のように、

図形がぴったり入る長方形の周りの長さに等しいことがわかります。

 Pic_16641a

 1番目は、1cm×2cmの長方形の周りの長さ

 2番目は、3cm×4cmの長方形の周りの長さ

 3番目は、5cm×6cmの長方形の周りの長さ

 4番目は、7cm×8cmの長方形の周りの長さ

として、規則的に測ることができるので、

 6番目は、11cm×12cmの長方形の周りの長さと等しく、

       (11+12)×2=46cm となります。

 

(2)□番目の長方形が、(たて+横)×2=150cmとなるので、

たて+横=75cm とわかります。

さらに、たてと横の差は1cmなので、

たて=37cm、横=38cm となります。

番号と横の長さは、2倍の関係になっているので、

太線の長さが150cmになるのは、38÷2=19番目 です。

 

<別解>

(1)1番目の長方形の周囲の長さは、6cmです。

2番目以降の図形の周囲の長さは、下の図2のように、

図形を青線部分と黄色線部分に分けて考えると、

Pic_16632a

黄色い線の長さは6cmで、青線部分の長さはそれぞれ

 2番目・・・2×4

 3番目・・・4×4

 4番目・・・6×4

となるので、6番目の図形の青線部分に当たる長さは、

 10×4=40cm となります。

よって、6番目の図形の周囲の長さは、

青線部分+黄色線部分=40+6=46cm です。

 

(2)□番目の図形の周囲の長さは、(□-1)×2×4+6

として求めることができるので、

 (□-1)×2×4+6=150cm となるのは、

 □=19 より、19番目です。

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