移動する点の規則性は？（開成中学 2008年）

１辺５ｃｍの正五角形ＡＢＣＤＥがあります。

下の図１のように正五角形の各頂点、およびそれぞれの辺に頂点から１ｃｍずつ印がついています。

いま、２５個ある印のうち、点Ｅ  には黒丸を置き、それ以外の５ヶ所に白丸を置きます。

　 

白丸は正五角形の周上を反時計回りに秒速１ｃｍで動きます。

また、黒丸は正五角形の対角線上をＥ → Ｂ → Ｄ → Ａ → Ｃ →  Ｅ → Ｂ → ・・・  の順で３秒ごとに次の頂点に着くように、一定の速さで動きます。

黒丸と白丸が同時に動き出し、黒丸と白丸が重なると、その白丸が消えます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）動き出して１５秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方を下の図２に書きこみなさい。

　

（２）動き出してからちょうど１８秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方は何通りありますか。

（３）下の図３のように、白丸が５個連続でならんでいる（白丸の間に印または黒丸がない）ような置き方を考えます。

このとき、動き出してからすべての白丸が消えるまでにかかる時間が最も短い場合の白丸の置き方の例を図２に書きこみ、そのときにかかる時間を答えなさい。

　 

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

（１）黒丸が３秒で次の頂点に達するので、

１５秒では１５÷３＝５個の頂点を移動することがわかります。

動く白丸の数が５個なので、各頂点で１個の白丸が黒丸と重なれば、

すべての白丸が消えます。

まず、黒丸がＥ  → Ｂ に移動するときに消える白丸は、

Ｂから３個手前の、下の図４のような位置になります。

　

同様にして、Ｂ →  Ｄ に移動して消える白丸は、Ｄ から６個手前、

Ｄ → Ａ に移動して消える白丸は、Ａ から９個手前、

Ａ → Ｃ  に移動して消える白丸は、Ｃ から１２個手前、

Ｃ → Ｅ に移動して消える白丸は、Ｅ  から１５個手前にあればよく

下の図５のような位置になります。

　

（２）１８秒で黒丸が移動できる頂点は、１８÷３＝６個です。

（１）より１つ多くなり、Ｅ  → Ｂ → Ｄ → Ａ → Ｃ → Ｅ → Ｂ  と移動します。

最後の頂点Ｂに移動したときに消える白丸の位置は、

頂点Ｂから１８個手前の印で、下の図６のようになります。

（１）の図５の５個の場所と重なっていないので、

この６ヶ所の位置から５ヶ所を選べばよく、

白丸の置き方は５通り  あることがわかります。

（３）黒丸と重なって消える白丸の位置は、

下の図７のように７個ずつ移動しながら存在することがわかります。

このことを利用して、連続する５個の白丸ができる位置を探します。

始まりが頂点Ｅ  なので、Ｅ  から始まる数直線を書いてみると、

下の図８のようになり、黒丸と重なる白丸の位置は、

７の倍数のときとなります。（数字の振り方に注意しましょう）

まず最初に黒丸が頂点Ｂに移動したときに重なる白丸は、最初「７」の位置です。

次に、頂点Ｄに移動したときに重なる白丸は「１４」の位置です。

これを順番に調べていきます。

印が２５個周期であることから、２５ずつ調べます。

１～２５まで・・・７、１４，２１

２６～５０まで・・・２８、３５、４２、４９

５１～７５まで・・・５６、６３、７０

このように７の倍数を書けますが、連続しているか判断しにくいので、

２６以降を１～２５に書き直します。

すなわち、「２８」なら、図８の数直線では「３」と同じです。

２６～５０までは、２５を引き、５１～７５までは５０を引き、

といったように調べていくと、

１～２５まで・・・７、１４，２１

２６～５０まで・・・２８（３）、３５（１０）、４２（１７）、４９（２４）

５１～７５まで・・・５６（６）、６３（１３）、７０（２０）

７６～１００まで・・・７７（２）、８４（９）、・・・

この辺りまで調べると、（  ）内だけ周期的に調べればよいことがわかり、

下のように書けます。

１～２５まで・・・７、１４，２１

２６～５０まで・・・３、１０、１７、２４

５１～７５まで・・・６、１３、２０

７６～１００まで・・・２、９、１６、２３

１０１～１２５まで・・・５、１２、１９

１２６～１５０まで・・・１、８、１５、２２　

多くの数が出てきたところで、連続した数がないか調べると、

５，６，７，８，９，１０  の連続した６個が現れていることが見つけられ、

ここから５個を選べばよく、下の図９のような位置になります。

（１２，１３，１４，１５，１６  や ２０，２１，２２，２３，２４ もありますが、

　５，６，７，８，９，１０の方が黒丸と重なるのが早いです） 

「８」の位置まで移動するのに、黒丸が移動した頂点の数は、

　　　　３＋４＋３＋４＋３＋２＝１９個  で、

１つの頂点への移動に３秒かかるので、

連続して５個ならんだ白丸が消えるまでの最短の時間は、

　　　　１９×３＝５７秒  と求められます。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

どう解く？中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦！

全国１５０中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題！

公式、法則、受験算数の極意

分野別６６項目へ

お解きさんの受験算数日記！

１分で解ける算数

イメージで見る算数！