魔方陣の難問！ （東大寺学園中学 2006年）

４つの円ア、イ、ウ、エが下の図のように交わり、１０個の部分に分かれています。

この１０個の部分に０～９までの１０個の数字を同じ数は使わないように、

しかも各円内の数字の和が同じ値（Ａとする）になるようにわりあてます。

たとえば図１では、

円（ア）の和は、９＋０＋３＋４＋７＝２３

円（イ）の和は、０＋３＋４＋７＋２＋６＋１＝２３

円（ウ）の和は、３＋４＋２＋６＋８＝２３

円（エ）の和は、４＋７＋６＋１＋５＝２３

となり、Ａ＝２３  です。

（１）下の図２の□にあてはまる数はいくつですか？

（２）

①Ａの値のうち、最も小さい数はいくつですか？

②下の図３において、Ａの値が最も小さくなるように□に数字をあてはめてください。

（３）下の図４の□に数をあてはめてください。

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　（１）図２は、下の図５のように円イの中の数がすべてわかるので

円イの中の数の和＝３＋１＋４＋５＋２＋７＋０＝２２となり、

円ア、ウ、エにある数との差を求めることで、

□に入る数がわかりますが、ここで、円の重なった部分に注目すると、

下の図６のように

円アと円イでは、黄色い部分が共通なので、

残りの  Ｘ と ２＋７＋０ が等しいことがわかります。

すなわち、Ｘ＝９  です。

同様に、Ｙ＝３＋５＋０＝８、Ｚ＝３＋１＋２＝６  と求められます。　

　

（２）①４つの円の関係を考えると、円イの７個の数の和＝Ａです。

１０個の数の和は、０＋１＋２＋・・・＋９＝４５  なので、下の図７のように、

円イ以外の数をＸ，Ｙ，Ｚとすると、

Ａ＋（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＝４５  となります。

ここで、Ａの値が最も小さくなるようにするには、

Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝９＋８＋７  として大きい方から順に数を除けば

Ａの値が最も小さくなることがわかります。

このとき、Ａの値は、４５－（９＋８＋７）＝２１  です。

『Ａの値が２１より小さくなることもあるのでは？！』

と考える人がいるかもしれません。

では、Ａが２１より小さくなったらどうなるか考えましょう。　

下の図８のように、円イを大きい黄色い円で表し、Ａの値を書くと、

　

Ａ＝２１のときは、成り立っています。

Ａ＝２０にすると、Ａが１減っているので、外側の数を増やしてあげないといけませんが、

図のように同じ数を使うことになり、問題の条件に合わなくなります。 

よって、Ａの値のうち、最も小さい数は２１ということです。　　

　

（２）②  図３で、Ａの値が最も小さくなるのは、円ウに「８」が書かれているので、

①の場合、すなわちＡ＝２１にすることができます。

下の図９のＸ，Ｙには、「９」か「７」が入ります。

Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓには、残る「２」、「３」、「５」、「６」のどれかが入ります。

次にまずわかるのは、下の図１０のように円イとウを比べると、

８＝４＋Ｑ＋１  となるので、Ｑ＝３  とわかります。　

次に、円イとエを比べてみると、下の図１１のように、

Ｙ＝４＋Ｐ＋０  ということがわかります。

ここで、Ｙは「９」か「７」でした。

　Ｙ＝９ のとき、Ｐ＝５ です。

　Ｙ＝７  のとき、Ｐ＝３ です。しかし３はすでにＱの場所にあるので

Ｙ＝９、Ｐ＝５  ということになります。したがって、Ｘ＝７です。

最後に円アとイを比べてみると、下の図１２のように

７＝０＋Ｓ＋１  なので、Ｓ＝６  とわかります。最後に残ったＲ＝２で、

それぞれの円の数の和Ａ＝２１になり、下の図１３のようになります。

　

（３）まず、すでに書かれている数「５」、「４」が含まれる円アとイについて比べてみると、

下の図１４のように、

５＝４＋Ｓ＋Ｕ  ということから、ＳとＵは「０」と「１」のどちらかということがわかります。　

次に、Ｓ，Ｕが含まれる円イとエについて比べてみると、下の図１５のように、

Ｙ＝Ｐ＋Ｔ＋４  となることがわかります。

０，１，４，５が現れているので、残っている数は、

２，３，６，７，８，９ の６個で、 Ｙ＝Ｐ＋Ｔ＋４  を満たすのは、

Ｐ，Ｔ に小さい方から２，３をいれたときにＹ＝９  となる場合です。

よって、Ｙ＝９で、Ｐ，Ｔには２か３が入ることがわかります。　

Ｘ，Ｒ，Ｑには、残った６，７，８のどれかが入ることになります。

次に、Ｘについて図８のように考えると、下の図１６のように、

Ｘの値とＡの値の関係ができます。それぞれ調べると、

Ｘ＝６のとき、下の図１７のように

円ウの数の和は、最も大きいときでも、６＋４＋３＋８＋１＝２２となり、

Ａ＝２５にはならないので、Ｘは「６」ではありません。　

次に、Ｘ＝７のとき、下の図１８のように 

円ウの数の和は、最も大きいときで、７＋４＋３＋８＋１＝２３なので、

Ａ＝２４にならないので、Ｘ＝７でもありません。　

よって、Ｘ＝８のとき、下の図１９のようになり、

円ウの数の和が、８＋４＋３＋７＋１のとき、Ａ＝２３となり、

４つの円の数、それぞれの和が２３となります。

ゆえに、すべての数は下の図２０のようになります。

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