長方形を正方形に切り分けると・・・（筑波大学附属駒場中学 2003年）

長方形の紙をハサミで何回か切り、

切り分けたすべての部分が正方形になるようにします。

ただし、元の長方形も切り分けられた正方形も、

辺の長さはすべてセンチメートル単位で測ると整数になるものとします。

たとえば、横５ｃｍ、たて ３ｃｍの長方形の紙を

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

下の図のように４個の正方形になります。このうち２個だけは同じ大きさです。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）面積が５６ｃ㎡ の長方形の紙は何種類かありますが、それぞれの紙を正方形の個数が最も少なくなるように切ります。

このうち、正方形の個数が最も少ない場合の個数を答えなさい。

（２）ある長方形の紙は ６個の正方形に切り分けられ、そのうち２個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の２辺の長さを求めなさい。

（３）ある長方形の紙は１４個の正方形に切り分けられ、そのうち２個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の２辺の長さを求めなさい。

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（１）５６＝１×５６＝２×２８＝４×１４＝７×８ で、

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

　１×５６ のとき、１辺１ｃｍの正方形が５６個できます。

　２×２８ のとき、１辺２ｃｍの正方形が２８個できます。

　４×１４ のとき、

　　１辺４ｃｍの正方形が３個、１辺２ｃｍの正方形が２個できます。

　７×８ のとき、

　　１辺７ｃｍの正方形が１個、１辺１ｃｍの正方形が７個できます。

よって、正方形の個数が最も少ないときの個数は、

４×１４の場合で、５個です。

（２）６個に切り分けられる長方形は、下の図１の形になります。

　　　　

２辺の長さは、８ｃｍ と １３ｃｍ です。

（３）図１に、正方形の番号を入れると下の図２のように

ジグザグになることがわかります。

　　　　　

２番の正方形まで並べたときの２辺は、１ｃｍ と ２ｃｍ

３番の正方形まで並べたときの２辺は、２ｃｍ と ３ｃｍ

４番の正方形まで並べたときの２辺は、３ｃｍ と ５ｃｍ

５番の正方形まで並べたときの２辺は、５ｃｍ と ８ｃｍ

となっていて、次の正方形の２辺の長さは、

　前の長方形の長い方の辺の長さと、

　前の長方形の２辺の長さの合計の長さ

になっています。

６番目の長方形は、８ｃｍ と ５＋８＝１３ｃｍ

７番目の長方形は、１３ｃｍ と ８＋１３＝２１ｃｍ

８番目の長方形は、２１ｃｍ と １３＋２１＝３４ｃｍ

９番目の長方形は、３４ｃｍ と ２１＋３４＝５５ｃｍ

１０番目の長方形は、５５ｃｍ と ３４＋５５＝８９ｃｍ

１１番目の長方形は、８９ｃｍ と ５５＋８９＝１４４ｃｍ

１２番目の長方形は、１４４ｃｍ と ８９＋１４４＝２３３ｃｍ

１３番目の長方形は、２３３ｃｍ と １４４＋２３３＝３７７ｃｍ

１４番目の長方形は、３７７ｃｍ と ２３３＋３７７＝６１０ｃｍ

と求められます。

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