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2014年12月 3日 (水)

長方形を正方形に切り分けると・・・(筑波大学附属駒場中学 2003年)

長方形の紙をハサミで何回か切り、

切り分けたすべての部分が正方形になるようにします。

ただし、元の長方形も切り分けられた正方形も、

辺の長さはすべてセンチメートル単位で測ると整数になるものとします。

たとえば、横5cm、たて 3cmの長方形の紙を

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

下の図のように4個の正方形になります。このうち2個だけは同じ大きさです。

 

このとき、次の問に答えなさい。

1

(1)面積が56c㎡ の長方形の紙は何種類かありますが、それぞれの紙を正方形の個数が最も少なくなるように切ります。

このうち、正方形の個数が最も少ない場合の個数を答えなさい。

(2)ある長方形の紙は 6個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

(3)ある長方形の紙は14個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

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(1)56=1×56=2×28=4×14=7×8 で、

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

 1×56 のとき、1辺1cmの正方形が56個できます。

 2×28 のとき、1辺2cmの正方形が28個できます。

 4×14 のとき、

  1辺4cmの正方形が3個、1辺2cmの正方形が2個できます。

 7×8 のとき、

  1辺7cmの正方形が1個、1辺1cmの正方形が7個できます。

よって、正方形の個数が最も少ないときの個数は、

4×14の場合で、5個です。

 

(2)6個に切り分けられる長方形は、下の図1の形になります。

    Pic_4098a

2辺の長さは、8cm と 13cm です。

 

(3)図1に、正方形の番号を入れると下の図2のように

ジグザグになることがわかります。

     Pic_4099a

2番の正方形まで並べたときの2辺は、1cm と 2cm

3番の正方形まで並べたときの2辺は、2cm と 3cm

4番の正方形まで並べたときの2辺は、3cm と 5cm

5番の正方形まで並べたときの2辺は、5cm と 8cm

となっていて、次の正方形の2辺の長さは、

 前の長方形の長い方の辺の長さと、

 前の長方形の2辺の長さの合計の長さ

になっています。

6番目の長方形は、8cm と 5+8=13cm

7番目の長方形は、13cm と 8+13=21cm

8番目の長方形は、21cm と 13+21=34cm

9番目の長方形は、34cm と 21+34=55cm

10番目の長方形は、55cm と 34+55=89cm

11番目の長方形は、89cm と 55+89=144cm

12番目の長方形は、144cm と 89+144=233cm

13番目の長方形は、233cm と 144+233=377cm

14番目の長方形は、377cm と 233+377=610cm

と求められます。

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