はね返る場所はどこ？（鎌倉女学院中学 ２０１４年）

１辺８０ｃｍの正方形の内部を点Ｐ が頂点Ａ を出発して次のルールに従って、

まっすぐ動きます。

　【　ルール　】

・　各辺に当たるとはね返る

・　各頂点に当たると止まる

　　　　　　　　

上の図１のように、点Ｐ が辺に当たる角を 【あ】、はね返る角を 【い】とするとき、

次の問に答えなさい。

（１）【あ】と【い】が等しく、

   点Ｐ が１回目に頂点Ｂ から３０ｃｍのところではね返るとすると、

   ４回目にはね返る場所は、どの頂点から何ｃｍのところですか。

   ただし、頂点は最も近い頂点を答えなさい。

（２）（１）のとき、点Ｐ は止まるまでに何回はね返りますか。

（３）【い】が【あ】の半分になるとき、

   ４回目にはね返るまでの点Ｐ の道筋が下の図２のようになりました。

   角Ｑの大きさ を答えなさい。

　　　　　　　　

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（１）点Ｐ の移動は、下の図３ のように、

１回目に頂点Ｂ から３０ｃｍ の点Ｅ ではね返り、

２回目に頂点Ａ から ６０ｃｍ の点Ｆ ではね返ります。

３回目は点Ｅ から ６０ｃｍ の点Ｇ ではね返りたいところですが、

ＢＣ＝８０ｃｍ なので、点Ｐ はＣＤ上の点Ｈ ではね返り、ＢＣ上の点 Ｉ ではね返ります。

　　　　　　

ＣＧ＝１０ｃｍ なので、Ｃ I　＝１０ｃｍ です。

よって、４回目にはね返る場所は、頂点Ｃ から１０ｃｍのところです。

（２）３０ｃｍ ずつ辺ＡＤ，ＢＣ で反射するので、

反射の様子は、下の図４のようになります。

辺の長さ ８０ｃｍ と、３０ｃｍ の最小公倍数の２４０ｃｍ のところで点Ｐ が止まります。

　　　　

はね返った回数は、

　辺ＡＤ，ＢＣ ・・・　８－１（最後の頂点に到達したとき）＝７回

  辺ＡＢ，ＣＤ ・・・　２回

より、７＋２＝９回 です。

（３）下の図５のように、Ｑ～Ｗ までの角度を定めると、

　　　

角Ｒ＝Ｑ/２

角Ｓ＝９０度－Ｑ/２

角Ｔ＝角Ｓ÷２＝４５度－Ｑ/４

角Ｕ＝９０度－角Ｔ＝４５度＋Ｑ/４

角Ｖ＝角Ｕ÷２＝２２．５度＋Ｑ/８

角Ｗ＝角Ｑ（錯角）

なので、角Ｗ＋角Ｖ＋８５．５＝１８０度より、

　Ｑ＋２２．５＋Ｑ/８＋８５．５＝１８０

　Ｑ＋Ｑ/８＝７２

　Ｑ＝６４度

と求められます。

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