はね返る場所はどこ?(鎌倉女学院中学 2014年)
1辺80cmの正方形の内部を点P が頂点A を出発して次のルールに従って、
まっすぐ動きます。
【 ルール 】
・ 各辺に当たるとはね返る
・ 各頂点に当たると止まる
上の図1のように、点P が辺に当たる角を 【あ】、はね返る角を 【い】とするとき、
次の問に答えなさい。
(1)【あ】と【い】が等しく、
点P が1回目に頂点B から30cmのところではね返るとすると、
4回目にはね返る場所は、どの頂点から何cmのところですか。
ただし、頂点は最も近い頂点を答えなさい。
(2)(1)のとき、点P は止まるまでに何回はね返りますか。
(3)【い】が【あ】の半分になるとき、
4回目にはね返るまでの点P の道筋が下の図2のようになりました。
角Qの大きさ を答えなさい。
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(1)点P の移動は、下の図3 のように、
1回目に頂点B から30cm の点E ではね返り、
2回目に頂点A から 60cm の点F ではね返ります。
3回目は点E から 60cm の点G ではね返りたいところですが、
BC=80cm なので、点P はCD上の点H ではね返り、BC上の点 I ではね返ります。
CG=10cm なので、C I =10cm です。
よって、4回目にはね返る場所は、頂点C から10cmのところです。
(2)30cm ずつ辺AD,BC で反射するので、
反射の様子は、下の図4のようになります。
辺の長さ 80cm と、30cm の最小公倍数の240cm のところで点P が止まります。
はね返った回数は、
辺AD,BC ・・・ 8-1(最後の頂点に到達したとき)=7回
辺AB,CD ・・・ 2回
より、7+2=9回 です。
(3)下の図5のように、Q~W までの角度を定めると、
角R=Q/2
角S=90度-Q/2
角T=角S÷2=45度-Q/4
角U=90度-角T=45度+Q/4
角V=角U÷2=22.5度+Q/8
角W=角Q(錯角)
なので、角W+角V+85.5=180度より、
Q+22.5+Q/8+85.5=180
Q+Q/8=72
Q=64度
と求められます。
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