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2014年11月18日 (火)

はね返る場所はどこ?(鎌倉女学院中学 2014年)

1辺80cmの正方形の内部を点P が頂点A を出発して次のルールに従って、

まっすぐ動きます。

 【 ルール 】

・ 各辺に当たるとはね返る

・ 各頂点に当たると止まる

        Pic_4081q

上の図1のように、点P が辺に当たる角を 【あ】、はね返る角を 【い】とするとき、

次の問に答えなさい。

(1)【あ】と【い】が等しく、

   点P が1回目に頂点B から30cmのところではね返るとすると、

   4回目にはね返る場所は、どの頂点から何cmのところですか。

   ただし、頂点は最も近い頂点を答えなさい。

(2)(1)のとき、点P は止まるまでに何回はね返りますか。

(3)【い】が【あ】の半分になるとき、

   4回目にはね返るまでの点P の道筋が下の図2のようになりました。

   角Qの大きさ を答えなさい。

        Pic_4082q

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(1)点P の移動は、下の図3 のように、

1回目に頂点B から30cm の点E ではね返り、

2回目に頂点A から 60cm の点F ではね返ります。

3回目は点E から 60cm の点G ではね返りたいところですが、

BC=80cm なので、点P はCD上の点H ではね返り、BC上の点 I ではね返ります。

      Pic_4083a

CG=10cm なので、C I =10cm です。

よって、4回目にはね返る場所は、頂点C から10cmのところです。

 

(2)30cm ずつ辺AD,BC で反射するので、

反射の様子は、下の図4のようになります。

辺の長さ 80cm と、30cm の最小公倍数の240cm のところで点P が止まります。

    Pic_4084a

はね返った回数は、

 辺AD,BC ・・・ 8-1(最後の頂点に到達したとき)=7回

  辺AB,CD ・・・ 2回

より、7+2=9回 です。

(3)下の図5のように、Q~W までの角度を定めると、

   Pic_4085a

角R=Q/2

角S=90度-Q/2

角T=角S÷2=45度-Q/4

角U=90度-角T=45度+Q/4

角V=角U÷2=22.5度+Q/8

角W=角Q(錯角)

なので、角W+角V+85.5=180度より、

 Q+22.5+Q/8+85.5=180

 Q+Q/8=72

 Q=64度

と求められます。

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