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2014年11月 5日 (水)

アとイとウはそれぞれいくつ?(開成中学 2014年)

3つの整数ア、イ、ウがあります。

アとイの最大公約数は21、イとウの最大公約数は35、

アとウの最大公約数は98です。

アとイとウの合計は1000以下です。

アとイとウはそれぞれいくつですか。

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問題文から、21はアの約数、98もアの約数、

言い換えると、アは21と98の倍数、

つまりアは21と98の公倍数になります。

同様に、イは21と35の公倍数、ウは35と98の公倍数、

それぞれの最小公倍数を調べると、

ア=294、イ=105、ウ=490となりますが、

ア、イ、ウの合計が1000以下なので、

イを最小公倍数よりひとつ上の公倍数である

105×2=210にした場合も、

ア、イ、ウの合計は1000以下になります。

ところが、

ア=294との最大公約数が42になり、

ウ=490との最大公約数が70になってしまい不適当、

これ以外はア、イ、ウの合計が1000を超えてしまい不適当、

したがって、ア=294、イ=105、ウ=490。

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