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2014年11月 1日 (土)

立体魔方陣とその展開図(開成中学 2014年)

図1のように1から8までの数字が書かれている8枚の正三角形を用いて、図2のような立体を作ります。ただし、図1の正三角形の黒丸の頂点は立体の点Aまたは点Fのどちらかに重ね、すべての数字が表から見えるようにします。

図1

1

2

また、立体の6個の頂点A,B,C,D,E,Fについて、それぞれの頂点に集まっている4枚の正三角形に書かれている数の合計はすべて同じになっています。

(1)1つの頂点に集まっている4枚の正三角形に書かれている数の合計を求めなさい。

(2)辺BCを1辺とする2枚の正三角形に書かれている数の合割と、辺DEを1辺とする2枚の正三角形に書かれている数の合計は等しくなります。その理由が書かれた次の文章の(空欄)をうめなさい。

「どちらも(        )すると、同じ値になるから」

(3)三角形ABCに書かれている数が1であるとします。8が書かれている三角形として可能性があるものをすべて選びなさい。

(4)この立体の展開図で、1,2,3の書かれている三角形の配置が図3のようになるとき、他の数字を向きも正確に解答欄の展開図にかきこみなさい。

3

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(1)1から8までの合計は、

(1+8)×8÷2=36

この立体の頂点6個に集まる三角形の数の和を考えると、

1つの三角形は頂点が3つなので、3回加算され、

36×3=108

頂点が6個なので、1個の和は

108÷6=18

(2)辺CDを1辺とする2枚の正三角形または辺BEを1辺とする2枚の正三角形が、和が18になるための共通な数になるので、

18から辺CDを1辺とする(または辺BEを1辺とする)2枚の正三角形の数字の和を引き算

(3)8を1と辺が共通しない位置に置くと、

 (2)の原理から、1+○=8+□にならなくてはならず、

○と□の組み合わせは2~7では不可能なので、

1と8は辺を共通にするしかなく、

可能性があるのは、三角形ACD、三角形AEB、三角形FBC

(4)

4

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