立体魔方陣とその展開図（開成中学 ２０１４年）

図１のように１から８までの数字が書かれている８枚の正三角形を用いて、図２のような立体を作ります。ただし、図１の正三角形の黒丸の頂点は立体の点Ａまたは点Ｆのどちらかに重ね、すべての数字が表から見えるようにします。

図１

また、立体の６個の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆについて、それぞれの頂点に集まっている４枚の正三角形に書かれている数の合計はすべて同じになっています｡

（1）1つの頂点に集まっている４枚の正三角形に書かれている数の合計を求めなさい。

（2）辺ＢＣを１辺とする２枚の正三角形に書かれている数の合割と、辺DEを１辺とする２枚の正三角形に書かれている数の合計は等しくなります。その理由が書かれた次の文章の（空欄）をうめなさい。

「どちらも（　　　　　　　　）すると、同じ値になるから」

（3）三角形ABCに書かれている数が１であるとします。８が書かれている三角形として可能性があるものをすべて選びなさい。

（4）この立体の展開図で、1，2，3の書かれている三角形の配置が図３のようになるとき、他の数字を向きも正確に解答欄の展開図にかきこみなさい。

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（１）１から８までの合計は、

（１＋８）×８÷２＝３６

この立体の頂点６個に集まる三角形の数の和を考えると、

１つの三角形は頂点が３つなので、３回加算され、

３６×３＝１０８

頂点が６個なので、１個の和は

１０８÷６＝１８

（２）辺ＣＤを１辺とする２枚の正三角形または辺ＢＥを１辺とする２枚の正三角形が、和が１８になるための共通な数になるので、

（１８から辺ＣＤを１辺とする（または辺ＢＥを１辺とする)２枚の正三角形の数字の和を引き算）

（３）８を１と辺が共通しない位置に置くと、

　（２）の原理から、１＋○＝８＋□にならなくてはならず、

○と□の組み合わせは２～７では不可能なので、

１と８は辺を共通にするしかなく、

可能性があるのは、三角形ＡＣＤ、三角形ＡＥＢ、三角形ＦＢＣ

（４）

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