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2014年11月

2014年11月30日 (日)

面積の差は?(鎌倉女学院中学 2014年)

下の図は正方形とおうぎ形を組み合わせたものです。

このとき、「あ」の面積と「い」の面積の差は何c㎡ですか。

円周率は3.14とします。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

あ=赤-黄

い=青-赤  なので、

い=4×4÷2-4×4×3.14×1/8

  =8-6.28=1.72c㎡

あ=4×4×3.14×1/8-4×4÷2÷2

  =6.28-4=2.28c㎡

あ-い=2.28-1.72=0.56c㎡

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2014年11月29日 (土)

これ、どんな言葉を表しますか?(八雲学園中学 2013年)

数と記号を組み合わせて言葉を表しました。

えいご・・・・・・1→ 1← 2↓#

はるやすみ・・・・・・6・ 9↑ 8・ 3↑ 7←

わかば・・・・・・0・ 2・ 6・#

たのしいひび・・・・・・4・ 5↓ 3← 1←  6← 6←#

となるとき、

『1・ 9←  2・# 4↓ 1↑』はどんな言葉を表しますか。

Ilm11_ad01020s

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あいうえおの50音表を考えると・・・

「あいうえお」の上から ・ ← ↑ → ↓ にそれぞれ対応し、

「あかさたなはま・・・・」の右から 1 2 3 4 5・・・・に対応しています。

濁点は#

1・は「あ」、 9←は「り」  2・#は「が」 4↓は「と」 1↑は「う」 

にそれぞれ対応し、

「ありがとう」 になります。

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三角形EBCの面積は?(明治大学付属明治中学 2014年)

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図のような角A、角Bが直角である台形ABCDがあり、

対角線ACとBDは、点Eで垂直に交わっています。

AB=60cm、AD=45cm、BD=75cmのとき、

三角形EBCの面積は何c㎡ですか。

1

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----------------------------------------------------

図の△黄と△緑と△赤は相似です。

2

△黄と△緑の相似比は45:60=3:4

面積比は3×3:4×4=9:16 なので、

△緑の面積=45×60÷2×16/25=864c㎡

ED:EBも9:16になり、BC=45×16/9=80cm

△緑と△赤の相似比は、60:80=3:4 となるので、

面積比は9:16

したがって、△EBCの面積=864×16/9=1536c㎡

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2014年11月28日 (金)

算数オリンピック問題に挑戦!式を完成させて!(第8回トライアル問題より)

0、1、2、3、4、5、6の7つの数字を1つずつ下の○に入れて

式を完成させてください。

○×○=○○=○○÷○

Bo4

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○を左から、ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、とすると、

ア×イ=ウエ=オカ÷キ

0が入れられるのは、エ か カ ですが、

エが0だとカも0になるので、0はエではなく、カ

エが5だと、アかイのどちらかが5になってしまい、

エは5ではありません。

オが5だと、キは2でしかないのですが、

すると、ウエ=25となってしまうので、

オは5ではありません。

ウ=5でもありません。(50以上の積はないので)

したがって、キ=5

オ0÷5が2けたなので、オ=6

ウ=1、エ=2

ア=3(または4)、イ=4(または3)

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点Bの軌跡はどんな形?(横浜雙葉中学 2014年)

Pic_4091q_2

上の図のように直角二等辺三角形を直線上に沿って、

すべらないように回転させたとき、

辺BC が再び直線上にくるまでに点B が通った曲線の長さは何cmですか。

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直角三角形は下の図1のように動き、点Bの動きは赤線のようになります。

  Pic_4092a

直角二等辺三角形の2つの角は45度なので、

2つの赤い曲線は、中心角が 180-45=135度 の扇形の弧になっていて、

その長さは、

8×2×3.14×135/360 ×2

=12×3.14 = 37.68cm

と求められます。

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2014年11月27日 (木)

所持金の多い順に並べて!( 帝塚山学院泉ヶ丘中学 2014年)

A,B,C,D,Eの5人の所持金についてたずねたところ,

5人はそれぞれ次のように答えました。

A:「私の所持金は,B君とC君の所持金の合計と同じです。」

B:「私の所持金は,C君の所持金より少ないです。」

C:「私の所持金は,E君の所持金より少ないです。」

D:「私の所持金とC君の所持金を合わせても,A君の所持金より少ないです。」

E:「私の所持金は,A君とB君の所持金の合計と同じです。」

5人を所持金の多い順にA一B一C一D一Eのように並べてください。

Apa0307s

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順番に式で表すと、

A=B+C・・・・・・①

B<C・・・・・・②

C<E・・・・・・③

A>C+D・・・・・④

E=A+B・・・・・⑤

①と⑤より

E>A

①と②より

E>A>C>B

①と④より

B>D なので、

E>A>C>B>D

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操作計算のこたえは?(豊島岡女子学園中学 2014年)

ある機械 X があります。この機械 X は、整数が書かれたカードを入れると、

【カードに書かれた整数を5で割り、商と余りを加える】

という計算をして、その計算の答えが書かれたカードを出します。

ただし、機械 X は、商も余りも整数で計算をして、

割り切れるときは余りを 0 として計算します。

この機械 X にカードを入れ、出てきたカードに書かれた整数が 5 より小さくなるまで、

出てきたカードをさらに機械 X に入れるという作業を行います。

たとえば、【121】と書かれたカードを機械 X に入れると、

【25】と書かれたカードが出てきます。

25 は 5 より大きいので、その出てきたカードをさらに機械 X に入れると、

【5】と書かれたカードが出てきます。

5 は 5 と等しいので、その出てきたカードをもう一度機械 X に入れると、

【1】と書かれたカードが出てきます。

1 は 5 より小さいので、ここで作業が終了します。

したがって、最初のカードに書かれた整数が【121】のとき、

作業を終了するまでに機械 X に 3回カードを入れることになります。

Ilm06_bc02006s

このとき、次の問に答えなさい。

(1)最初のカードに書かれた整数が【277】のとき、作業を終了するまでに機械 X に何回カードを入れることになりますか。 

(2)最初のカードに書かれた整数が 【 ア 】のとき、2回目にカードを入れたところ、【4】のカードが出てきて作業が終了 します。このとき、【 ア 】に当てはまる整数として考えられる数は、全部で何個ありますか。

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(1)実際に計算すると、

1回目 : 277÷5=55あまり2 → 55+2=57

2回目 : 57÷5=11あまり2 → 11+2=13

3回目 : 13÷5=2あまり3 → 2+3=5

4回目 : 5÷5=1

となり、4回とわかります。

 

(2)どのような作業になったかというと、

1回目 : 【 ア 】÷5=○あまり△ → ○+△

2回目 : (○+△)÷5=□あまり☆ → □+☆=4

ということです。

 

□+☆=4 となる、(□、☆)の組は、

 (1,3)、(2,2)、(3,1)、(4,0)

が考えられ、それぞれの場合の ○+△ は、

 (1,3) → 5×1+3=8

 (2,2) → 5×2+2=12

 (3,1) → 5×3+1=16

 (4,0) → 5×4=20

となります。

 

○+△=8 の場合、(○、△)として考えられる組は、

5で割った余りは、0,1,2,3,4 の5通りしかないので、

 (4,4)、(5,3)、(6,2)、(7,1)、(8,0)

の5組があり、それぞれの場合の【 ア 】は、

 24,28,32,36,40

になります。

 

○+△=12 の場合、(○、△)として考えられる組は、

 (8,4)、(9,3)、(10,2)、(11,1)、(12,0)

の5組があり、それぞれの場合の【 ア 】は、

 44,48,52,56,60

になります。これは、○+△=8の場合と○+△=12の場合で

【 ア 】が同じ数にはならないことを示しており、

○+△=16,20 の場合も5通りで、【 ア 】に当てはまる整数

として考えられる数は、5×4=20個 です。

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2014年11月26日 (水)

3の倍数は何個ある?(本郷中学 2014年)

2014年1月1日を 20140101 という8ケタの整数で表すことにします。

したがって、2014年9月26日は 20140926で、2014年11月14日は 20141114 となります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)2014年2月の日付を用いて作った整数のうち、3の倍数は何個ありますか。

(2)2014年2月、5月、8月、11月の日付を用いて作った整数のうち、3の倍数は合わせて何個ありますか。

(3)2014年1月から12月までの日付を用いて作った整数のうち、3の倍数は合わせて何個ありますか。

Ilm03_aa08014s

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(1)2014年2月の日付を用いて作れる整数は、

20140201 ~ 20140228 までの28個です。

3の倍数の判別は、全てのケタの数を足したときに3で割り切れるかどうかで分かるので、

20140201 → 2+1+4+2+1=10 → 3で割ると1余るとわかります。

よって、20140201 ~ 20140228 までの場合、

01+2=3、3+3=6、6+3=9・・・・と下2ケタを見れば3の倍数かどうかわかり、

3,6,9,12,・・・,27 のときの 9個 です。

(2)5月は、20140501 ~ 20140531 

8月は、20140801 ~ 20140831

11月は、20141101 ~ 20141130 で、

 20140501 → 3で割ると1余る → 10個

 20140801 → 3で割ると1余る → 10個

 20141101 → 3で割ると1余る → 10個

なので、2月、5月、8月、11月の日付を用いて作った整数のうち、

3の倍数になるのは、9+10+10+10=39個 です。

(3)(2)までの手順で、3で割り切れる月は、

20140101 → 3で割り切れる → 1,4,7,・・・,31の11個

20140401 → 3で割り切れる → 10個 (4月は30日まで)

20140701 → 3で割り切れる → 11個

20141001 → 3で割り切れる → 11個

3で割ると2余る月は、

20140301 → 3で割ると2余る → 2,5,8,・・・,29の10個

20140601 → 3で割ると2余る → 10個

20140901 → 3で割ると2余る → 10個

20141201 → 3で割ると2余る → 10個

で、以上を合計すると、

 39+43+40=122個

が 3の倍数です。

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2014年11月25日 (火)

算数オリンピック問題に挑戦!長さの比は?(第12回トライアル問題より)

四角形ABCDの対角線のACとBDの交わる点をOとします。

三角形ABDの面積は三角形BCDの面積の1/3で、

AO=2cm、DO=3cmです。

COの長さはDOの長さの何倍ですか。

1_3

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A、CからDBに垂直な線をおろし、AE、CFとします。

2_3
三角形ABDと三角形BCDの面積比が1:3より

AE:CF=AO:CO=1:3で

AO:DO=2:3より

CO:DO=6:3=2:1

したがって、2倍です。

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何人で収穫すればいい?(普連土学園中学 2011年)

普連土りんご農園に収穫期がやってきました。

10人ですると16日で収穫を終え,15人ですると8日で収穫を終えます。

10日で収穫を終えるには,何人ですればよいですか。

ただし,りんごは毎日同じ数だけ実が熟すものとします。

2191

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Bandicam_20141125_093740940

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合計した角度は?(早稲田大学高等学院中学部 2014年)

円周上に等間隔で7つの点をとり、図のように結んだとき、

角●の合計した角度は何度になりますか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

円の中心から図のように線を結ぶと、

△黄と合同な二等辺三角形が7つできます。

2

△黄の頂角は360÷7×2なので、

それ以外の2つの底角は、180-720/7=540/7度

●の合計=540/7×7=540度

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2014年11月24日 (月)

不思議な数の規則性(立教池袋中学 2012年)

下のように、4を順番に何回かかけた数を求めて、その数の下2ケタの数を考えます。このとき、次の問に答えなさい。

 

 1番目              4×4=   16

 2番目           4×4×4=   64

 3番目         4×4×4×4=  256

 4番目      4×4×4×4×4= 1024

 5番目    4×4×4×4×4×4= 4096

 6番目 4×4×4×4×4×4×4=16384

 

(1) 37番目の数の下2ケタの数はいくつですか

(2)1番目から55番目までの数の下2ケタの数だけすべてたすと、いくつになりますか。

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----------------------------------------------------

(1)規則性を探します。下2ケタの数は、

 7番目 : 84×4 より、36

 8番目 : 36×4 より、44

 9番目 : 44×4 より、76

10番目 : 76×4 より、04

11番目 : 04×4 より、16

となることから、下2ケタの数は、

 16→64→56→24→96→84→36→44→76→04

の10個のくり返しとわかるので、

37番目の数の下2ケタの数は、7番目の 36 です。

 

(2)16→64→56→24→96→84→36→44→76→04

の10個をすべて足すと、

2つずつの和は80と180になり

80+80+180+80+80=500

となるので、1番目から55番目までの和は、

500×5+80+80+96=2756

となります。

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算数オリンピック問題に挑戦!車の走った距離は?(第6回ジュニア、ファイナル問題より)

A地点からB地点までの距離は16kmあります。

A地点からB地点まで40人の生徒が車とかけ足で移動します。

車には10人しか乗れません。車の速度はかけ足の速度の3倍です。

まず車は10人の生徒を乗せてA地点を出発し、

同時に車に乗れない残りの生徒もかけ足でA地点を出発します。

車はB地点に到着後すぐに折り返しA地点に向かい

途中で出会った生徒をまた10人乗せて、

B地点に到着後すぐに折り返して……を繰り返します。

さて、全部の生徒をB地点まで運ぶのに車は全部で何km走りましたか。

ただし、車の乗り降りや折り返しにかかる時間は考えないものとし、

かけ足の速度は一定とします。

720 Trp1012s

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----------------------------------------------------

1_2

図1のように最初に10人を乗せた車がB地点を折り返して、

駆け足の生徒に会うまでに、

車と生徒で合計AB間の距離の2倍

16×2=32km進むことになります。

このとき車の速さは駆け足の3倍ですから

32kmのうち車の走った距離は32×3/4=24 km

つまりA地点から24-16=8kmの地点で会うことになります。

次の10人を乗せて車がB地点を折り返して

駆け足の生徒に会うまでに走る距離は

8×2×3/4=12km

残りはB地点まで4km

さらに次の10人を乗せてB地点に行き、

また折り返して生徒に会うまでに

4×2×3/4=6km走り、

最後の10人を乗せて残りの2km走って

B地点に全員到着となります。

車の走った距離は

24+12+6+2=44km

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どの図形ならしきつめられますか?(千葉県立千葉中学 2013年)

Pic_3546q_2

上の図1に示す①~⑦の図形があります。これらの図形を下の図2、図3  の長方形と正方形のワクの中に入れることを考えます。なお、図1、図2のます目は同じ大きさの正方形です。

   Pic_3547q

(1)図1の7つの図形を図2、図3のそれぞれのワクの中に重ねずにすき間なくしきつめます。ただし、図2、図3のどちらにも  ①  の図形がすでに置かれています。②~⑦の図形のしきつめ方と図形の番号を書き入れてください。なお、⑥の図形を裏返しには使えません。

(2)図1の①③④⑥⑦ の図形の中から1つ選び、その図形だけを何枚か使って、図2  と図3  のワクの中に重ねずにすき間なくしきつめることを考えます。図2、図3にすでにかかれている①の図形は取り除いて考えます。図1の①③④⑥⑦の図形のうち、図2のワクの中にしきつめることはできるが、図3のワクの中にしきつめることはできない図形はどれでしょうか。また、その図形を図3のワクの中にしきつめることができない理由を答えてください。

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(1)1例として、下の図4、図5のようになります。

  Pic_3548a

他の答えもありますね。l

(2)①の図形が図2、図3のワクを共にしきつめることが

できるのは明白でしょう。

その①の図形を③、④の図形は下の図6のように

しきつめることができるので、

       Pic_3549a

①で可能なことは、③、④でも可能ということになります。

次に、⑥の図形は裏返すことができないので、

90度の直角を作ることができず、

図2、図3のワクにすき間なくしきつめることができません。

ということは、最後に残ったが答えとなります。

⑦の正方形は、図2のワクにすき間なくしきつめることはできます。

マス目自体が⑦の正方形の形です。

図3の正方形の1辺の長さが、⑦の正方形の1辺の長さの

整数倍ではないので、図3のワクを⑦の正方形ですき間なく

しきつめることはできません。

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2014年11月22日 (土)

1ユーロは何円でしたか?(2013年 雙葉中学)

海外旅行に行きました。13万円の所持金を、できるだけドルに換えて、残りは円のまま持っていました。最初に250ドルを使いました。次に1000ドルをユ-ロに換えると、ちょうど768ユーロでした。 540ユーロを使い、使わなかったドルもユ-ロも円に換えると、残りの所持金は全部で47284円でした。1ユーロは何円でしたか。お金を交換するときの比率は、旅行中は変わりません。また、交換の手数料は考えません。割り切れないときは小数第1位を四捨五入しましょう。

Ilm07_aa09011s

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線分図にして整理してみると、

1

減ったお金は、

使った250ドルと540ユーロだけであることがわかります。

1ドルは、768÷1000=0.768ユーロ

250ドルは、250×0.768=192ユーロ

使ったお金の合計は、192+540=732ユーロ

これが、130000-47284=82716円の相当します。

したがって、1ユーロは 82716÷732=113円 です。

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食塩水の濃度は何%?(甲陽学院中学 2010年)

水そうに給水口が付いていて、給水口を開けると水そうに1分間あたり 3%の食塩水が100g 入ります。また、水そうは十分に大きく、食塩水があふれ出ることはないものとして、次の問に答えなさい。

(1)はじめに水そうに 9%の食塩水700g が入っているとき、給水口を開けてから 5分後の水そうの食塩水の濃度を求めなさい。

(2)水そうを空にしてから、濃さも重さも分からない食塩水を入れました。その後、給水口を開けて水そうに食塩水を入れていくと、給水口を開けてから 4分後の水そうの食塩水の濃度は 6%で、給水口を開けてから 10分後の水そうの食塩水の濃度は 5%でした。はじめに水そうに入れた食塩水の濃度と重さを求めなさい。

Cdc037s

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(1)9%の食塩水700g と 3%の食塩水500g を混ぜたときの濃度を求めればよいので、

下の図1のてんびん図より、

    Pic_4088a

3%から9%の間の 6% を 7:5 に分ければよく、

食塩水の濃度は、

  3+{6÷(7+5)}×7=6.5%

です。

 

(2)4分後から10分後にかけては、

6%の食塩水□g に3%の食塩水が 600g 供給されて、5%になっているので、

下の図2のようなてんびん図を描くことができ、

    Pic_4089a

5-3=2、6-5=1 なので、600×2=□×1 より、

□=1200g とわかります。

4分後に 6%の食塩水が1200g の状態にあるので、

はじめの食塩水は、1200-400=800g です。

濃度がわからない食塩水800g に 3%の食塩水400g を加えると、

6%の食塩水 1200g になるので、下の図3のてんびん図を描くことができ、

    Pic_4090a

400 : 800 = 1 : 2 なので、

6-3 : □-6 = 2 : 1 で、

最初の食塩水は、7.5%800g と求められます。

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2014年11月21日 (金)

2つの噴水の周期は?(慶應義塾中等部 2014年)

ある池に  2つの噴水A,Bがあります。

噴水Aは、水を60秒間ふき出して、30秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。

噴水Bは、水を80秒間ふき出して、70秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。

このとき・・・・・・

(1)噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから、次に同時にふき出し始めるまでに、何分何秒かかりますか。

(2)噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから28分間で、2つの噴水が同時にふき出している時間の合計は何分何秒ですか。

Sstac032s

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(1)噴水Aは、60+30=90秒のサイクル、

噴水Bは、80+70=150秒のサイクル なので、

噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから、

次に同時にふき出し始めるまでにかかる時間は、

90と150の最小公倍数の450秒、すなわち、

7分30秒です。

 

(2)450秒間で、A,Bが同時に水をふき出している時間は、下の図1のように

 Pic_3972a

160秒間あります。

28分=28×60=1680秒 で、

1680÷450=3あまり330秒 なので、

28分間で、A,Bが同時に水をふき出している時間は、

160×3+60+50+30=620秒=10分20秒 です。

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表面積と体積は?(明星中学 2010年)

Pic_4087q

上の図のように、直方体に底面の半径が2cmで高さが20cmの円柱2個がきっちりと入った容器があります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)円柱1個の表面積を求めなさい。

(2)この容器に水は全部で何立方cm入りますか。ただし、円柱の中には水は入りません。

(3)この容器に水が入っていない状態から、円柱1個を12cm、残りの円柱1個を5cm、それぞれ底から真上に持ち上げ、上から 208.6立方cmの水を入れるとき、水面の高さは何cmになりますか。ただし、円柱の中には水は入りません。

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(1)底面積×2=2×2×3.14×2=8×3.14

側面積=4×3.14×20=80×3.14

よって、円柱の表面積は、

(80+8)×3.14=88×3.14=276.32c㎡

です。

(2)直方体の体積=4×8×20=640㎥

円柱2個の体積=2×2×3.14×20×2=502.4c㎥

より、入る水の体積は、

640-502.4=137.6c㎥

です。

(3)底面から5cmまでの水の体積=4×8×5=160c㎥ で、

さらに、208.6-160=48.6c㎥ の水を入れることができ、

底面から5cm~12cmまでに入る水の体積は、

 (4×8-2×2×3.14)×7=(32-12.56)×7

=19.44×7 → 48.6より大きい

48.6÷19.44=2.5 より、水の高さは、

5+2.5=7.5cm

になります。

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2014年11月20日 (木)

操作計算の規則性は?(須磨学園中学 2011年)

★から☆までの整数の各位の数字の和を(★,☆)と表します。

たとえば、

(11,14)=(1+1)+(1+2)+(1+3)+(1+4)=14

(123,125)=(1+2+3)+(1+2+4)+(1+2+5)=21

となります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)(1,50)を求めなさい。

(2)(1,□)が1000を超えるような□に入る整数のうち、最も小さい整数を答えなさい。

(3)(100,999)を求めなさい。

Mpsb1101cs

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(1)1から50まで、一の位の数の和は、

 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)×5=45×5=225

十の位の数の和は、

 1×10+2×10+3×10+4×10+5=105

以上より、(1,50)=225+105=330 です。

 

(2)規則性を探りましょう。

 (1,10)=45+1=46

 (1,20)=45×2+12=102 (46+56)

 (1,30)=45×3+33=168 (102+66)

 (1,40)=45×4+64=244 (168+76)

 (1,50)=330 (244+86)

となっているので、以降は

 (1,60)=330+96=426

 (1,70)=426+106=532

 (1,80)=532+116=648

 (1,90)=648+126=774

となります。

 (91,100)=9×9+45+1=127

なので、

 (1,100)=774+127=901

です。

 

(101,110)=45+1+1×10=56

(111,120)=(11,20)+10=66

となり、901+56+66=1023 で、ここで1000を超えます。

 

120→3 119→11 118→10 で、3+11+10=24より、

118で初めて1000を超えることがわかります。

 

 (3)(2)より、(1,99)=900 で、(0,99)=900 です。

このことから、

 (100,199)=900+1×100=1000

 (200,299)=900+2×100=1100

 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 (900,999)=900+9×100=1800

となるので、

 (100,999)=1000+1100+1200+・・・+1800

          =(1000+1800)×9÷2

          =12600

と求められます。

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最短ルートは何通り?(フェリス女学院中学 2003年)

下の図のように正方形をいくつか組み合わせて図形を作りました。

(1)図の点Bから点Cへ最短ルートで行く方法は何通りありますか。

(2)図の点Aから点Cへ最短ルートで行く方法は何通りありますか。

 

 Pic_1818q_2

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(1)点Bから点Cへ最短で行くルートは、下の図1のように

     Pic_1819a

14通り の行き方があることがわかります。

(2)点Aから点Cへ最短で行くルートは、下の図2のように

 Pic_1820a

62通り の行き方があることがわかります。

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リンゴとナシの個数は?(桐朋中学 2014年)

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ある店で、リンゴとナシを何個かずつ売りました。

1日目は、

リンゴはリンゴ全体の個数の5割、ナシはナシ全体の個数の4割が売れました。

2日目は、

残ったリンゴとナシを売りました。ナシは全て売れましたが、

リンゴは1日目に売れたナシと同じ個数だけ売れて、42個残りました。

2日目に売れたリンゴとナシの合計の個数は、

1日目に売れたリンゴとナシの合計の個数より18個少なくなりました。

はじめにあったリンゴとナシの個数はそれぞれ何個ですか。

Ilm23_ba02001sIlm23_fa02004s

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リンゴ5割の個数 = ナシ4割の個数+42個 なので、

1日目、2日目に売れたそれぞれの個数は、下の図1のようになります。

Pic_4086a

1日目に売れた個数 = ナシ8割 + 42個

2日目に売れた個数 = ナシ10割

で、2日目の方が1日目より18個少ないので、

  ナシ2割の個数 = 42-18 = 24個

とわかるので、

  ナシの総数 = 24×5 = 120個

  リンゴの総数 = (24×2+42)×2 = 180個

と求められます。

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2014年11月19日 (水)

算数オリンピック問題に挑戦!最大の和はいくつ?(第5回ジュニア大会、トライアル問題より)

下の展開図を組み立てたとき、

1つの頂点に集まる3つの面に書かれた数の和のうち、

最大な和はいくつですか?

2

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図のように、3+5+6=14 です。

3


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はじめから数えて何番目?(立教池袋中学 2014年)

ある規則にしたがって、下のように 2,3,5,7,11 が並んでいます。

2,3,5,7,11,2,2,3,3,5,5,7,7,11,11,2,2,2,3,3,3,…

このとき、次の問に答えなさい。

(1)はじめから数えて、131番目の数はいくつですか。

(2)11が初めて11個連続で並ぶのは、はじめから数えて何番目から何番目までですか。

Student148613_150

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(1)2,3,5,7,11 → 5個

2,2,3,3,5,5,7,7,11,11 → 10個

・・・のように、

5の倍数ずつのカタマリとして考えると、

 5+10+15+20+25+30=105

 5+10+15+20+25+30+35=140

なので、7個連続のカタマリの、うしろから10番目がはじめから数えて131番目で、

うしろから7個の11があるので、

うしろから10番目の求める数は、 です。

(2)11個連続で並ぶカタマリは、11×5=55個のカタマリで、

 5+10+15+・・・+55=(5+55)×11÷2=330

なので、

320番目から330番目までの11個に11があります。

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2014年11月18日 (火)

直方体で立方体を作ると・・・(桜蔭中学 2005年)

たて2.5cm、横10/7cm、高さ2cmの直方体があります。

この直方体をすべて同じ向きにすき間なく並べて立方体を作りました。

作ることができる立方体のうち、最も小さいものは1辺何cmで、

直方体を何個使って作ることができますか。

Ripo1

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たて2.5cm、横10/7cm、高さ2cmの直方体を積み重ねるので

2.5、10/7、2 の最小公倍数が、

できる立方体の1辺の長さです。

2.5 と 2 の最小公倍数は、10です。

10/7 と 10の最小公倍数も、10です。

よって、最も小さい立方体の1辺の長さは10cmです。

1辺10cmの立方体が、

たて2.5cm、横10/7cm、高さ2cmの直方体が

何個使われているかというと、

たて・・・10÷2.5=4個

よこ・・・10÷10/7=7個

高さ・・・10÷2=5個

       Pic_1370a

ゆえに、4×7×5=140個 となります。

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正方形をいくつに区切っている?(カリタス女子中学 2010年)

下の図1は、大きな正方形のたてと横をそれぞれ  4つに区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものです。

        Pic_3466q

下の図2は、同じように大きな正方形のたてと横をそれぞれ区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものの一部を表したものです。

図2の一番下の段が、大きな正方形の中でも一番下の段になっている部分になっています。

        Pic_3467q

(1)図2のとき、大きな正方形のたてと横を何個に区切っていますか。

(2)図2のアはいくつですか。

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(1)与えられている情報が、一番下の段と、その上の段の数

しかないということは、その2つを比べよう!ということです。

図1で、一番下の段と、その上の段の数を比べると、

下の図3のように、差が9 ですが、

最初の数【1】までたどると、差は11です。

          Pic_3468a

これと同様に、図2において、一番下の段と、

その上の段の数の差は、93 あるので、下の図4のように

       Pic_3469a

最初の数【1】のとなりの数は、95差がある【96】です。

96÷4=24 より、図2のとき、下の図5のように

       Pic_3470a_2

大きな正方形のたてと横を、24+1=25個

区切っていることがわかります。

 

(2)(1)より、一番外側には、25個の数があることがわかり、

外側から1つ内側に入ると、23個ずつの数があり、

さらに1つ内側に入ると、21個ずつの数があります。

すると、下の図6のようなうずまきで考えることができ、

 Pic_3471a

アに入る数は、96+22×4+20+3=207 です。

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はね返る場所はどこ?(鎌倉女学院中学 2014年)

1辺80cmの正方形の内部を点P が頂点A を出発して次のルールに従って、

まっすぐ動きます。

 【 ルール 】

・ 各辺に当たるとはね返る

・ 各頂点に当たると止まる

        Pic_4081q

上の図1のように、点P が辺に当たる角を 【あ】、はね返る角を 【い】とするとき、

次の問に答えなさい。

(1)【あ】と【い】が等しく、

   点P が1回目に頂点B から30cmのところではね返るとすると、

   4回目にはね返る場所は、どの頂点から何cmのところですか。

   ただし、頂点は最も近い頂点を答えなさい。

(2)(1)のとき、点P は止まるまでに何回はね返りますか。

(3)【い】が【あ】の半分になるとき、

   4回目にはね返るまでの点P の道筋が下の図2のようになりました。

   角Qの大きさ を答えなさい。

        Pic_4082q

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(1)点P の移動は、下の図3 のように、

1回目に頂点B から30cm の点E ではね返り、

2回目に頂点A から 60cm の点F ではね返ります。

3回目は点E から 60cm の点G ではね返りたいところですが、

BC=80cm なので、点P はCD上の点H ではね返り、BC上の点 I ではね返ります。

      Pic_4083a

CG=10cm なので、C I =10cm です。

よって、4回目にはね返る場所は、頂点C から10cmのところです。

 

(2)30cm ずつ辺AD,BC で反射するので、

反射の様子は、下の図4のようになります。

辺の長さ 80cm と、30cm の最小公倍数の240cm のところで点P が止まります。

    Pic_4084a

はね返った回数は、

 辺AD,BC ・・・ 8-1(最後の頂点に到達したとき)=7回

  辺AB,CD ・・・ 2回

より、7+2=9回 です。

(3)下の図5のように、Q~W までの角度を定めると、

   Pic_4085a

角R=Q/2

角S=90度-Q/2

角T=角S÷2=45度-Q/4

角U=90度-角T=45度+Q/4

角V=角U÷2=22.5度+Q/8

角W=角Q(錯角)

なので、角W+角V+85.5=180度より、

 Q+22.5+Q/8+85.5=180

 Q+Q/8=72

 Q=64度

と求められます。

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2014年11月17日 (月)

算数オリンピック問題に挑戦!渡り終えるまでの最短時間は?(第12回トライアル問題より)

真っ暗な夜。川のこちら岸にA、B、C、Dの4人がいます。向こう岸に行くには小さな橋を渡らなければいけません。橋は小さくて同時に2人までしか渡れません。また、橋を渡るときには懐中電灯が必要ですが、懐中電灯はたった1つしかありません。つまり2人で向こう岸に渡り、1人は懐中電灯を持ってもどり、また2人で向こう岸に行く、ということをくり返さないと4人全員が渡ることはできません。

①Aはこの橋を1人で渡ると1分かかります。

②Bはこの橋を1人で渡ると1分30秒かかります。

③Cはこの橋を1人で渡ると2分かかります。

④Dはこの橋を1人で渡ると2分30秒かかります。

⑤2人で渡る時は、2人のうちの遅い人の速さで渡ります。

という条件のとき、

4人全員が向こう岸に渡り終えるまでに最短で何分かかりますか。


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一番移動時間が短いAが常に懐中電灯を持って、

両岸を行き来すればOKです!

1.5+1+2+1+2.5=8分

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太郎君のはじめの所持金は?(武蔵中学 2014年)

太郎君の所持金は次郎君の所持金の2倍です。

まず、太郎君が所持金の1/3より320円多い金額を次郎君にあげました。

次に、次郎君がそのときの所持金の1/4の金額を太郎君にあげたところ、

2人の所持金は等しくなりました。

太郎君のはじめの所持金は何円ですか?

4271

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2回目のやり取りから考えてみると、

2人の所持金は③と③で等しくなり、

次郎からの1/4は①に相当することがわかります。

1_2

つまり最初のやり取りの後、

太郎→②、次郎→④の所持金になったわけで、

最初、太郎→④、次郎→②だったことから、

最初、太郎が次郎にあげた金額は②だと分かります。

それが④/3+320円に相当するので、

320円は②-(④/3)=②/3に相当し、

④は ④÷(②/3)=6倍なので、

太郎の最初の所持金は、

320×6=1920円になります。

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外側の円の面積は?(暁星中学 2013年)

図の斜線部分の円の面積が10c㎡のとき、

正三角形ABCの外にある円の面積は何c㎡ですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

2つの円の中心をOとすると、

△黄は90°、60°、30°の直角三角形になり、

図の様に、斜辺と短い辺の比が2:1になります。

大きい円の半径と小さい円の半径の比が2:1なので、

面積比は(2×2):(1×1)=4:1 となり、

外側の円の面積は、10×4=40c㎡ です。

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2014年11月15日 (土)

算数オリンピック問題に挑戦!面積2.5の三角形?(第8回トライアル問題より)

図のように1辺が1cmの正方形が6つあります。

頂点の数は全部で12個です。

この12個の頂点の中の3つを結んで

面積が2.5c㎡の三角形を1つ作ってください。

1_2

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----------------------------------------------------

2

△赤は1.5c㎡

△水色は1c㎡

△黄=△緑なので、

△ACDは2.5c㎡になります。

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2人の手の出し方は?(神奈川大学附属中学 2013年)

AさんとB君がアメをそれぞれ10個ずつ持っています。

2人はジャンケンをして、グーで勝つとアメを4個、チョキで勝つとアメを3個、

パーで勝つとアメを2個相手からもらうゲームをします。

どちらかのアメの個数がもう一人のアメの個数の3倍以上になった時点で、

アメを多く持っている方を勝者としてゲームは終了します。

ただし、ゲーム中に、あいこは一度もないものとして、次の問に答えなさい。

(1)2回目のゲームでAさんが勝者として終了するとき、2人の手の出し方は全部で何通りありますか。

(2)3回目のゲームで終了するとき、2人の手の出し方は何通りありますか。

2

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(1)アメの数は、2人合わせて20個なので、

ゲームが終了するのは、勝者が15個以上のアメを獲得したときです。

2回目のゲームでAさんが勝利するには、Aさんは2連勝するしかありません。

Aさんの手の出し方は、1回目:(グー、チョキ、パー)、

2回目:(グー、チョキ、パー)の 3×3=9通り ありますが、

1回目も2回目もパーで勝ったときだけ、15点に届かないので

2人の手の出し方は、9-1=8通り あります。

(2)3回目でゲームが終了するので、2回目で終了してはいけません。

Aさんの勝利でゲームが終了するものとして考えると、

3連勝で3回目にゲームが終了するのは、2回目までパーを

出し、3回目は、グー、チョキ、パーのどれでもよいので、3通りです。

2勝1敗で終わるとき、

最後にパー(+2)で勝つ場合、最もアメの個数が多くなるのは

グーで勝つ(+4)、パーで負け(-2) → +2 +2 →14 ですが、

アメは14個が最高なので、勝負がつきません。

最後にチョキ(+3)で勝つ場合

 グーで勝つ(+4)、パーで負け(-2) → +2 +3 →15

の場合のみ、勝敗がつき、手の出し方は、

 (グー勝、パー負、チョキ勝)、(パー負、グー勝、チョキ勝)

の2通りです。

最後にグー(+4)で勝つ場合

 グーで勝つ(+4)、パーで負け(-2) → +2 +4 →16

 グーで勝つ(+4)、チョキで負け(-3) → +1 +4 →15

 チョキ勝つ(+3)、パーで負け(-2) → +1 +4 →15

の場合で勝敗がつき、手の出し方は、2×3=6通り です。

1勝2敗でAさんが勝利することはありません。

よって、Aさんの勝利で3回目でゲームが終了するのは

3+2+6=11通り あります。

B君の勝利で3回目でゲームが終了する場合も、同様に

11通り あるので、3回目でゲームが終了する場合の

2人の手の出し方は、11×2=22通り です。

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2014年11月14日 (金)

最も小さい分数は?(筑波大学附属中学 2014年)

49/15と56/27に、ある同じ分数をかけると整数になります。

このような分数の中で、最も小さい分数は?

Apa0107s

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49と56の最大公約数 7を分母、

15と27の最小公倍数 135を分子にした、

135/7

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液体の温度は何度になる?(筑波大学附属中学 2014年)

温度を上げるときの割合は常に一定で、

温度を下げるときの割合も常に一定に行える装置があります。

この装置にある液体を入れ、

時間とともに液体の温度がどのように変化するかを下のグラフに表しました。

グラフ中の点Aの液体の温度は何度になりますか。

1_2

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温度は、1分で1.5°上がり、1°下がります。

20分から60分の40分で、温度を上げ続ければ、

1.5×40=60°上がるところ、

実際は50-45=5°しか上がらなかったわけです。

1分上げる代わりに1分下げれば、1.5+1=2.5°下がるので、

(60-5)÷2.5=22分下げる時間があったことになります。

22分で22°下がったので、

Aの温度は、45-22=23° です。

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2014年11月13日 (木)

算数オリンピック問題に挑戦!アルキメデスの準正多面体(第1回ジュニア大会トライアルから)

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立方体の各辺の半分の長さの点を結んで、各頂点から三角すいを切り落とすと、

見取り図のような正三角形と正方形で囲まれた美しい立体図形、

(アルキメデスの準正多面体)が出来上がります。

1


この図形の展開図は、図①、図②のようになります。

2



(問い1)

図①の展開図を組みたてたとき(A)の面と平行なのは、(B)の面です。

では、(ア)の面と平行なのは、(イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク)のどの面ですか。

(問い2)

図②の展開図を組みたてたとき、辺アイと平行な辺はどこですか。

②に書き込んでください。

(1つの辺が、2つに離れている場合は、両方に線を引いてください。)

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問い①

5

問い②

3

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どんな数に近づいていく?(山手学院中学 2010年)

119/75、123/77、127/79、・・・ のように、

分母には順番に2を加え、分子には4を加えて分数を作っていきます。

この分数は【 ア 】に近づいていきますが、【 ア 】より大きくなることはありません。

【 ア 】にあてはまる整数はいくつですか。

Teacher309533_150

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----------------------------------------------------

分母には2を、分子には4を加え続けるとき、

例えば1万回くり返すと、

分母に20000、分子に40000が加えられ、

40119/20075 になります。

例えば1億回くり返すと、分母に2億、分子に4億が加えられ、

400000119/200000075 になります。

これは、ほぼ 2 になりますが、2より大きくはなりません。

よって、【 ア 】に入る整数は、 です。

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ぬり分け方は何通り? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の5色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①~⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この5色のうちの1色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_4052q

(1)赤、青、緑の3色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

 (2)赤、青、緑、黄の4色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(3)全部で何通りのぬり方がありますか。

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----------------------------------------------------

(1)⑤の部分を赤とすると、②と③の部分は、⑤ととなり合っているので、

下の図1-1、1-2 の2通りのぬり方になります。

(この時点で3色すべてを使っています)

  Pic_4053a

図1-1のとき、①には赤か青、④には赤か緑が入るので、

2×2=4通り のぬり方があり、

同様に図1-2のときも4通り のぬり方があります。

⑤を赤とすると、4×2=8通り のぬり方があり、

青、緑のときも同様なので、赤、青、緑の3色をすべて使うと、

8×3=24通り のぬり方があります。

 

(2)5か所を4色でぬるので、どこかとどこかが同じ色にしなければなりません。

同じ色にする場所として考えられるのは、

 ①と③、①と④、①と⑤、②と④、④と⑤

の 5通り があります。

たとえば、①と③を同じ色にするとき、

①、②、④、⑤ を4色でぬる方法を考えればよく、

 4×3×2×1=24通り

があります。

同じ色をぬる場所が変わっても、同様に24通りとなるので、

赤、青、緑、黄の4色すべてを使うと、24×5=120通り のぬり方があります。

 

(3)5色すべてを使うと、5×4×3×2×1=120通り のぬり方があります。

4色を使ってぬるとき、5色から4色を選ぶ方法は 5通りあるので、

(2)より、120×5=600通り のぬり方があります。

3色を使ってぬるとき、5色から3色を選ぶ方法は、

除く2色の選び方と等しく、4+3+2+1=10通り あるので、

(1)より、24×10=240通り のぬり方があります。

1色だけ、2色だけでぬることはできません。

(②、③、⑤の部分は必ず3色必要)

よって、120+600+240=960通り のぬり方があります。

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2014年11月12日 (水)

算数オリンピック問題に挑戦!斜線部分の面積は?(1999年トライアル問題より)

図のように大きな長方形を

面積がそれぞれ12c㎡、24c㎡、36c㎡、48c㎡の4つの小さな長方形に分けました。

斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1_3

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図のように、大きな長方形の横の長さを1とすると、

上2つの長方形の面積比から、AB=1/4

下2つの長方形の面積比から、CD=1/3

アイの長さは1/3-1/4=1/12

2_2

斜線部分は上下とも底辺が1/12の三角形で、

高さは大きな長方形のたての長さなので、

面積=(12+24+36+48)×1/12÷2

=120×1/24=5c㎡

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切り口の面積は?(開成中学 過年度)

図Aは同じ大きさの正三角形4枚でつくった三角すいを,

底面に平行な平面で切ってできた立体の見取図です。

図BはAの展開図です。展開図の面積を374c㎡とします。

切り□の面積と底面の面積の比が2:7のとき,

切り口の面積の大きさは何c㎡でしょうか。

Sei4men

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

Sei4men2

切り取った上の部分が、やはり4面とも正三角形になります。

△黄:△赤=2:7

見取り図の台形部分は7-2=5

見取り図全体では5×3+7=22

この22が374c㎡に当たるわけです。

切り口の2に当たるのは、2/22×374=34c㎡

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円柱を重ねていったときの表面積は?(慶應義塾中等部 2014年)

下の図1のような底面の半径が20cm、高さが2cmの円柱Aがあります。

この円柱の上の面に、同じ高さで、底面の半径を1cm短くした円柱を、

はみ出ないように重ねます。

同様に、同じ高さで、底面の半径を1cmずつ短くした円柱を次々と重ねていきます。

      Pic_3826q

(1)図2のように、円柱A  の上に2個の円柱を重ねたとき、できあがった立体の表面積は何c㎡ですか?

(2)立体の表面積が初めて 5000c㎡ を超えるのは、円柱A  の上に何個の円柱を重ねたときですか?

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(1)図2の表面積は、

上下から見える部分:20×20×3.14×2個分

側面の部分:

     20×2×3.14×2

   +19×2×3.14×2

   +18×2×3.14×2

 =(20+19+18)×3.14×4

の和で、

 (200+57)×3.14×4

=1028×3.14=3227.92c㎡

です。

 (2)上下の部分 : 20×20×3.14×2=2512c㎡

は変わらないので、5000-2512=2488c㎡ が

積み重ねた円柱の側面積で増えていきいます。

(20+19+18+・・・+□)×3.14×4≧2488

となればよいわけです。4で割ると、

 (20+19+18+・・・+□)×3.14≧622

で、3.14で割ると

 (20+19+18+・・・+□)≧198.08・・・   ←【★】

です。

20+19+18+・・・+2+1=210

で、1+2+3+4=10、1+2+3+4+5=15 より、

【★】を満たす □=5 です。

20+19+18+・・・+5=200 で、円柱A の上に重ねた

円柱の個数は、20-(4+1)=15個 です。

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コインを多く持っているのはどちら?(麻布中学 2013年)

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コインがたくさんあり、そこからA君とB君の2人が交互にコインを取っていきます。

1回目はA君が1枚、2回目はB君が3枚、3回目はA君が5枚、

4回目はB君が7枚、5回目はA君が9枚、・・・・・・というように、

2人は自分が前に取った枚数より4枚多くコインを取ります。

何回か取った後、2人の持っているコインの枚数を比べたところ、差が31枚でした。

コインを多く持っているのはどちらですか。

また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。

Ilm06_cb02020sIlm06_cb02020sIlm06_cb02020s

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----------------------------------------------------

    ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

A君  1      5       9     13

B君    3       7      11  

①回目→Aが1枚多い

②回目→Bが2枚多い

③回目→Aが3枚多い

④回目→Bが4枚多い

⑤回目→Aが5枚多い

⑥回目→Bが6枚多い

⑦回目→Aが7枚多い

Aが奇数枚多くなり、Bは偶数枚多くなるので、

31枚多くなるのは、31回目で、A君になります。

コインを取る数は、何回目×2-1 で求められるので、

31回目では、31×2-1=61枚 です。

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2014年11月11日 (火)

図形並べの規則性は?(函館ラ・サール中学 2009年)

たて1cm、横2cmの長方形の紙を下の図のように規則的にならべていきます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1663q

(1)6番目の図形の周囲の長さ(図の太線部分)を求めなさい。

(2)図形の周囲の長さが150cmになるのは何番目の図形ですか。

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----------------------------------------------------

(1)太線の長さは、下の図1のように、図形がぴったり入る

長方形の周りの長さに等しいことがわかります。

 Pic_16641a

 1番目は、1cm×2cmの長方形の周りの長さ

 2番目は、3cm×4cmの長方形の周りの長さ

 3番目は、5cm×6cmの長方形の周りの長さ

 4番目は、7cm×8cmの長方形の周りの長さ

として、規則的に測ることができるので、

 6番目は、11cm×12cmの長方形の周りの長さと等しく、

       (11+12)×2=46cm となります。

 

 (2)□番目の長方形が、(たて+横)×2=150cm

となるので、たて+横=75cm とわかります。

さらに、たてと横の差は1cmなので、たて=37cm、横=38cm

となります。

 

番号と横の長さは、2倍の関係になっているので、

太線の長さが150cmになるのは、38÷2=19番目 です。

 

<別解>

 (1)1番目の長方形の周囲の長さは、6cmです。

2番目以降の図形の周囲の長さは、下の図2のように、図形を

青線部分と黄色線部分に分けて考えると、

Pic_16632a

黄色い線の長さは6cmで、青線部分の長さはそれぞれ

 2番目・・・2×4

 3番目・・・4×4

 4番目・・・6×4

となるので、6番目の図形の青線部分に当たる長さは、

 10×4=40cm となります。

 

よって、6番目の図形の周囲の長さは、

 青線部分+黄色線部分=40+6=46cm です。

 

 (2)□番目の図形の周囲の長さは、(□-1)×2×4+6

として求めることができるので、

 (□-1)×2×4+6=150cm となるのは、

 □=19 より、19番目です。

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8桁の数字はいくつ?(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

下は、一の位の数字が7、千万の位の数字が9の、

8けたの数字をあらわしています。

この8けたの数字は、となりあう3つのけたの数字の和はどれも21になります。

千の位の数字はいくつですか。

1_2

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各位を以下のようにアルファベットで表すと、

2

A+B=21-9=12 なので、

C=9

D+E=21-9=12 なので、

F=9

E=21-(7+9)=5

D=21-(9+5)=7

B=5、A=7

8桁の数は、97597597 なので、?=7

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2人の競技の勝ち負けは?(渋谷教育学園幕張中学 2009年)

一方が他方より3ゲーム多く勝ったときに優勝が決まるというルールで、

A、Bの2人が競技を行いました。

ただし、引き分けはないものとします。

①ちょうど9ゲーム目が終わったときに、Aが6勝3敗となり優勝しました。

このときに考えられるAの勝ち負けの順は何通りありますか。

②ちょうど12ゲーム目が終わったときに、優勝が決まることはありません。

その理由を説明してください。

Mspe0209cs

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①下の図のように,Aが勝つと右へ1つ,Bが勝つと上へ1つ行く道順を考えます。

交点にはそこに行き着く道順の数を書いていきます。

1

Aが6勝3敗で勝ったので,右へ6マス,上へ3マス行きますが,

×の地点は6勝3敗になる前に,一方が他方より3ゲーム以上多く勝って優勝が決まってしまうところなので除きます。

つまり,×の地点を通らないで行く道順を考えればよいわけです。

全部で27通りになります。

②ちょうど12ゲーム目で優勝が決まったとすると,2人の勝ち数の和は12です。

また,一方が他方より勝ち数が3多いことになります。

勝ち数が少ない方の勝ち数は,

(12ー3)÷2=4.5勝

多い方は

4.5+3=7.5勝 となりますが,

勝ち数は整数ですから,ちょうど12ゲーム目で優勝が決まることはありません。

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画びょうはいくつ必要か?(淑徳与野中学 2014年)

Pic_4077q

上の図は、正方形の紙を少し重ねながら、

1枚につき4個の画びょうで、横3枚、縦2段を壁にはりつけたものです。

同じ方法で、横10枚、縦5段をはりつけるとき、画びょうは何個必要ですか。 

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----------------------------------------------------

下の図1の赤い正方形のように、

右に1枚、または下に1枚の 正方形をはりつけると、

さらに3個の画びょうが必要になります。

     Pic_4078a

また、下の図2の青い正方形のように、上と左に正方形がある状態で、

正方形を増やすと、2個の画びょうが必要になります。

     Pic_4079a

左上の1枚を最初にはりつける正方形として考えると、

左上の1枚は、4個の画びょうが必要で、

1段目の残り9枚はそれぞれ3個、2~5段目の一番左の正方形もそれぞれ3個、

残りの正方形は2個の画びょうが必要で、

下の図3のようにグループ化することができます。

  Pic_4080a

よって、必要な画びょうの個数は、

4+3×4+3×9+2×4×9=115個 です。

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2014年11月10日 (月)

青い数字はどれですか?(東洋英和女学院中学 2010年)

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが10枚あり、

そのうち5枚は青字で、残りの5枚は赤字で書かれています。

10枚のカードの中から5枚のカードを取り出して、

青字で書かれた数字をすべて足すことにします。

それぞれの5枚の組み合わせに対して、

青い数字の和は矢印の右側の数になります。

青字で書かれた数字を小さい順に並べてください。

1

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4になる組み合わせは、1+3と4ですが、

16になる組み合わせは2+4+10だけなので、2と4と10は青字です。

したがって、1、3、5、7、8が赤字になるので、

青字は、2、4、6、9、10です。

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最大の積にするには?(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

4~9の6個の数字を1つずつ下の□に入れて、

3けたどうしの数の積が最大になるようにしてください。

1_3

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百の位は9と8、十の位は7と6、一の位は5と4になりますが、

その組み合わせは、どう組み合わせても・・・

2つの数をたすと、

900+800+70+60+5+4=1839と一定です。

2つの数の和が一定の場合、差が小さいほど積は大きくなります。

したがって、

900台の最小数と800台の最大数を組み合わせると、

964×875

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これトライアスロン?(慶應義塾中等部 2012年)

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まず2kmを泳ぎ、次に自転車を8kmこぎ、最後に4km走る競技があります。

A選手は毎分40mの速さで泳ぎ、毎時□kmの速さで自転車をこぎ、

毎秒2mの速さで走りました。

A選手の記録は1時間55分20秒でした。

□=?

Ilm03_ab03007s

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泳いだ時間は、

2000m÷40m/分=50分

走った時間は、

4000m÷2m/秒=2000秒

2000秒÷60秒=33分あまり20秒

泳ぎ+走り=1時間23分20秒

自転車の時間=1時間55分20秒-1時間23分20秒=32分

自転車の速さは、

8000m÷32分=250m/分

250m×60分=15000m/時

15km/時

□=15

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2014年11月 9日 (日)

この中学ではこんな算数問題が!立方体の個数は?(東邦大学付属東邦中学 2012年)

同じ大きさの立方体を、面と面がぴったりと重なるようにいくつか積み重ねて立体を作りました。
その立体を真上から見た図と、正面から見た図は右のようになっています。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も少ない場合を考えます。
立方体は何個必要ですか。

(2)この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も多い場合を考えます。
立方体は何個必要ですか。

(3)この図のようになる立体は全部で何通りありますか。

3


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(1)は図のように9個です。

1

(2)は図のように14個です。

2

(3)真ん中の2個にはそれぞれ1個積む場合と、両方積む場合の3通りが考えられます。

右側の3個はまず、それぞれ0個か1個か2個積む場合を考えます。

その場合の数は3×3×3=27通りですが、

000、100、010、001、110、101、011、111の8通りは高さが3個にならないので除きます。

すると、27-8=19通りが考えられるので、

3×19=57通りの立体ができます。

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どんな法則がかくれている?(海城中学 2014年)

1_2 

Pce022s

計算してください。

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カッコ内を通分すると、分母は1024、

分子は、512+256+128+64+32+16+8+4+2+1

この数列の足し算は、たとえば、

1+2=3 が(次の項-1)→(4-1)

1+2+4=7 が(次の項-1)→(8-1)

というような規則性があります。

したがって、512の次の項1024から1をひいて

1023が分子の合計なので、

1-1023/1024=1/1024

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対戦ゲームの得点は?(2014年 ラ・サール中学)

A、B2人がゲームをします。

1回のゲームでは、勝者に4点、敗者に0点が与えられ、

引き分けのときは、両者に1点ずつが与えられます。

10回のゲームが終わったとき、2人の得点の合計は34点でした。

考えられるAの得点は、最低で何点?最高で何点でしょうか?

Mspe0209cs

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引き分けがなかったら、どちらかが勝つので、

2人の得点合計は、4×10=40点になるはずです。

1回引き分けがあると、4点が→1×2=2点に減るので、

40-34=6点 は 

6÷2=3回 引き分けがあったことになります。

したがって、Aの最高は残り7回すべて勝った場合で、

4×7+3=31点

最低は7回すべて負けた場合で、引き分けの点だけで、

3点 です。

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2014年11月 8日 (土)

わり切れる最も小さい数は?(慶應義塾普通部 2014年)

1/4を小数で表すと0.25となり、わり切れます。

1/3は0.33333・・・となり、わり切れません。

偶数の積2×4×6×・・・・・×20 をAとするとき、

B/A がわり切れるような最も小さい整数Bはいくつでしょうか?

Questionmark309082_640

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----------------------------------------------------

2→2

4→2×2

6→2×3

8→2×2×2

10→2×5

12→2×2×3

14→2×7

16→2×2×2×2

18→2×3×3

20→2×2×5

2×4×6×・・・・・×20

=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×

3×3×3×3×5×5×7

2×・・・・・×2 はどんな数でも割り切れます。

また、5×5 も、どんな数でも割り切れます。

したがって、3で4回割り切れて、さらに7でも割り切れる最小の数を考えると、

3×3×3×3=81 と7の最小公倍数、 567になります。

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左右対称な整数はいくつ?(共立女子中学 2014年)

1221や75957のように、数字の並びが左右対称な整数を考えます。

44444のように、すべて同じ数字が並ぶものも左右対称と考えます。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)4ケタの整数で、数字の並びが左右対称なものは何個ありますか。

(2)5ケタの整数で、数字の並びが左右対称ではないものは何個ありますか。

Pay114649_640

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(1)ABBA のようになっている数の個数は、

数字A-B の並び方だけ考えればよいので、

A には、1~9 の9通り

B には、0~9 の10通り

の数字が入るので、数字の並びが左右対称になる整数は

9×10=90個 です。

 

(2)ABCBA のようになっている個数を、5ケタの整数の個数から除けばよいです。

A には、1~9 の9通り

B には、0~9 の10通り

C には、0~9 の10通り

の数字が入るので、9×10×10=900個 が左右対称なので、

5ケタの整数は 10000~99999 まで、

 99999-9999=90000個

あるので、求める個数は、

 90000-900=89100個

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2014年11月 7日 (金)

最後のA,Bはいくつ?(大妻中学 2007年)

奇数の和:39+41+43+・・・+A

偶数の和:44+46+48+・・・+B

があります。

奇数の和の整数の個数は、偶数の和の整数の個数より1つ多く、

奇数の和と偶数の和が等しいとき、

それぞれの最後の整数A,Bはいくつでしょう?

Mpsb1101cs


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奇数の和と偶数の和が等しいわけなので、それぞれ引き算するとゼロになることになります。

奇数の和の整数の個数が、偶数の和の整数の個数より1つ多いので、

奇数の和の最初の39だけ外して、下の図のように引き算をすると、

Pic_0837a

39-3-3-3-3・・・-3 となり、これが0になるわけなので、

39から3を13回引けばよいことがわかります(13×3=39)。

ということは、偶数の和の整数の個数は13個で、

奇数の和の整数の個数は14個 となります。

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面積は?(第3回算数オリンピック団体戦問題の改題)

1辺が12cmの正方形ABCDがあり、

弧ACは、点Dを中心として描かれた円の弧です。

また、点FはBCの延長線上の点です。

円周率を3とすると、色のついた部分の面積は何c㎡ですか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

△緑と黄色部分を分けて計算します。

△赤どうしが相似で相似比が8:4=2:1なので、CF=6cm

△緑=6×12÷2=36c㎡

黄色部分=12×12×3÷4-12×12÷2=36c㎡

色部分=36+36=72c㎡

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進み方は何通り?(海陽中等教育学校 2014年)

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Pic_4069q

上の図1のように正方形のマス目がたくさん並んでいます。 

左下のマス目から出発して、上下左右のマス目に1マスずつ移動していきます。

移動したマス目はぬりつぶし、一度通ったマス目は通らないことにします。 

たとえば、右→上と進むと、下の図2のようにぬりつぶされ、

また、下の図3のようにぬりつぶされる進み方は、

 右→上→左 、 上→右→下

の2通りがあります。

     Pic_4070q

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4071q

(1)上の図4のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。 

(2)上の図5のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。

(3)左下も含めて 6マスぬしつぶすと、それがちょうど立方体の展開図になるような進み方があります。

このうち、はじめに右に進む進み方は 4通りあります。進み方をすべて描きなさい。

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(1)図4のようにぬりぶつされる進み方は、下の図6のように3通り となります。

Pic_4072a

図6の下の2つは、行き止まりや、進むことができないマスができてしまいます。

(2)最初に右または上に直線的に進むと、

下の図7のように斜線のマスにたどりつき、残り 6マスとなります。

Pic_4073a

図7は、図4と同じ状況なので、

(1)より、この先は、それぞれ3通りの進み方があることがわかります。

次に、右または上の2マス目まで進み曲がると、

下の図8のようにまん中のマスにたどり着き、

Pic_4074a

それぞれ1通りの進み方しかありません。

よって、図5のようになるのは、

3×2+1×2=8通り の進み方があることがわかります。

(3)立方体の展開図のようになるのは、下の図9のものが

ありますが、

Pic_4075a

④と⑤はひっくり返すと同じものになるので、

図9から、①、②、③、④ または ①、②、③、⑤ を選べば正解です。

④と⑤は立方体になりません!

下の図のどちらかが正解です!

11176_2

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2014年11月 6日 (木)

この中学ではこんな算数問題が!図形パズルを1問!(甲南中学 2000年)

図のような図形を点線に沿って4つの合同な図形に分けるには、

どのように分ければよいか、図に示しなさい。

Bandicam_20141106_083658644

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Bandicam_20141106_083644371

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切断したときの体積比は?(海城中学 2014年)

すべての辺の長さが 6cm である三角すいABCD において、

辺AC,AD をそれぞれ 3等分する点のうち、点C,D に近い方をそれぞれ点P,Q とします。

また、点R は辺AB,BC 上を動く点とします。ただし、点R は点A と点C には重なりません。

下の図のように、3つの点P,Q,R を通る平面で三角すいABCD を切ったときにできる2つの立体のうち、

点A を含む立体を【A】、点C を含む立体を【C】と表します。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4065q

(1)点R が辺AB のちょうどまん中にあるとき、【A】と【C】の 体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2)点R が辺BC を3等分する点のうち、点C に近い方にあるとき、【A】と【C】の体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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(1)APはAC の2/3、AQはAD の2/3、ARはAB の1/2なので、

三角すいA-PQR は、三角すいA-BCD の

   2/3 × 2/3 × 1/2 = 2/9

の体積となります。

よって、【A】の部分が 2/9、【C】の部分が 7/9 となるので、

 【A】 : 【C】 = 2 : 7

です。

 

(2)まず切り口は、下の図1のように、点R からPQ(CD)と平行な線を引き、

BD と交わった点をS とすると、四角形PQRSが切り口の面となります。

Pic_4066a

点S は、BD を 2:1 に分ける点となります。

下の図2のように、点PからADと平行な線を引き、CDとの交点を点T とすると、

      Pic_4067a_2

三角すい C-PRT の体積は、三角すい A-BCD の

  1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/27

となる一方、面PRT は面ABD と平行で、三角すい C-PRT と、

面PRT を底面とする高さ 2cm の三角柱の体積の比は、1 : 3 となります。

(同じ底面としたとき、三角すいは、底面積×高さ÷3 なので)

三角すい C-PRT の体積を[ 1 ] とすると、

三角柱 PRT-QSD の体積は[ 6 ] で(3×2個分)、

【C】の体積は[ 7 ]になります。

よって、【C】の部分の体積は、三角すいA-BCD の

 1/27 × 7 = 7/27

なので、【A】=1-7/27=20/27 より、

 【A】 : 【C】 = 20 : 7

と求められます。

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2014年11月 5日 (水)

上の面の目の合計は?(土佐中学 2008年)

1辺が1cmのサイコロを、下の図のような1辺が1cmの正方形のマ ス16個の上を矢印の方向にすべらないように転がしていきます。最初サイコロをAの位置に、上の面が1、底の面が6、北の面が2、南の面が5、東の面が 4、西の面が3になるように置きます。1周してAの位置にもどってくるとき、ころがして上の面に現れる数の和はいくつになりますか?ただし、最初のAの位 置にあるときの1はふくみません。

  Pic_2743q

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下の図のようにサイコロが転がります。図のB,C,D の位置の

サイコロの様子には注意が必要です。

Pic_2744a

上の面になっている数を合計すると、

  3+6+4+1+3+2+4+5+1+2+6+5+1+4+6+3

=56 となります。

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サイコロの目の決まりを使う計算(藤女子中学 2010年 )

サイコロには,1から6の数がかかれており,向かい合う面にかかれている数の和は7になります。いま,サイコロを台の上にたてに積み重ね,台と接する面にかかれている数とサイコロどうしが接する面にかかれている数を「かくれている数」と呼ぶことにします。

(1) 図のように,サイコロを6個積み重ねたとき,「かくれている数」の和を求めなさい。

(2) 30個のサイコロを積み重ねたとき,「かくれている数」の和が207になりました。一番上の面の数を求めなさい。

(3) 14個のサイコロを2個,3個,4個,5個に分けて積み重ね,各組の一番上の数がすべて異なるようにしました。これら4組のすべての「かくれている数」の和が81になりました。一番上の面の数を4つとも求めなさい。

1008_0201

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(1) 6個の上下の目の和は、7×6=42

いちばん上の2が見えているのでこれを除くと、

42-2=40

(2) 30個の上下の目の和は、

7×30=210

いちばん上に見えているのは

210-207=3

(3)14個の上下の目の和は、

2×7+3×7+4×7+5×7=98

いちばん上に見えている目の和は

98-81=17

異なる目の最大値は

6+5+4+3=18 なので、

18より1小さい組み合わせは、

6、5、4、2 です。

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サイコロの反対側は?(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

すべて同じサイコロを図のように積み上げました。

このサイコロのA、B、Cの面と反対側の面のアルファベットはなんでしょうか?

1_3

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問題図の上から1段目と2段目左から、

Cの反対側はEかF

3段目からAの反対側はDかFとわかります。

つまり,A,B,Cの反対側の面の組み合わせは、

D,E,FかD,F,EかF,D,Eの3通です。

これをもとに、一段目のサイコロの3通りの展開図を書いてみると,

以下のようになります。

2_2

これらを組み立てて問題図2段目右の角度から、

D,E,Fの3つの面を見た見取り図を書いてみると、

それぞれ上図ようになります。

このうち,問題図2段目右と同じ並びとなっているのは、

まん中のサイコロだけなので,

A,B,Cの反対側の面は、順にD,F,Eとわかります。

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アとイとウはそれぞれいくつ?(開成中学 2014年)

3つの整数ア、イ、ウがあります。

アとイの最大公約数は21、イとウの最大公約数は35、

アとウの最大公約数は98です。

アとイとウの合計は1000以下です。

アとイとウはそれぞれいくつですか。

Ilm11_ad01029s

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問題文から、21はアの約数、98もアの約数、

言い換えると、アは21と98の倍数、

つまりアは21と98の公倍数になります。

同様に、イは21と35の公倍数、ウは35と98の公倍数、

それぞれの最小公倍数を調べると、

ア=294、イ=105、ウ=490となりますが、

ア、イ、ウの合計が1000以下なので、

イを最小公倍数よりひとつ上の公倍数である

105×2=210にした場合も、

ア、イ、ウの合計は1000以下になります。

ところが、

ア=294との最大公約数が42になり、

ウ=490との最大公約数が70になってしまい不適当、

これ以外はア、イ、ウの合計が1000を超えてしまい不適当、

したがって、ア=294、イ=105、ウ=490。

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2014番目の数は? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

5種類の数字 0,1,2,3,4 を用いて表される数を、

次のように小さい順に並べます。

0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,…

このとき、2014番目の数を求めなさい。

Question153729_150

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5種類の数を用いて整数を表すので、【5進法】です。

【N進法】で XXX番目の数というのは、下の図1のように求めることができます。

(ただし、用いる数に 0 を含み、0が1番目ではない場合)

   Pic_3380a

 ① XXX ÷ N = XX あまり A となる。

 ② XX  ÷ N =  X あまり B となる。

 ③  X  ÷ N =  D あまり C となる。

 ④ D が N より小さい数になったら終わり。

このようにして、【N進法】で XXX番目の数=DCBA となります。

 

今回の場合、【5進法】で 2014番目で、0 が1番目なので、

 2014÷5=402あまり4

 402÷5=80あまり2

 80÷5=16あまり0

 16÷5=3あまり1

となり、2014番目の数は、

 31024 の1つ前の数31023

です。

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2014年11月 4日 (火)

この中学ではこんな算数問題が!これ、平面図形の問題!(早稲田中学 2010年)

球を床に置き,この球の真上から電球で球を照らしました。

床から電球までの高さが15cm,床にできた影が直径16cmの円になり,

影の端の1点から電球までの長さは17cmでした。

この球の半径は何cmですか。

ただし,電球の大きさは考えないものとします。

Cocolog_oekaki_2011_03_08_08_17

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Bandicam_20141104_093858913

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何時間何分かかりますか?(吉祥女子中学 2009年)

ある製品を作るには【第1段階】と【第2段階】の2つの工程が必要です。

どちらの工程も、作業する人数が2倍、3倍、・・・  となると、

かかる時間は、1/2倍、1/3倍、・・・ となります。

第1段階を3人、第2段階を4人で行うと、全部で  9時間かかります。

また、第1段階を6人、第2段階を5人で行うと、全部で6時間かかります。

このとき、第1段階も第2段階も3人で行うと、何時間何分かかりますか。

Ilm01_ae01005s

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第1段階を1人で行ったときにかかる時間を【1】

第2段階を1人で行ったときにかかる時間を<1> とします。

第1段階を3人、第2段階を4人で行うと9時間かかるので、

  【1/3】+<1/4>=9時間 ・・・ ①

第1段階を6人、第2段階を5人で行うと6時間かかるので、

  【1/6】+<1/5>=6時間 ・・・ ②

ということになります。 

①の条件を2倍の人数で行うと、かかる時間は半分になり、

  【1/6】+<1/8>=4.5時間 ・・・ ③

になります。

 

②と③の条件の差は、

<1/5>-<1/8>=<3/40>=1.5時間 となります。

よって、<1>=<40/40>=1.5÷3×40=20時間 です。

 

すると、①の<1/4>=5時間なので、【1/3】=4時間 です。

( 【1】=12時間 )

 

求めるのは、【1/3】+<1/3> で、

<1/3>=20/3時間=6時間40分

なので、

  【1/3】+<1/3>=4時間+6時間40分

              =10時間40分 です。

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6回目の折り目は?(成城学園中学 2014年)

正方形の折り紙を次の手順で折ります。

(操作1)面積が半分になるように,対角線で1回折る

(操作2)折ったままの状態から,直角を半分にするように1回折る

この後,(操作2)を4回くり返し,合計6回折ります。

6回目に折ったときにできる折り目を、下の解答らんに書きなさい。

ただし,5回目までにできた折り目は書かないこと。

(注意)下の図の解答らんを折らないこと。

1

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青、1回目

濃紺、2回目

緑、3回目

ピンク、4回目

紫、5回目

赤、6回目

7

6回目は小さい正方形の対角線32本分になります。

8

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2014年11月 3日 (月)

石の置き方は何通り?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

下の正方形ABCDの中の3×3のマス目に石を3個置きます。

ただし、石は1マスに1個までしか置けず、

上下左右のとなり合ったマスに2個ならべて置くことはできません。

全部で何通りの置き方がありますか。

1_2

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各段に1個ずつ置く場合と、

一段は0であとの段に1個か2個置く場合が考えられます。

各段に1個の場合は、

最初の段には3通り置け、次が2通り、次も2通りなので、

3×2×2=12通りです。

0の段を含む場合は、

0の段が真ん中の場合は、1個置く段は3通りですが、

2個置く段は1通りなので、

1個置く段が上下で、3+3=6通りです。

0の段が上の場合、2個置く段が真ん中で1通り、

2個置く段が一番下でも1通り、1+1=2通りです。

0の段が一番下でも2通りです。

したがって、12+6+2+2=22通りになります。

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インクの跡はどんな線?(共立女子中学 2014年)

0

図のような円柱があります。

赤いインクをつけたひもを、点Aから円柱の周りを2周して点Bまで、

たるまないように結んだとき、

側面の展開図に、そのひもがつけたインクの跡を書き入れてください。

1_2

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3

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アリとキリギリス、仕事したのは何日?(共立女子中学 2014年)

数匹のアリとキリギリスが食べ物を運びます。

その食べ物を運び終えるのにアリだけでは18日間,

キリギリスだけでは24日間かかります。

最初はアリとギリギリスが一緒に運んでいましたが,

途中の日からキリギリスが休んでしまったので,

その日からはアリだけが運び,

すべての食べ物を運び終えるまでに12日間かかりました。

キリギリスは何日間運びましたか。

Ilm18_bb05012sIlm02_cc04008s

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全体の仕事量を18と24の最小公倍数72としてみます。

アリは1日に 72÷18=4 運び、

キリギリスは1日に 72÷24=3 運び、

一緒だと1日に 4+3=7 運びます。

図のようにつるかめ算で考えると、

1

すべて一緒なら 12日で 7×12=84 運べるので、

緑部分は 84-72=12

たてが 7-4=3 なので、

横は 12÷3=4日 ということになります。

キリギリスが運んだ日は、一緒に働いた 12-4=8日 です。

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2014年11月 1日 (土)

文房具の値段はいくら?(女子学院中学 2011年)

えんぴつ3本とマーカー2本は同じ値段です。

はさみ2個とえんぴつ9本は同じ値段です。

ノート2冊とえんぴつ7本は同じ値段です。

ホチキス3個とはさみ5個は同じ値段です。

消しゴム21個とホチキス5個は同じ値段です。

消しゴム1個とえんぴつ1本の値段の差は66円です。

えんぴつ1本は何円で、

この6種類の文器具を1つずつ買うと、合計は何円ですか。

Apa0107s

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Bandicam_20141101_100640422

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立体魔方陣とその展開図(開成中学 2014年)

図1のように1から8までの数字が書かれている8枚の正三角形を用いて、図2のような立体を作ります。ただし、図1の正三角形の黒丸の頂点は立体の点Aまたは点Fのどちらかに重ね、すべての数字が表から見えるようにします。

図1

1

2

また、立体の6個の頂点A,B,C,D,E,Fについて、それぞれの頂点に集まっている4枚の正三角形に書かれている数の合計はすべて同じになっています。

(1)1つの頂点に集まっている4枚の正三角形に書かれている数の合計を求めなさい。

(2)辺BCを1辺とする2枚の正三角形に書かれている数の合割と、辺DEを1辺とする2枚の正三角形に書かれている数の合計は等しくなります。その理由が書かれた次の文章の(空欄)をうめなさい。

「どちらも(        )すると、同じ値になるから」

(3)三角形ABCに書かれている数が1であるとします。8が書かれている三角形として可能性があるものをすべて選びなさい。

(4)この立体の展開図で、1,2,3の書かれている三角形の配置が図3のようになるとき、他の数字を向きも正確に解答欄の展開図にかきこみなさい。

3

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----------------------------------------------------

(1)1から8までの合計は、

(1+8)×8÷2=36

この立体の頂点6個に集まる三角形の数の和を考えると、

1つの三角形は頂点が3つなので、3回加算され、

36×3=108

頂点が6個なので、1個の和は

108÷6=18

(2)辺CDを1辺とする2枚の正三角形または辺BEを1辺とする2枚の正三角形が、和が18になるための共通な数になるので、

18から辺CDを1辺とする(または辺BEを1辺とする)2枚の正三角形の数字の和を引き算

(3)8を1と辺が共通しない位置に置くと、

 (2)の原理から、1+○=8+□にならなくてはならず、

○と□の組み合わせは2~7では不可能なので、

1と8は辺を共通にするしかなく、

可能性があるのは、三角形ACD、三角形AEB、三角形FBC

(4)

4

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作図しないと難しい!(第4回算数オリンピック、トライアル問題より)

次の図で、三角形ADCは、

辺ACと辺ADの長さが等しい直角二等辺三角形です。

?の角度を求めなさい。

1_2

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△AEDが正三角形になるように点Eをとります。

2_2

すると∠CAE=90+60=150゜

また ∠CAE+∠ACB=150゜+30゜=180°なので、

AEとBCは平行になります。

さらに∠ACE=(180ー150)÷2=15゜

すなわち∠ECB=15゜=∠ABC

AB=EC

△BEAと△CAEは合同になり、

四角形AEBCは等脚台形になります。

したがって∠BDA=∠EDC=60゜+45゜=105゜

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