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下の図は正方形とおうぎ形を組み合わせたものです。
このとき、「あ」の面積と「い」の面積の差は何ｃ㎡ですか。
円周率は３．１４とします。
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あ＝赤－黄
い＝青－赤 なので、
い＝４×４÷２－４×４×３．１４×１/８
＝８－６．２８＝１．７２ｃ㎡
あ＝４×４×３．１４×１/８－４×４÷２÷２
＝６．２８－４＝２．２８ｃ㎡
あ－い＝２．２８－１．７２＝０．５６ｃ㎡
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数と記号を組み合わせて言葉を表しました。
えいご・・・・・・１→ １← ２↓＃
はるやすみ・・・・・・６・ ９↑ ８・ ３↑ ７←
わかば・・・・・・０・ ２・ ６・＃
たのしいひび・・・・・・４・ ５↓ ３← １← ６← ６←＃
となるとき、
『１・ ９← ２・＃ ４↓ １↑』はどんな言葉を表しますか。
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あいうえおの５０音表を考えると・・・
「あいうえお」の上から ・ ← ↑ → ↓ にそれぞれ対応し、
「あかさたなはま・・・・」の右から １ ２ ３ ４ ５・・・・に対応しています。
濁点は＃
１・は「あ」、 ９←は「り」 ２・＃は「が」 ４↓は「と」 １↑は「う」
にそれぞれ対応し、
「ありがとう」 になります。
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図のような角Ａ、角Ｂが直角である台形ＡＢＣＤがあり、
対角線ＡＣとＢＤは、点Ｅで垂直に交わっています。
ＡＢ＝６０ｃｍ、ＡＤ＝４５ｃｍ、ＢＤ＝７５ｃｍのとき、
三角形ＥＢＣの面積は何ｃ㎡ですか。
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図の△黄と△緑と△赤は相似です。
△黄と△緑の相似比は４５：６０＝３：４
面積比は３×３：４×４＝９：１６ なので、
△緑の面積＝４５×６０÷２×１６/２５＝８６４ｃ㎡
ＥＤ：ＥＢも９：１６になり、ＢＣ＝４５×１６/９＝８０ｃｍ
△緑と△赤の相似比は、６０：８０＝３：４ となるので、
面積比は９：１６
したがって、△ＥＢＣの面積＝８６４×１６/９＝１５３６ｃ㎡
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０、１、２、３、４、５、６の７つの数字を１つずつ下の○に入れて
式を完成させてください。
○×○＝○○＝○○÷○
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○を左から、ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、とすると、
ア×イ＝ウエ＝オカ÷キ
０が入れられるのは、エ か カ ですが、
エが０だとカも０になるので、０はエではなく、カ
エが５だと、アかイのどちらかが５になってしまい、
エは５ではありません。
オが５だと、キは２でしかないのですが、
すると、ウエ＝２５となってしまうので、
オは５ではありません。
ウ＝５でもありません。（５０以上の積はないので）
したがって、キ＝５
オ０÷５が２けたなので、オ＝６
ウ＝１、エ＝２
ア＝３（または４）、イ＝４（または３）
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上の図のように直角二等辺三角形を直線上に沿って、
すべらないように回転させたとき、
辺ＢＣ が再び直線上にくるまでに点Ｂ が通った曲線の長さは何ｃｍですか。
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直角三角形は下の図１のように動き、点Ｂの動きは赤線のようになります。
直角二等辺三角形の２つの角は４５度なので、
２つの赤い曲線は、中心角が １８０－４５＝１３５度 の扇形の弧になっていて、
その長さは、
８×２×３．１４×１３５/３６０ ×２
＝１２×３．１４ ＝ ３７．６８ｃｍ
と求められます。
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Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅの５人の所持金についてたずねたところ，
５人はそれぞれ次のように答えました。
Ａ：「私の所持金は，Ｂ君とＣ君の所持金の合計と同じです｡」
Ｂ：「私の所持金は，Ｃ君の所持金より少ないです｡」
Ｃ：「私の所持金は，Ｅ君の所持金より少ないです｡」
Ｄ：「私の所持金とＣ君の所持金を合わせても，Ａ君の所持金より少ないです｡」
Ｅ：「私の所持金は，Ａ君とＢ君の所持金の合計と同じです｡」
５人を所持金の多い順にＡ一Ｂ一Ｃ一Ｄ一Ｅのように並べてください。
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順番に式で表すと、
Ａ＝Ｂ＋Ｃ・・・・・・①
Ｂ＜Ｃ・・・・・・②
Ｃ＜Ｅ・・・・・・③
Ａ＞Ｃ＋Ｄ・・・・・④
Ｅ＝Ａ＋Ｂ・・・・・⑤
①と⑤より
Ｅ＞Ａ
①と②より
Ｅ＞Ａ＞Ｃ＞Ｂ
①と④より
Ｂ＞Ｄ なので、
Ｅ＞Ａ＞Ｃ＞Ｂ＞Ｄ
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ある機械 Ｘ があります。この機械 Ｘ は、整数が書かれたカードを入れると、
【カードに書かれた整数を５で割り、商と余りを加える】
という計算をして、その計算の答えが書かれたカードを出します。
ただし、機械 Ｘ は、商も余りも整数で計算をして、
割り切れるときは余りを ０ として計算します。
この機械 Ｘ にカードを入れ、出てきたカードに書かれた整数が ５ より小さくなるまで、
出てきたカードをさらに機械 Ｘ に入れるという作業を行います。
たとえば、【１２１】と書かれたカードを機械 Ｘ に入れると、
【２５】と書かれたカードが出てきます。
２５ は ５ より大きいので、その出てきたカードをさらに機械 Ｘ に入れると、
【５】と書かれたカードが出てきます。
５ は ５ と等しいので、その出てきたカードをもう一度機械 Ｘ に入れると、
【１】と書かれたカードが出てきます。
１ は ５ より小さいので、ここで作業が終了します。
したがって、最初のカードに書かれた整数が【１２１】のとき、
作業を終了するまでに機械 Ｘ に ３回カードを入れることになります。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）最初のカードに書かれた整数が【２７７】のとき、作業を終了するまでに機械 Ｘ に何回カードを入れることになりますか。
（２）最初のカードに書かれた整数が 【 ア 】のとき、２回目にカードを入れたところ、【４】のカードが出てきて作業が終了 します。このとき、【 ア 】に当てはまる整数として考えられる数は、全部で何個ありますか。
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（１）実際に計算すると、
１回目 ： ２７７÷５＝５５あまり２ → ５５＋２＝５７
２回目 ： ５７÷５＝１１あまり２ → １１＋２＝１３
３回目 ： １３÷５＝２あまり３ → ２＋３＝５
４回目 ： ５÷５＝１
となり、４回とわかります。
（２）どのような作業になったかというと、
１回目 ： 【 ア 】÷５＝○あまり△ → ○＋△
２回目 ： （○＋△）÷５＝□あまり☆ → □＋☆＝４
ということです。
□＋☆＝４ となる、（□、☆）の組は、
（１，３）、（２，２）、（３，１）、（４，０）
が考えられ、それぞれの場合の ○＋△ は、
（１，３） → ５×１＋３＝８
（２，２） → ５×２＋２＝１２
（３，１） → ５×３＋１＝１６
（４，０） → ５×４＝２０
となります。
○＋△＝８ の場合、（○、△）として考えられる組は、
５で割った余りは、０，１，２，３，４ の５通りしかないので、
（４，４）、（５，３）、（６，２）、（７，１）、（８，０）
の５組があり、それぞれの場合の【 ア 】は、
２４，２８，３２，３６，４０
になります。
○＋△＝１２ の場合、（○、△）として考えられる組は、
（８，４）、（９，３）、（１０，２）、（１１，１）、（１２，０）
の５組があり、それぞれの場合の【 ア 】は、
４４，４８，５２，５６，６０
になります。これは、○＋△＝８の場合と○＋△＝１２の場合で
【 ア 】が同じ数にはならないことを示しており、
○＋△＝１６，２０ の場合も５通りで、【 ア 】に当てはまる整数
として考えられる数は、５×４＝２０個 です。
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2014年1月1日を 20140101 という８ケタの整数で表すことにします。
したがって、2014年9月26日は 20140926で、2014年11月14日は 20141114 となります。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）2014年２月の日付を用いて作った整数のうち、３の倍数は何個ありますか。
（２）2014年２月、５月、８月、１１月の日付を用いて作った整数のうち、３の倍数は合わせて何個ありますか。
（３）2014年１月から１２月までの日付を用いて作った整数のうち、３の倍数は合わせて何個ありますか。
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（１）2014年２月の日付を用いて作れる整数は、
20140201 ～ 20140228 までの２８個です。
３の倍数の判別は、全てのケタの数を足したときに３で割り切れるかどうかで分かるので、
20140201 → ２＋１＋４＋２＋１＝１０ → ３で割ると１余るとわかります。
よって、20140201 ～ 20140228 までの場合、
０１＋２＝３、３＋３＝６、６＋３＝９・・・・と下２ケタを見れば３の倍数かどうかわかり、
３，６，９，１２，・・・，２７ のときの ９個 です。
（２）５月は、20140501 ～ 20140531
８月は、20140801 ～ 20140831
１１月は、20141101 ～ 20141130 で、
20140501 → ３で割ると１余る → １０個
20140801 → ３で割ると１余る → １０個
20141101 → ３で割ると１余る → １０個
なので、２月、５月、８月、１１月の日付を用いて作った整数のうち、
３の倍数になるのは、９＋１０＋１０＋１０＝３９個 です。
（３）（２）までの手順で、３で割り切れる月は、
20140101 → ３で割り切れる → １，４，７，・・・，３１の１１個
20140401 → ３で割り切れる → １０個 （４月は３０日まで）
20140701 → ３で割り切れる → １１個
20141001 → ３で割り切れる → １１個
３で割ると２余る月は、
20140301 → ３で割ると２余る → ２，５，８，・・・，２９の１０個
20140601 → ３で割ると２余る → １０個
20140901 → ３で割ると２余る → １０個
20141201 → ３で割ると２余る → １０個
で、以上を合計すると、
３９＋４３＋４０＝１２２個
が ３の倍数です。
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四角形ABCDの対角線のACとBDの交わる点をＯとします。
三角形ＡＢＤの面積は三角形BCDの面積の１/３で、
ＡＯ＝２ｃｍ、ＤＯ＝３ｃｍです。
CＯの長さはＤＯの長さの何倍ですか。
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Ａ､ＣからＤＢに垂直な線をおろし、AE、CFとします。
三角形ＡＢＤと三角形BCDの面積比が１：３より
ＡＥ：ＣＦ＝ＡＯ：ＣＯ＝１：３で
ＡＯ：ＤＯ＝２：３より
ＣＯ：ＤＯ＝６：３＝２：１
したがって、２倍です。
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普連土りんご農園に収穫期がやってきました。
10人ですると16日で収穫を終え，15人ですると８日で収穫を終えます。
10日で収穫を終えるには，何人ですればよいですか。
ただし，りんごは毎日同じ数だけ実が熟すものとします。
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円周上に等間隔で７つの点をとり、図のように結んだとき、
角●の合計した角度は何度になりますか。
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円の中心から図のように線を結ぶと、
△黄と合同な二等辺三角形が７つできます。
△黄の頂角は３６０÷７×２なので、
それ以外の２つの底角は、１８０－７２０/７＝５４０/７度
●の合計＝５４０/７×７＝５４０度
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下のように、４を順番に何回かかけた数を求めて、その数の下２ケタの数を考えます。このとき、次の問に答えなさい。
１番目 ４×４＝ １６
２番目 ４×４×４＝ ６４
３番目 ４×４×４×４＝ ２５６
４番目 ４×４×４×４×４＝ １０２４
５番目 ４×４×４×４×４×４＝ ４０９６
６番目 ４×４×４×４×４×４×４＝１６３８４
（１） ３７番目の数の下２ケタの数はいくつですか
（２）１番目から５５番目までの数の下２ケタの数だけすべてたすと、いくつになりますか。
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（１）規則性を探します。下２ケタの数は、
７番目 ： ８４×４ より、３６
８番目 ： ３６×４ より、４４
９番目 ： ４４×４ より、７６
１０番目 ： ７６×４ より、０４
１１番目 ： ０４×４ より、１６
となることから、下２ケタの数は、
１６→６４→５６→２４→９６→８４→３６→４４→７６→０４
の１０個のくり返しとわかるので、
３７番目の数の下２ケタの数は、７番目の ３６ です。
（２）１６→６４→５６→２４→９６→８４→３６→４４→７６→０４
の１０個をすべて足すと、
２つずつの和は８０と１８０になり
８０＋８０＋１８０＋８０＋８０＝５００
となるので、１番目から５５番目までの和は、
５００×５＋８０＋８０＋９６＝２７５６
となります。
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Ａ地点からＢ地点までの距離は16kmあります。
Ａ地点からＢ地点まで40人の生徒が車とかけ足で移動します。
車には10人しか乗れません。車の速度はかけ足の速度の３倍です。
まず車は10人の生徒を乗せてＡ地点を出発し、
同時に車に乗れない残りの生徒もかけ足でＡ地点を出発します。
車はＢ地点に到着後すぐに折り返しＡ地点に向かい
途中で出会った生徒をまた10人乗せて、
Ｂ地点に到着後すぐに折り返して……を繰り返します。
さて、全部の生徒をＢ地点まで運ぶのに車は全部で何km走りましたか。
ただし、車の乗り降りや折り返しにかかる時間は考えないものとし、
かけ足の速度は一定とします。
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図１のように最初に10人を乗せた車がＢ地点を折り返して、
駆け足の生徒に会うまでに、
車と生徒で合計AB間の距離の２倍
16×2＝32km進むことになります。
このとき車の速さは駆け足の３倍ですから
32kmのうち車の走った距離は32×３/４＝24 km
つまりＡ地点から24－16＝8kmの地点で会うことになります。
次の10人を乗せて車がＢ地点を折り返して
駆け足の生徒に会うまでに走る距離は
8×2×３/４＝12km
残りはＢ地点まで４ｋｍ
さらに次の10人を乗せてＢ地点に行き、
また折り返して生徒に会うまでに
4×2×３/４＝6km走り、
最後の10人を乗せて残りの２ｋｍ走って
Ｂ地点に全員到着となります。
車の走った距離は
24＋12＋6＋2＝44km
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上の図１に示す①～⑦の図形があります。これらの図形を下の図２、図３ の長方形と正方形のワクの中に入れることを考えます。なお、図１、図２のます目は同じ大きさの正方形です。
（１）図１の７つの図形を図２、図３のそれぞれのワクの中に重ねずにすき間なくしきつめます。ただし、図２、図３のどちらにも ① の図形がすでに置かれています。②～⑦の図形のしきつめ方と図形の番号を書き入れてください。なお、⑥の図形を裏返しには使えません。
（２）図１の①③④⑥⑦ の図形の中から１つ選び、その図形だけを何枚か使って、図２ と図３ のワクの中に重ねずにすき間なくしきつめることを考えます。図２、図３にすでにかかれている①の図形は取り除いて考えます。図１の①③④⑥⑦の図形のうち、図２のワクの中にしきつめることはできるが、図３のワクの中にしきつめることはできない図形はどれでしょうか。また、その図形を図３のワクの中にしきつめることができない理由を答えてください。
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（１）１例として、下の図４、図５のようになります。
他の答えもありますね。ｌ
（２）①の図形が図２、図３のワクを共にしきつめることが
できるのは明白でしょう。
その①の図形を③、④の図形は下の図６のように
しきつめることができるので、
①で可能なことは、③、④でも可能ということになります。
次に、⑥の図形は裏返すことができないので、
９０度の直角を作ることができず、
図２、図３のワクにすき間なくしきつめることができません。
ということは、最後に残った⑦が答えとなります。
⑦の正方形は、図２のワクにすき間なくしきつめることはできます。
マス目自体が⑦の正方形の形です。
図３の正方形の１辺の長さが、⑦の正方形の１辺の長さの
整数倍ではないので、図３のワクを⑦の正方形ですき間なく
しきつめることはできません。
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海外旅行に行きました。13万円の所持金を、できるだけドルに換えて、残りは円のまま持っていました。最初に250ドルを使いました。次に1000ドルをユ－ロに換えると、ちょうど768ユーロでした。 540ユーロを使い、使わなかったドルもユ－ロも円に換えると、残りの所持金は全部で47284円でした。１ユーロは何円でしたか。お金を交換するときの比率は、旅行中は変わりません。また、交換の手数料は考えません。割り切れないときは小数第１位を四捨五入しましょう。
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線分図にして整理してみると、
減ったお金は、
使った２５０ドルと５４０ユーロだけであることがわかります。
１ドルは、７６８÷１０００＝０．７６８ユーロ
２５０ドルは、２５０×０．７６８＝１９２ユーロ
使ったお金の合計は、１９２＋５４０＝７３２ユーロ
これが、１３００００－４７２８４＝８２７１６円の相当します。
したがって、１ユーロは ８２７１６÷７３２＝１１３円 です。
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水そうに給水口が付いていて、給水口を開けると水そうに１分間あたり ３％の食塩水が１００ｇ 入ります。また、水そうは十分に大きく、食塩水があふれ出ることはないものとして、次の問に答えなさい。
（１）はじめに水そうに ９％の食塩水７００ｇ が入っているとき、給水口を開けてから ５分後の水そうの食塩水の濃度を求めなさい。
（２）水そうを空にしてから、濃さも重さも分からない食塩水を入れました。その後、給水口を開けて水そうに食塩水を入れていくと、給水口を開けてから ４分後の水そうの食塩水の濃度は ６％で、給水口を開けてから １０分後の水そうの食塩水の濃度は ５％でした。はじめに水そうに入れた食塩水の濃度と重さを求めなさい。
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（１）９％の食塩水７００ｇ と ３％の食塩水５００ｇ を混ぜたときの濃度を求めればよいので、
下の図１のてんびん図より、
３％から９％の間の ６％ を ７：５ に分ければよく、
食塩水の濃度は、
３＋｛６÷（７＋５）｝×７＝６．５％
です。
（２）４分後から１０分後にかけては、
６％の食塩水□ｇ に３％の食塩水が ６００ｇ 供給されて、５％になっているので、
下の図２のようなてんびん図を描くことができ、
５-３＝２、６-５＝１ なので、６００×２＝□×１ より、
□＝１２００ｇ とわかります。
４分後に ６％の食塩水が１２００ｇ の状態にあるので、
はじめの食塩水は、１２００－４００＝８００ｇ です。
濃度がわからない食塩水８００ｇ に ３％の食塩水４００ｇ を加えると、
６％の食塩水 １２００ｇ になるので、下の図３のてんびん図を描くことができ、
４００ ： ８００ ＝ １ ： ２ なので、
６－３ ： □－６ ＝ ２ ： １ で、
最初の食塩水は、７．５％ で ８００ｇ と求められます。
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ある池に ２つの噴水Ａ，Ｂがあります。
噴水Ａは、水を６０秒間ふき出して、３０秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。
噴水Ｂは、水を８０秒間ふき出して、７０秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。
このとき・・・・・・
（１）噴水Ａ，Ｂが同時に水をふき出し始めてから、次に同時にふき出し始めるまでに、何分何秒かかりますか。
（２）噴水Ａ，Ｂが同時に水をふき出し始めてから２８分間で、２つの噴水が同時にふき出している時間の合計は何分何秒ですか。
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（１）噴水Ａは、６０＋３０＝９０秒のサイクル、
噴水Ｂは、８０＋７０＝１５０秒のサイクル なので、
噴水Ａ，Ｂが同時に水をふき出し始めてから、
次に同時にふき出し始めるまでにかかる時間は、
９０と１５０の最小公倍数の４５０秒、すなわち、
７分３０秒です。
（２）４５０秒間で、Ａ，Ｂが同時に水をふき出している時間は、下の図１のように
１６０秒間あります。
２８分＝２８×６０＝１６８０秒 で、
１６８０÷４５０＝３あまり３３０秒 なので、
２８分間で、Ａ，Ｂが同時に水をふき出している時間は、
１６０×３＋６０＋５０＋３０＝６２０秒＝１０分２０秒 です。
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上の図のように、直方体に底面の半径が２ｃｍで高さが２０ｃｍの円柱２個がきっちりと入った容器があります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）円柱１個の表面積を求めなさい。
（２）この容器に水は全部で何立方ｃｍ入りますか。ただし、円柱の中には水は入りません。
（３）この容器に水が入っていない状態から、円柱１個を１２ｃｍ、残りの円柱１個を５ｃｍ、それぞれ底から真上に持ち上げ、上から ２０８．６立方ｃｍの水を入れるとき、水面の高さは何ｃｍになりますか。ただし、円柱の中には水は入りません。
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（１）底面積×２＝２×２×３．１４×２＝８×３．１４
側面積＝４×３．１４×２０＝８０×３．１４
よって、円柱の表面積は、
（８０＋８）×３．１４＝８８×３．１４＝２７６．３２ｃ㎡
です。
（２）直方体の体積＝４×８×２０＝６４０㎥
円柱２個の体積＝２×２×３．１４×２０×２＝５０２．４ｃ㎥
より、入る水の体積は、
６４０－５０２．４＝１３７．６ｃ㎥
です。
（３）底面から５ｃｍまでの水の体積＝４×８×５＝１６０ｃ㎥ で、
さらに、２０８．６－１６０＝４８．６ｃ㎥ の水を入れることができ、
底面から５ｃｍ～１２ｃｍまでに入る水の体積は、
（４×８－２×２×３．１４）×７＝（３２－１２．５６）×７
＝１９．４４×７ → ４８．６より大きい
４８．６÷１９．４４＝２．５ より、水の高さは、
５＋２．５＝７．５ｃｍ
になります。
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★から☆までの整数の各位の数字の和を（★，☆）と表します。
たとえば、
（１１，１４）＝（１＋１）＋（１＋２）＋（１＋３）＋（１＋４）＝１４
（１２３，１２５）＝（１＋２＋３）＋（１＋２＋４）＋（１＋２＋５）＝２１
となります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）（１，５０）を求めなさい。
（２）（１，□）が１０００を超えるような□に入る整数のうち、最も小さい整数を答えなさい。
（３）（１００，９９９）を求めなさい。
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（１）１から５０まで、一の位の数の和は、
（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋０）×５＝４５×５＝２２５
十の位の数の和は、
１×１０＋２×１０＋３×１０＋４×１０＋５＝１０５
以上より、（１，５０）＝２２５＋１０５＝３３０ です。
（２）規則性を探りましょう。
（１，１０）＝４５＋１＝４６
（１，２０）＝４５×２＋１２＝１０２ （４６＋５６）
（１，３０）＝４５×３＋３３＝１６８ （１０２＋６６）
（１，４０）＝４５×４＋６４＝２４４ （１６８＋７６）
（１，５０）＝３３０ （２４４＋８６）
となっているので、以降は
（１，６０）＝３３０＋９６＝４２６
（１，７０）＝４２６＋１０６＝５３２
（１，８０）＝５３２＋１１６＝６４８
（１，９０）＝６４８＋１２６＝７７４
となります。
（９１，１００）＝９×９＋４５＋１＝１２７
なので、
（１，１００）＝７７４＋１２７＝９０１
です。
（１０１，１１０）＝４５＋１＋１×１０＝５６
（１１１，１２０）＝（１１，２０）＋１０＝６６
となり、９０１＋５６＋６６＝１０２３ で、ここで１０００を超えます。
１２０→３ １１９→１１ １１８→１０ で、３＋１１＋１０＝２４より、
１１８で初めて１０００を超えることがわかります。
（３）（２）より、（１，９９）＝９００ で、（０，９９）＝９００ です。
このことから、
（１００，１９９）＝９００＋１×１００＝１０００
（２００，２９９）＝９００＋２×１００＝１１００
･･・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（９００，９９９）＝９００＋９×１００＝１８００
となるので、
（１００，９９９）＝１０００＋１１００＋１２００＋・・・＋１８００
＝（１０００＋１８００）×９÷２
＝１２６００
と求められます。
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下の図のように正方形をいくつか組み合わせて図形を作りました。
（１）図の点Ｂから点Ｃへ最短ルートで行く方法は何通りありますか。 （２）図の点Ａから点Ｃへ最短ルートで行く方法は何通りありますか。
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（１）点Ｂから点Ｃへ最短で行くルートは、下の図１のように
１４通り の行き方があることがわかります。
（２）点Ａから点Ｃへ最短で行くルートは、下の図２のように
６２通り の行き方があることがわかります。
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ある店で、リンゴとナシを何個かずつ売りました。
１日目は、
リンゴはリンゴ全体の個数の５割、ナシはナシ全体の個数の４割が売れました。
２日目は、
残ったリンゴとナシを売りました。ナシは全て売れましたが、
リンゴは１日目に売れたナシと同じ個数だけ売れて、４２個残りました。
２日目に売れたリンゴとナシの合計の個数は、
１日目に売れたリンゴとナシの合計の個数より１８個少なくなりました。
はじめにあったリンゴとナシの個数はそれぞれ何個ですか。
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リンゴ５割の個数 ＝ ナシ４割の個数＋４２個 なので、
１日目、２日目に売れたそれぞれの個数は、下の図１のようになります。
１日目に売れた個数 ＝ ナシ８割 ＋ ４２個
２日目に売れた個数 ＝ ナシ１０割
で、２日目の方が１日目より１８個少ないので、
ナシ２割の個数 ＝ ４２－１８ ＝ ２４個
とわかるので、
ナシの総数 ＝ ２４×５ ＝ １２０個
リンゴの総数 ＝ （２４×２＋４２）×２ ＝ １８０個
と求められます。
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下の展開図を組み立てたとき、
１つの頂点に集まる３つの面に書かれた数の和のうち、
最大な和はいくつですか？
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図のように、３＋５＋６＝１４ です。
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ある規則にしたがって、下のように ２，３，５，７，１１ が並んでいます。
２，３，５，７，１１，２，２，３，３，５，５，７，７，１１，１１，２，２，２，３，３，３，…
このとき、次の問に答えなさい。
（１）はじめから数えて、１３１番目の数はいくつですか。
（２）１１が初めて１１個連続で並ぶのは、はじめから数えて何番目から何番目までですか。
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（１）２，３，５，７，１１ → ５個
２，２，３，３，５，５，７，７，１１，１１ → １０個
・・・のように、
５の倍数ずつのカタマリとして考えると、
５＋１０＋１５＋２０＋２５＋３０＝１０５
５＋１０＋１５＋２０＋２５＋３０＋３５＝１４０
なので、７個連続のカタマリの、うしろから１０番目がはじめから数えて１３１番目で、
うしろから７個の１１があるので、
うしろから１０番目の求める数は、７ です。
（２）１１個連続で並ぶカタマリは、１１×５＝５５個のカタマリで、
５＋１０＋１５＋・・・＋５５＝（５＋５５）×１１÷２＝３３０
なので、
３２０番目から３３０番目までの１１個に１１があります。
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たて２．５ｃｍ、横１０/７ｃｍ、高さ２ｃｍの直方体があります。
この直方体をすべて同じ向きにすき間なく並べて立方体を作りました。
作ることができる立方体のうち、最も小さいものは１辺何ｃｍで、
直方体を何個使って作ることができますか。
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たて２．５ｃｍ、横１０/７ｃｍ、高さ２ｃｍの直方体を積み重ねるので
２．５、１０/７、２ の最小公倍数が、
できる立方体の１辺の長さです。
２．５ と ２ の最小公倍数は、１０です。
１０/７ と １０の最小公倍数も、１０です。
よって、最も小さい立方体の１辺の長さは１０ｃｍです。
１辺１０ｃｍの立方体が、
たて２．５ｃｍ、横１０/７ｃｍ、高さ２ｃｍの直方体が
何個使われているかというと、
たて・・・１０÷２．５＝４個
よこ・・・１０÷１０/７＝７個
高さ・・・１０÷２＝５個
ゆえに、４×７×５＝１４０個 となります。
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下の図１は、大きな正方形のたてと横をそれぞれ ４つに区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものです。
下の図２は、同じように大きな正方形のたてと横をそれぞれ区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものの一部を表したものです。
図２の一番下の段が、大きな正方形の中でも一番下の段になっている部分になっています。
（１）図２のとき、大きな正方形のたてと横を何個に区切っていますか。
（２）図２のアはいくつですか。
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（１）与えられている情報が、一番下の段と、その上の段の数
しかないということは、その２つを比べよう！ということです。
図１で、一番下の段と、その上の段の数を比べると、
下の図３のように、差が９ ですが、
最初の数【１】までたどると、差は１１です。
これと同様に、図２において、一番下の段と、
その上の段の数の差は、９３ あるので、下の図４のように
最初の数【１】のとなりの数は、９５差がある【９６】です。
９６÷４＝２４ より、図２のとき、下の図５のように
大きな正方形のたてと横を、２４＋１＝２５個 に
区切っていることがわかります。
（２）（１）より、一番外側には、２５個の数があることがわかり、
外側から１つ内側に入ると、２３個ずつの数があり、
さらに１つ内側に入ると、２１個ずつの数があります。
すると、下の図６のようなうずまきで考えることができ、
アに入る数は、９６＋２２×４＋２０＋３＝２０７ です。
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１辺８０ｃｍの正方形の内部を点Ｐ が頂点Ａ を出発して次のルールに従って、
まっすぐ動きます。
【 ルール 】
・ 各辺に当たるとはね返る
・ 各頂点に当たると止まる
上の図１のように、点Ｐ が辺に当たる角を 【あ】、はね返る角を 【い】とするとき、
次の問に答えなさい。
（１）【あ】と【い】が等しく、
点Ｐ が１回目に頂点Ｂ から３０ｃｍのところではね返るとすると、
４回目にはね返る場所は、どの頂点から何ｃｍのところですか。
ただし、頂点は最も近い頂点を答えなさい。
（２）（１）のとき、点Ｐ は止まるまでに何回はね返りますか。
（３）【い】が【あ】の半分になるとき、
４回目にはね返るまでの点Ｐ の道筋が下の図２のようになりました。
角Ｑの大きさ を答えなさい。
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（１）点Ｐ の移動は、下の図３ のように、
１回目に頂点Ｂ から３０ｃｍ の点Ｅ ではね返り、
２回目に頂点Ａ から ６０ｃｍ の点Ｆ ではね返ります。
３回目は点Ｅ から ６０ｃｍ の点Ｇ ではね返りたいところですが、
ＢＣ＝８０ｃｍ なので、点Ｐ はＣＤ上の点Ｈ ではね返り、ＢＣ上の点 Ｉ ではね返ります。
ＣＧ＝１０ｃｍ なので、Ｃ I ＝１０ｃｍ です。
よって、４回目にはね返る場所は、頂点Ｃ から１０ｃｍのところです。
（２）３０ｃｍ ずつ辺ＡＤ，ＢＣ で反射するので、
反射の様子は、下の図４のようになります。
辺の長さ ８０ｃｍ と、３０ｃｍ の最小公倍数の２４０ｃｍ のところで点Ｐ が止まります。
はね返った回数は、
辺ＡＤ，ＢＣ ・・・ ８－１（最後の頂点に到達したとき）＝７回
辺ＡＢ，ＣＤ ・・・ ２回
より、７＋２＝９回 です。
（３）下の図５のように、Ｑ～Ｗ までの角度を定めると、
角Ｒ＝Ｑ/２
角Ｓ＝９０度－Ｑ/２
角Ｔ＝角Ｓ÷２＝４５度－Ｑ/４
角Ｕ＝９０度－角Ｔ＝４５度＋Ｑ/４
角Ｖ＝角Ｕ÷２＝２２．５度＋Ｑ/８
角Ｗ＝角Ｑ（錯角）
なので、角Ｗ＋角Ｖ＋８５．５＝１８０度より、
Ｑ＋２２．５＋Ｑ/８＋８５．５＝１８０
Ｑ＋Ｑ/８＝７２
Ｑ＝６４度
と求められます。
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真っ暗な夜。川のこちら岸にA、B、C、Dの４人がいます。向こう岸に行くには小さな橋を渡らなければいけません。橋は小さくて同時に２人までしか渡れません。また、橋を渡るときには懐中電灯が必要ですが、懐中電灯はたった１つしかありません。つまり２人で向こう岸に渡り、１人は懐中電灯を持ってもどり、また２人で向こう岸に行く、ということをくり返さないと４人全員が渡ることはできません。
①Ａはこの橋を１人で渡ると１分かかります。
②Ｂはこの橋を１人で渡ると１分30秒かかります。
③Ｃはこの橋を１人で渡ると２分かかります。
④Ｄはこの橋を１人で渡ると２分30秒かかります。
⑤２人で渡る時は、２人のうちの遅い人の速さで渡ります。
という条件のとき、
４人全員が向こう岸に渡り終えるまでに最短で何分かかりますか。
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一番移動時間が短いAが常に懐中電灯を持って、
両岸を行き来すればOKです！
１．５＋１＋２＋１＋２．５＝８分
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太郎君の所持金は次郎君の所持金の２倍です。
まず、太郎君が所持金の１/３より３２０円多い金額を次郎君にあげました。
次に、次郎君がそのときの所持金の１/４の金額を太郎君にあげたところ、
２人の所持金は等しくなりました。
太郎君のはじめの所持金は何円ですか？
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２回目のやり取りから考えてみると、
２人の所持金は③と③で等しくなり、
次郎からの１/４は①に相当することがわかります。
つまり最初のやり取りの後、
太郎→②、次郎→④の所持金になったわけで、
最初、太郎→④、次郎→②だったことから、
最初、太郎が次郎にあげた金額は②だと分かります。
それが④/３＋３２０円に相当するので、
３２０円は②－（④/３）＝②/３に相当し、
④は ④÷（②/３）＝６倍なので、
太郎の最初の所持金は、
３２０×６＝１９２０円になります。
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図の斜線部分の円の面積が10ｃ㎡のとき、
正三角形ＡＢＣの外にある円の面積は何ｃ㎡ですか。
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２つの円の中心をＯとすると、
△黄は９０°、６０°、３０°の直角三角形になり、
図の様に、斜辺と短い辺の比が２：１になります。
大きい円の半径と小さい円の半径の比が２：１なので、
面積比は（２×２）：（１×１）＝４：１ となり、
外側の円の面積は、１０×４＝４０ｃ㎡ です。
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図のように１辺が１ｃｍの正方形が６つあります。
頂点の数は全部で１２個です。
この１２個の頂点の中の３つを結んで
面積が２．５ｃ㎡の三角形を１つ作ってください。
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△赤は１．５ｃ㎡
△水色は１ｃ㎡
△黄＝△緑なので、
△ACDは２．５ｃ㎡になります。
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ＡさんとＢ君がアメをそれぞれ１０個ずつ持っています。
２人はジャンケンをして、グーで勝つとアメを４個、チョキで勝つとアメを３個、
パーで勝つとアメを２個相手からもらうゲームをします。
どちらかのアメの個数がもう一人のアメの個数の３倍以上になった時点で、
アメを多く持っている方を勝者としてゲームは終了します。
ただし、ゲーム中に、あいこは一度もないものとして、次の問に答えなさい。
（１）２回目のゲームでＡさんが勝者として終了するとき、２人の手の出し方は全部で何通りありますか。
（２）３回目のゲームで終了するとき、２人の手の出し方は何通りありますか。
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（１）アメの数は、２人合わせて２０個なので、
ゲームが終了するのは、勝者が１５個以上のアメを獲得したときです。
２回目のゲームでＡさんが勝利するには、Ａさんは２連勝するしかありません。
Ａさんの手の出し方は、１回目：（グー、チョキ、パー）、
２回目：（グー、チョキ、パー）の ３×３＝９通り ありますが、
１回目も２回目もパーで勝ったときだけ、１５点に届かないので
２人の手の出し方は、９－１＝８通り あります。
（２）３回目でゲームが終了するので、２回目で終了してはいけません。
Ａさんの勝利でゲームが終了するものとして考えると、
３連勝で３回目にゲームが終了するのは、２回目までパーを
出し、３回目は、グー、チョキ、パーのどれでもよいので、３通りです。
２勝１敗で終わるとき、
最後にパー（＋２）で勝つ場合、最もアメの個数が多くなるのは
グーで勝つ（＋４）、パーで負け（－２） → ＋２ ＋２ →１４ ですが、
アメは１４個が最高なので、勝負がつきません。
最後にチョキ（＋３）で勝つ場合
グーで勝つ（＋４）、パーで負け（－２） → ＋２ ＋３ →１５
の場合のみ、勝敗がつき、手の出し方は、
（グー勝、パー負、チョキ勝）、（パー負、グー勝、チョキ勝）
の２通りです。
最後にグー（＋４）で勝つ場合
グーで勝つ（＋４）、パーで負け（－２） → ＋２ ＋４ →１６
グーで勝つ（＋４）、チョキで負け（－３） → ＋１ ＋４ →１５
チョキ勝つ（＋３）、パーで負け（－２） → ＋１ ＋４ →１５
の場合で勝敗がつき、手の出し方は、２×３＝６通り です。
１勝２敗でＡさんが勝利することはありません。
よって、Ａさんの勝利で３回目でゲームが終了するのは
３＋２＋６＝１１通り あります。
Ｂ君の勝利で３回目でゲームが終了する場合も、同様に
１１通り あるので、３回目でゲームが終了する場合の
２人の手の出し方は、１１×２＝２２通り です。
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４９/１５と５６/２７に、ある同じ分数をかけると整数になります。
このような分数の中で、最も小さい分数は？
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４９と５６の最大公約数 ７を分母、
１５と２７の最小公倍数 １３５を分子にした、
１３５/７
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温度を上げるときの割合は常に一定で、
温度を下げるときの割合も常に一定に行える装置があります。
この装置にある液体を入れ、
時間とともに液体の温度がどのように変化するかを下のグラフに表しました。
グラフ中の点Ａの液体の温度は何度になりますか。
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温度は、１分で１．５°上がり、１°下がります。
２０分から６０分の４０分で、温度を上げ続ければ、
１．５×４０＝６０°上がるところ、
実際は５０－４５＝５°しか上がらなかったわけです。
１分上げる代わりに１分下げれば、１．５＋１＝２．５°下がるので、
（６０－５）÷２．５＝２２分下げる時間があったことになります。
２２分で２２°下がったので、
Ａの温度は、４５－２２＝２３° です。
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立方体の各辺の半分の長さの点を結んで、各頂点から三角すいを切り落とすと、
見取り図のような正三角形と正方形で囲まれた美しい立体図形、
（アルキメデスの準正多面体）が出来上がります。
この図形の展開図は、図①、図②のようになります。
（問い１）
図①の展開図を組みたてたとき（Ａ）の面と平行なのは、（Ｂ）の面です。
では、（ア）の面と平行なのは、（イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク）のどの面ですか。
（問い２）
図②の展開図を組みたてたとき、辺アイと平行な辺はどこですか。
②に書き込んでください。
（１つの辺が、２つに離れている場合は、両方に線を引いてください｡）
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問い①
カ
問い②
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１１９/７５、１２３/７７、１２７/７９、・・・ のように、
分母には順番に２を加え、分子には４を加えて分数を作っていきます。
この分数は【 ア 】に近づいていきますが、【 ア 】より大きくなることはありません。
【 ア 】にあてはまる整数はいくつですか。
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分母には２を、分子には４を加え続けるとき、
例えば１万回くり返すと、
分母に２００００、分子に４００００が加えられ、
４０１１９/２００７５ になります。
例えば１億回くり返すと、分母に２億、分子に４億が加えられ、
４０００００１１９/２００００００７５ になります。
これは、ほぼ ２ になりますが、２より大きくはなりません。
よって、【 ア 】に入る整数は、２ です。
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赤、青、緑、黄、紫の５色の絵の具があります。
このうちから何色か使って、下の図の①～⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。
ただし、それぞれの部分は、この５色のうちの１色だけでぬり、
となり合った部分は違う色をぬることとします。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）赤、青、緑の３色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。
（２）赤、青、緑、黄の４色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。
（３）全部で何通りのぬり方がありますか。
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（１）⑤の部分を赤とすると、②と③の部分は、⑤ととなり合っているので、
下の図１－１、１－２ の２通りのぬり方になります。
（この時点で３色すべてを使っています）
図１－１のとき、①には赤か青、④には赤か緑が入るので、
２×２＝４通り のぬり方があり、
同様に図１－２のときも４通り のぬり方があります。
⑤を赤とすると、４×２＝８通り のぬり方があり、
青、緑のときも同様なので、赤、青、緑の３色をすべて使うと、
８×３＝２４通り のぬり方があります。
（２）５か所を４色でぬるので、どこかとどこかが同じ色にしなければなりません。
同じ色にする場所として考えられるのは、
①と③、①と④、①と⑤、②と④、④と⑤
の ５通り があります。
たとえば、①と③を同じ色にするとき、
①、②、④、⑤ を４色でぬる方法を考えればよく、
４×３×２×１＝２４通り
があります。
同じ色をぬる場所が変わっても、同様に２４通りとなるので、
赤、青、緑、黄の４色すべてを使うと、２４×５＝１２０通り のぬり方があります。
（３）５色すべてを使うと、５×４×３×２×１＝１２０通り のぬり方があります。
４色を使ってぬるとき、５色から４色を選ぶ方法は ５通りあるので、
（２）より、１２０×５＝６００通り のぬり方があります。
３色を使ってぬるとき、５色から３色を選ぶ方法は、
除く２色の選び方と等しく、４＋３＋２＋１＝１０通り あるので、
（１）より、２４×１０＝２４０通り のぬり方があります。
１色だけ、２色だけでぬることはできません。
（②、③、⑤の部分は必ず３色必要）
よって、１２０＋６００＋２４０＝９６０通り のぬり方があります。
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図のように大きな長方形を
面積がそれぞれ12c㎡、24c㎡、36c㎡、48c㎡の４つの小さな長方形に分けました。
斜線部分の面積は何c㎡ですか。
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図のように、大きな長方形の横の長さを１とすると、
上２つの長方形の面積比から、AB＝１/４
下２つの長方形の面積比から、CD＝１/３
アイの長さは１/３－１/４＝１/１２
斜線部分は上下とも底辺が１/１２の三角形で、
高さは大きな長方形のたての長さなので、
面積＝（１２＋２４＋３６＋４８）×１/１２÷２
＝１２０×１/２４＝５ｃ㎡
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図Ａは同じ大きさの正三角形４枚でつくった三角すいを，
底面に平行な平面で切ってできた立体の見取図です。
図ＢはＡの展開図です。展開図の面積を３７４ｃ㎡とします。
切り□の面積と底面の面積の比が２：７のとき，
切り口の面積の大きさは何ｃ㎡でしょうか。
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切り取った上の部分が、やはり４面とも正三角形になります。
△黄：△赤＝２：７
見取り図の台形部分は７－２＝５
見取り図全体では５×３＋７＝２２
この２２が３７４ｃ㎡に当たるわけです。
切り口の２に当たるのは、２/２２×３７４＝３４ｃ㎡
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下の図１のような底面の半径が２０ｃｍ、高さが２ｃｍの円柱Ａがあります。
この円柱の上の面に、同じ高さで、底面の半径を１ｃｍ短くした円柱を、
はみ出ないように重ねます。
同様に、同じ高さで、底面の半径を１ｃｍずつ短くした円柱を次々と重ねていきます。
（１）図２のように、円柱Ａ の上に２個の円柱を重ねたとき、できあがった立体の表面積は何ｃ㎡ですか？
（２）立体の表面積が初めて ５０００ｃ㎡ を超えるのは、円柱Ａ の上に何個の円柱を重ねたときですか？
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（１）図２の表面積は、
上下から見える部分：２０×２０×３．１４×２個分
側面の部分：
２０×２×３．１４×２
＋１９×２×３．１４×２
＋１８×２×３．１４×２
＝（２０＋１９＋１８）×３．１４×４
の和で、
（２００＋５７）×３．１４×４
＝１０２８×３．１４＝３２２７．９２ｃ㎡
です。
（２）上下の部分 ： ２０×２０×３．１４×２＝２５１２ｃ㎡
は変わらないので、５０００－２５１２＝２４８８ｃ㎡ が
積み重ねた円柱の側面積で増えていきいます。
（２０＋１９＋１８＋・・・＋□）×３．１４×４≧２４８８
となればよいわけです。４で割ると、
（２０＋１９＋１８＋・・・＋□）×３．１４≧６２２
で、３．１４で割ると
（２０＋１９＋１８＋・・・＋□）≧１９８．０８・・・ ←【★】
です。
２０＋１９＋１８＋・・・＋２＋１＝２１０
で、１＋２＋３＋４＝１０、１＋２＋３＋４＋５＝１５ より、
【★】を満たす □＝５ です。
２０＋１９＋１８＋・・・＋５＝２００ で、円柱Ａ の上に重ねた
円柱の個数は、２０－（４＋１）＝１５個 です。
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コインがたくさんあり、そこからＡ君とＢ君の２人が交互にコインを取っていきます。
1回目はＡ君が１枚、２回目はＢ君が３枚、３回目はＡ君が５枚、
４回目はＢ君が７枚、５回目はＡ君が９枚、・・・・・・というように、
２人は自分が前に取った枚数より４枚多くコインを取ります。
何回か取った後、２人の持っているコインの枚数を比べたところ、差が３１枚でした。
コインを多く持っているのはどちらですか。
また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。
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① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
Ａ君 １ ５ ９ １３
Ｂ君 ３ ７ １１
①回目→Ａが１枚多い
②回目→Ｂが２枚多い
③回目→Ａが３枚多い
④回目→Ｂが４枚多い
⑤回目→Ａが５枚多い
⑥回目→Ｂが６枚多い
⑦回目→Ａが７枚多い
・
・
・
Ａが奇数枚多くなり、Ｂは偶数枚多くなるので、
３１枚多くなるのは、３１回目で、Ａ君になります。
コインを取る数は、何回目×２－１ で求められるので、
３１回目では、３１×２－１＝６１枚 です。
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たて１ｃｍ、横２ｃｍの長方形の紙を下の図のように規則的にならべていきます。このとき、次の問に答えなさい。
（１）６番目の図形の周囲の長さ（図の太線部分）を求めなさい。
（２）図形の周囲の長さが１５０ｃｍになるのは何番目の図形ですか。
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（１）太線の長さは、下の図１のように、図形がぴったり入る
長方形の周りの長さに等しいことがわかります。
１番目は、１ｃｍ×２ｃｍの長方形の周りの長さ
２番目は、３ｃｍ×４ｃｍの長方形の周りの長さ
３番目は、５ｃｍ×６ｃｍの長方形の周りの長さ
４番目は、７ｃｍ×８ｃｍの長方形の周りの長さ
として、規則的に測ることができるので、
６番目は、１１ｃｍ×１２ｃｍの長方形の周りの長さと等しく、
（１１＋１２）×２＝４６ｃｍ となります。
（２）□番目の長方形が、（たて＋横）×２＝１５０ｃｍ
となるので、たて＋横＝７５ｃｍ とわかります。
さらに、たてと横の差は１ｃｍなので、たて＝３７ｃｍ、横＝３８ｃｍ
となります。
番号と横の長さは、２倍の関係になっているので、
太線の長さが１５０ｃｍになるのは、３８÷２＝１９番目 です。
＜別解＞
（１）１番目の長方形の周囲の長さは、６ｃｍです。
２番目以降の図形の周囲の長さは、下の図２のように、図形を
青線部分と黄色線部分に分けて考えると、
黄色い線の長さは６ｃｍで、青線部分の長さはそれぞれ
２番目・・・２×４
３番目・・・４×４
４番目・・・６×４
となるので、６番目の図形の青線部分に当たる長さは、
１０×４＝４０ｃｍ となります。
よって、６番目の図形の周囲の長さは、
青線部分＋黄色線部分＝４０＋６＝４６ｃｍ です。
（２）□番目の図形の周囲の長さは、（□－１）×２×４＋６
として求めることができるので、
（□－１）×２×４＋６＝１５０ｃｍ となるのは、
□＝１９ より、１９番目です。
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下は、一の位の数字が７、千万の位の数字が９の、
８けたの数字をあらわしています。
この８けたの数字は、となりあう３つのけたの数字の和はどれも21になります。
千の位の数字はいくつですか。
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各位を以下のようにアルファベットで表すと、
A＋B＝２１－９＝１２ なので、
C＝９
D＋E＝２１－９＝１２ なので、
F＝９
E＝２１－（７＋９）＝５
D＝２１－（９＋５）＝７
B＝５、A＝７
８桁の数は、９７５９７５９７ なので、？＝７
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一方が他方より３ゲーム多く勝ったときに優勝が決まるというルールで、
Ａ､Ｂの２人が競技を行いました。
ただし、引き分けはないものとします。
①ちょうど９ゲーム目が終わったときに、Ａが６勝３敗となり優勝しました。
このときに考えられるＡの勝ち負けの順は何通りありますか。
②ちょうど12ゲーム目が終わったときに、優勝が決まることはありません。
その理由を説明してください。
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①下の図のように，Ａが勝つと右へ１つ，Ｂが勝つと上へ１つ行く道順を考えます。
交点にはそこに行き着く道順の数を書いていきます。
Ａが６勝３敗で勝ったので，右へ６マス，上へ３マス行きますが，
×の地点は６勝３敗になる前に，一方が他方より３ゲーム以上多く勝って優勝が決まってしまうところなので除きます。
つまり，×の地点を通らないで行く道順を考えればよいわけです。
全部で２７通りになります。
②ちょうど１２ゲーム目で優勝が決まったとすると，２人の勝ち数の和は１２です。
また，一方が他方より勝ち数が３多いことになります。
勝ち数が少ない方の勝ち数は，
（１２ー３）÷２＝４．５勝
多い方は
４．５＋３＝７．５勝 となりますが，
勝ち数は整数ですから，ちょうど１２ゲーム目で優勝が決まることはありません。
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上の図は、正方形の紙を少し重ねながら、
１枚につき４個の画びょうで、横３枚、縦２段を壁にはりつけたものです。
同じ方法で、横１０枚、縦５段をはりつけるとき、画びょうは何個必要ですか。
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下の図１の赤い正方形のように、
右に１枚、または下に１枚の 正方形をはりつけると、
さらに３個の画びょうが必要になります。
また、下の図２の青い正方形のように、上と左に正方形がある状態で、
正方形を増やすと、２個の画びょうが必要になります。
左上の１枚を最初にはりつける正方形として考えると、
左上の１枚は、４個の画びょうが必要で、
１段目の残り９枚はそれぞれ３個、２～５段目の一番左の正方形もそれぞれ３個、
残りの正方形は２個の画びょうが必要で、
下の図３のようにグループ化することができます。
よって、必要な画びょうの個数は、
４＋３×４＋３×９＋２×４×９＝１１５個 です。
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１から10までの数字が1つずつ書かれたカードが10枚あり、
そのうち５枚は青字で、残りの５枚は赤字で書かれています。
10枚のカードの中から５枚のカードを取り出して、
青字で書かれた数字をすべて足すことにします。
それぞれの５枚の組み合わせに対して、
青い数字の和は矢印の右側の数になります。
青字で書かれた数字を小さい順に並べてください。
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４になる組み合わせは、１＋３と４ですが、
１６になる組み合わせは２＋４＋１０だけなので、２と４と１０は青字です。
したがって、１、３、５、７、８が赤字になるので、
青字は、２、４、６、９、１０です。
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４～９の６個の数字を１つずつ下の□に入れて、
３けたどうしの数の積が最大になるようにしてください。
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百の位は９と８、十の位は７と６、一の位は５と４になりますが、
その組み合わせは、どう組み合わせても・・・
２つの数をたすと、
９００＋８００＋７０＋６０＋５＋４＝１８３９と一定です。
２つの数の和が一定の場合、差が小さいほど積は大きくなります。
したがって、
９００台の最小数と８００台の最大数を組み合わせると、
９６４×８７５
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まず２ｋｍを泳ぎ、次に自転車を８ｋｍこぎ、最後に４ｋｍ走る競技があります。
Ａ選手は毎分４０ｍの速さで泳ぎ、毎時□ｋｍの速さで自転車をこぎ、
毎秒２ｍの速さで走りました。
Ａ選手の記録は１時間５５分２０秒でした。
□＝？
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泳いだ時間は、
２０００ｍ÷４０ｍ/分＝５０分
走った時間は、
４０００ｍ÷２ｍ/秒＝２０００秒
２０００秒÷６０秒＝３３分あまり２０秒
泳ぎ＋走り＝１時間２３分２０秒
自転車の時間＝１時間５５分２０秒－１時間２３分２０秒＝３２分
自転車の速さは、
８０００ｍ÷３２分＝２５０ｍ/分
２５０ｍ×６０分＝１５０００ｍ/時
１５ｋｍ/時
□＝１５
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同じ大きさの立方体を、面と面がぴったりと重なるようにいくつか積み重ねて立体を作りました。
その立体を真上から見た図と、正面から見た図は右のようになっています。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も少ない場合を考えます。
立方体は何個必要ですか。
（２）この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も多い場合を考えます。
立方体は何個必要ですか。
（３）この図のようになる立体は全部で何通りありますか。
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（１）は図のように９個です。
（２）は図のように１４個です。
（３）真ん中の２個にはそれぞれ１個積む場合と、両方積む場合の３通りが考えられます。
右側の３個はまず、それぞれ０個か１個か２個積む場合を考えます。
その場合の数は３×３×３＝２７通りですが、
０００、１００、０１０、００１、１１０、１０１、０１１、１１１の８通りは高さが３個にならないので除きます。
すると、２７－８＝１９通りが考えられるので、
３×１９＝５７通りの立体ができます。
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計算してください。
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カッコ内を通分すると、分母は１０２４、
分子は、５１２＋２５６＋１２８＋６４＋３２＋１６＋８＋４＋２＋１
この数列の足し算は、たとえば、
１＋２＝３ が（次の項－１）→（４－１）
１＋２＋４＝７ が（次の項－１）→（８－１）
というような規則性があります。
したがって、５１２の次の項１０２４から１をひいて
１０２３が分子の合計なので、
１－１０２３/１０２４＝１/１０２４
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Ａ、Ｂ２人がゲームをします。
１回のゲームでは、勝者に４点、敗者に０点が与えられ、
引き分けのときは、両者に１点ずつが与えられます。
１０回のゲームが終わったとき、２人の得点の合計は３４点でした。
考えられるＡの得点は、最低で何点？最高で何点でしょうか？
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引き分けがなかったら、どちらかが勝つので、
２人の得点合計は、４×１０＝４０点になるはずです。
１回引き分けがあると、４点が→１×２＝２点に減るので、
４０－３４＝６点 は
６÷２＝３回 引き分けがあったことになります。
したがって、Ａの最高は残り７回すべて勝った場合で、
４×７＋３＝３１点
最低は７回すべて負けた場合で、引き分けの点だけで、
３点 です。
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１/４を小数で表すと０．２５となり、わり切れます。
１/３は０．３３３３３・・・となり、わり切れません。
偶数の積２×４×６×・・・・・×２０ をＡとするとき、
Ｂ/Ａ がわり切れるような最も小さい整数Ｂはいくつでしょうか？
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２→２
４→２×２
６→２×３
８→２×２×２
１０→２×５
１２→２×２×３
１４→２×７
１６→２×２×２×２
１８→２×３×３
２０→２×２×５
２×４×６×・・・・・×２０
＝２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×
３×３×３×３×５×５×７
２×・・・・・×２ はどんな数でも割り切れます。
また、５×５ も、どんな数でも割り切れます。
したがって、３で４回割り切れて、さらに７でも割り切れる最小の数を考えると、
３×３×３×３＝８１ と７の最小公倍数、 ５６７になります。
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１２２１や７５９５７のように、数字の並びが左右対称な整数を考えます。
４４４４４のように、すべて同じ数字が並ぶものも左右対称と考えます。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）４ケタの整数で、数字の並びが左右対称なものは何個ありますか。
（２）５ケタの整数で、数字の並びが左右対称ではないものは何個ありますか。
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（１）ＡＢＢＡ のようになっている数の個数は、
数字Ａ－Ｂ の並び方だけ考えればよいので、
Ａ には、１～９ の９通り
Ｂ には、０～９ の１０通り
の数字が入るので、数字の並びが左右対称になる整数は
９×１０＝９０個 です。
（２）ＡＢＣＢＡ のようになっている個数を、５ケタの整数の個数から除けばよいです。
Ａ には、１～９ の９通り
Ｂ には、０～９ の１０通り
Ｃ には、０～９ の１０通り
の数字が入るので、９×１０×１０＝９００個 が左右対称なので、
５ケタの整数は １００００～９９９９９ まで、
９９９９９－９９９９＝９００００個
あるので、求める個数は、
９００００－９００＝８９１００個
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奇数の和：３９＋４１＋４３＋・・・＋Ａ
偶数の和：４４＋４６＋４８＋・・・＋Ｂ
があります。
奇数の和の整数の個数は、偶数の和の整数の個数より１つ多く、
奇数の和と偶数の和が等しいとき、
それぞれの最後の整数Ａ，Ｂはいくつでしょう？
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奇数の和と偶数の和が等しいわけなので、それぞれ引き算するとゼロになることになります。
奇数の和の整数の個数が、偶数の和の整数の個数より１つ多いので、
奇数の和の最初の３９だけ外して、下の図のように引き算をすると、
３９－３－３－３－３・・・－３ となり、これが０になるわけなので、
３９から３を１３回引けばよいことがわかります（１３×３＝３９）。
ということは、偶数の和の整数の個数は１３個で、
奇数の和の整数の個数は１４個 となります。
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１辺が１２ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあり、
弧ＡＣは、点Ｄを中心として描かれた円の弧です。
また、点ＦはＢＣの延長線上の点です。
円周率を３とすると、色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか？
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△緑と黄色部分を分けて計算します。
△赤どうしが相似で相似比が８：４＝２：１なので、ＣＦ＝６ｃｍ
△緑＝６×１２÷２＝３６ｃ㎡
黄色部分＝１２×１２×３÷４－１２×１２÷２＝３６ｃ㎡
色部分＝３６＋３６＝７２ｃ㎡
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上の図１のように正方形のマス目がたくさん並んでいます。
左下のマス目から出発して、上下左右のマス目に１マスずつ移動していきます。
移動したマス目はぬりつぶし、一度通ったマス目は通らないことにします。
たとえば、右→上と進むと、下の図２のようにぬりつぶされ、
また、下の図３のようにぬりつぶされる進み方は、
右→上→左 、 上→右→下
の２通りがあります。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）上の図４のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。
（２）上の図５のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。
（３）左下も含めて ６マスぬしつぶすと、それがちょうど立方体の展開図になるような進み方があります。
このうち、はじめに右に進む進み方は ４通りあります。進み方をすべて描きなさい。
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（１）図４のようにぬりぶつされる進み方は、下の図６のように３通り となります。
図６の下の２つは、行き止まりや、進むことができないマスができてしまいます。
（２）最初に右または上に直線的に進むと、
下の図７のように斜線のマスにたどりつき、残り ６マスとなります。
図７は、図４と同じ状況なので、
（１）より、この先は、それぞれ３通りの進み方があることがわかります。
次に、右または上の２マス目まで進み曲がると、
下の図８のようにまん中のマスにたどり着き、
それぞれ１通りの進み方しかありません。
よって、図５のようになるのは、
３×２＋１×２＝８通り の進み方があることがわかります。
（３）立方体の展開図のようになるのは、下の図９のものが
ありますが、
④と⑤はひっくり返すと同じものになるので、
図９から、①、②、③、④ または ①、②、③、⑤ を選べば正解です。
④と⑤は立方体になりません！
下の図のどちらかが正解です！
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図のような図形を点線に沿って４つの合同な図形に分けるには、
どのように分ければよいか、図に示しなさい。
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すべての辺の長さが ６ｃｍ である三角すいＡＢＣＤ において、
辺ＡＣ，ＡＤ をそれぞれ ３等分する点のうち、点Ｃ，Ｄ に近い方をそれぞれ点Ｐ，Ｑ とします。
また、点Ｒ は辺ＡＢ，ＢＣ 上を動く点とします。ただし、点Ｒ は点Ａ と点Ｃ には重なりません。
下の図のように、３つの点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面で三角すいＡＢＣＤ を切ったときにできる２つの立体のうち、
点Ａ を含む立体を【Ａ】、点Ｃ を含む立体を【Ｃ】と表します。このとき、次の問に答えなさい。
（１）点Ｒ が辺ＡＢ のちょうどまん中にあるとき、【Ａ】と【Ｃ】の 体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２）点Ｒ が辺ＢＣ を３等分する点のうち、点Ｃ に近い方にあるとき、【Ａ】と【Ｃ】の体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
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（１）ＡＰはＡＣ の２/３、ＡＱはＡＤ の２/３、ＡＲはＡＢ の１/２なので、
三角すいＡ－ＰＱＲ は、三角すいＡ－ＢＣＤ の
２/３ × ２/３ × １/２ ＝ ２/９
の体積となります。
よって、【Ａ】の部分が ２/９、【Ｃ】の部分が ７/９ となるので、
【Ａ】 ： 【Ｃ】 ＝ ２ ： ７
です。
（２）まず切り口は、下の図１のように、点Ｒ からＰＱ（ＣＤ）と平行な線を引き、
ＢＤ と交わった点をＳ とすると、四角形ＰＱＲＳが切り口の面となります。
点Ｓ は、ＢＤ を ２：１ に分ける点となります。
下の図２のように、点ＰからＡＤと平行な線を引き、ＣＤとの交点を点Ｔ とすると、
三角すい Ｃ－ＰＲＴ の体積は、三角すい Ａ－ＢＣＤ の
１/３ × １/３ × １/３ ＝ １/２７
となる一方、面ＰＲＴ は面ＡＢＤ と平行で、三角すい Ｃ－ＰＲＴ と、
面ＰＲＴ を底面とする高さ ２ｃｍ の三角柱の体積の比は、１ ： ３ となります。
（同じ底面としたとき、三角すいは、底面積×高さ÷３ なので）
三角すい Ｃ－ＰＲＴ の体積を[ １ ] とすると、
三角柱 ＰＲＴ－ＱＳＤ の体積は[ ６ ] で（３×２個分）、
【Ｃ】の体積は[ ７ ]になります。
よって、【Ｃ】の部分の体積は、三角すいＡ－ＢＣＤ の
１/２７ × ７ ＝ ７/２７
なので、【Ａ】＝１－７/２７＝２０/２７ より、
【Ａ】 ： 【Ｃ】 ＝ ２０ ： ７
と求められます。
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１辺が１ｃｍのサイコロを、下の図のような１辺が１ｃｍの正方形のマ ス１６個の上を矢印の方向にすべらないように転がしていきます。最初サイコロをＡの位置に、上の面が１、底の面が６、北の面が２、南の面が５、東の面が ４、西の面が３になるように置きます。１周してＡの位置にもどってくるとき、ころがして上の面に現れる数の和はいくつになりますか？ただし、最初のＡの位 置にあるときの１はふくみません。
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下の図のようにサイコロが転がります。図のＢ，Ｃ，Ｄ の位置の
サイコロの様子には注意が必要です。
上の面になっている数を合計すると、
３＋６＋４＋１＋３＋２＋４＋５＋１＋２＋６＋５＋１＋４＋６＋３
＝５６ となります。
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サイコロには，1から6の数がかかれており，向かい合う面にかかれている数の和は7になります。いま，サイコロを台の上にたてに積み重ね，台と接する面にかかれている数とサイコロどうしが接する面にかかれている数を「かくれている数」と呼ぶことにします。
（1） 図のように，サイコロを6個積み重ねたとき，「かくれている数」の和を求めなさい。
（2） 30個のサイコロを積み重ねたとき，「かくれている数」の和が207になりました。一番上の面の数を求めなさい。
（3） 14個のサイコロを2個，3個，4個，5個に分けて積み重ね，各組の一番上の数がすべて異なるようにしました。これら4組のすべての「かくれている数」の和が81になりました。一番上の面の数を4つとも求めなさい。
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（１） ６個の上下の目の和は、７×６＝４２
いちばん上の２が見えているのでこれを除くと、
４２－２＝４０
（２） ３０個の上下の目の和は、
７×３０＝２１０
いちばん上に見えているのは
２１０－２０７＝３
（３）１４個の上下の目の和は、
２×７＋３×７＋４×７＋５×７＝９８
いちばん上に見えている目の和は
９８－８１＝１７
異なる目の最大値は
６＋５＋４＋３＝１８ なので、
１８より１小さい組み合わせは、
６、５、４、２ です。
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すべて同じサイコロを図のように積み上げました。
このサイコロのA、B、Cの面と反対側の面のアルファベットはなんでしょうか？
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問題図の上から１段目と２段目左から、
Ｃの反対側はＥかF
3段目からＡの反対側はＤかＦとわかります。
つまり，Ａ，Ｂ，Ｃの反対側の面の組み合わせは、
Ｄ，Ｅ，ＦかＤ，Ｆ，ＥかＦ，Ｄ，Ｅの３通です。
これをもとに、一段目のサイコロの３通りの展開図を書いてみると，
以下のようになります。
これらを組み立てて問題図２段目右の角度から、
Ｄ，Ｅ，Ｆの３つの面を見た見取り図を書いてみると、
それぞれ上図ようになります。
このうち，問題図２段目右と同じ並びとなっているのは、
まん中のサイコロだけなので，
Ａ，Ｂ，Ｃの反対側の面は、順にＤ，Ｆ，Ｅとわかります。
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３つの整数ア、イ、ウがあります。
アとイの最大公約数は２１、イとウの最大公約数は３５、
アとウの最大公約数は９８です。
アとイとウの合計は１０００以下です。
アとイとウはそれぞれいくつですか。
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問題文から、21はアの約数、98もアの約数、
言い換えると、アは21と98の倍数、
つまりアは21と98の公倍数になります。
同様に、イは21と35の公倍数、ウは35と98の公倍数、
それぞれの最小公倍数を調べると、
ア＝294、イ＝105、ウ＝490となりますが、
ア、イ、ウの合計が1000以下なので、
イを最小公倍数よりひとつ上の公倍数である
105×2＝210にした場合も、
ア、イ、ウの合計は1000以下になります。
ところが、
ア＝294との最大公約数が42になり、
ウ＝490との最大公約数が70になってしまい不適当、
これ以外はア、イ、ウの合計が1000を超えてしまい不適当、
したがって、ア＝294、イ＝105、ウ＝490。
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５種類の数字 ０，１，２，３，４ を用いて表される数を、
次のように小さい順に並べます。
０，１，２，３，４，１０，１１，１２，１３，１４，２０，２１，２２，２３，…
このとき、２０１４番目の数を求めなさい。
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５種類の数を用いて整数を表すので、【５進法】です。
【Ｎ進法】で ＸＸＸ番目の数というのは、下の図１のように求めることができます。
（ただし、用いる数に ０ を含み、０が１番目ではない場合）
① ＸＸＸ ÷ Ｎ ＝ ＸＸ あまり Ａ となる。
② ＸＸ ÷ Ｎ ＝ Ｘ あまり Ｂ となる。
③ Ｘ ÷ Ｎ ＝ Ｄ あまり Ｃ となる。
④ Ｄ が Ｎ より小さい数になったら終わり。
このようにして、【Ｎ進法】で ＸＸＸ番目の数＝ＤＣＢＡ となります。
今回の場合、【５進法】で ２０１４番目で、０ が１番目なので、
２０１４÷５＝４０２あまり４
４０２÷５＝８０あまり２
８０÷５＝１６あまり０
１６÷５＝３あまり１
となり、２０１４番目の数は、
３１０２４ の１つ前の数の ３１０２３
です。
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球を床に置き，この球の真上から電球で球を照らしました。
床から電球までの高さが15cm，床にできた影が直径16cmの円になり，
影の端の１点から電球までの長さは17cmでした。
この球の半径は何cmですか。
ただし，電球の大きさは考えないものとします。
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ある製品を作るには【第１段階】と【第２段階】の２つの工程が必要です。
どちらの工程も、作業する人数が２倍、３倍、・・・ となると、
かかる時間は、１/２倍、１/３倍、・・・ となります。
第１段階を３人、第２段階を４人で行うと、全部で ９時間かかります。
また、第１段階を６人、第２段階を５人で行うと、全部で６時間かかります。
このとき、第１段階も第２段階も３人で行うと、何時間何分かかりますか。
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第１段階を１人で行ったときにかかる時間を【１】
第２段階を１人で行ったときにかかる時間を＜１＞ とします。
第１段階を３人、第２段階を４人で行うと９時間かかるので、
【１/３】＋＜１/４＞＝９時間 ・・・ ①
第１段階を６人、第２段階を５人で行うと６時間かかるので、
【１/６】＋＜１/５＞＝６時間 ・・・ ②
ということになります。
①の条件を２倍の人数で行うと、かかる時間は半分になり、
【１/６】＋＜１/８＞＝４．５時間 ・・・ ③
になります。
②と③の条件の差は、
＜１/５＞－＜１/８＞＝＜３/４０＞＝１．５時間 となります。
よって、＜１＞＝＜４０/４０＞＝１．５÷３×４０＝２０時間 です。
すると、①の＜１/４＞＝５時間なので、【１/３】＝４時間 です。
（ 【１】＝１２時間 ）
求めるのは、【１/３】＋＜１/３＞ で、
＜１/３＞＝２０/３時間＝６時間４０分
なので、
【１/３】＋＜１/３＞＝４時間＋６時間４０分
＝１０時間４０分 です。
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正方形の折り紙を次の手順で折ります。
（操作１）面積が半分になるように，対角線で１回折る
（操作２）折ったままの状態から，直角を半分にするように１回折る
この後，（操作２）を４回くり返し，合計６回折ります。
６回目に折ったときにできる折り目を、下の解答らんに書きなさい。
ただし，５回目までにできた折り目は書かないこと。
（注意）下の図の解答らんを折らないこと。
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青、１回目
濃紺、２回目
緑、３回目
ピンク、４回目
紫、５回目
赤、６回目
６回目は小さい正方形の対角線３２本分になります。
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下の正方形ABCDの中の３×３のマス目に石を３個置きます。
ただし、石は１マスに１個までしか置けず、
上下左右のとなり合ったマスに２個ならべて置くことはできません。
全部で何通りの置き方がありますか。
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各段に１個ずつ置く場合と、
一段は０であとの段に１個か２個置く場合が考えられます。
各段に１個の場合は、
最初の段には３通り置け、次が２通り、次も２通りなので、
３×２×２＝１２通りです。
０の段を含む場合は、
０の段が真ん中の場合は、１個置く段は３通りですが、
２個置く段は１通りなので、
１個置く段が上下で、３＋３＝６通りです。
０の段が上の場合、２個置く段が真ん中で１通り、
２個置く段が一番下でも１通り、１＋１＝２通りです。
０の段が一番下でも２通りです。
したがって、１２＋６＋２＋２＝２２通りになります。
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図のような円柱があります。
赤いインクをつけたひもを、点Ａから円柱の周りを２周して点Ｂまで、
たるまないように結んだとき、
側面の展開図に、そのひもがつけたインクの跡を書き入れてください。
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数匹のアリとキリギリスが食べ物を運びます。
その食べ物を運び終えるのにアリだけでは18日間，
キリギリスだけでは24日間かかります。
最初はアリとギリギリスが一緒に運んでいましたが，
途中の日からキリギリスが休んでしまったので，
その日からはアリだけが運び，
すべての食べ物を運び終えるまでに12日間かかりました。
キリギリスは何日間運びましたか。
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全体の仕事量を１８と２４の最小公倍数７２としてみます。
アリは１日に ７２÷１８＝４ 運び、
キリギリスは１日に ７２÷２４＝３ 運び、
一緒だと１日に ４＋３＝７ 運びます。
図のようにつるかめ算で考えると、
すべて一緒なら １２日で ７×１２＝８４ 運べるので、
緑部分は ８４－７２＝１２
たてが ７－４＝３ なので、
横は １２÷３＝４日 ということになります。
キリギリスが運んだ日は、一緒に働いた １２－４＝８日 です。
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えんぴつ３本とマーカー２本は同じ値段です。
はさみ２個とえんぴつ９本は同じ値段です。
ノート２冊とえんぴつ７本は同じ値段です。
ホチキス３個とはさみ５個は同じ値段です。
消しゴム21個とホチキス５個は同じ値段です。
消しゴム１個とえんぴつ１本の値段の差は６６円です。
えんぴつ１本は何円で、
この６種類の文器具を１つずつ買うと、合計は何円ですか。
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図１のように１から８までの数字が書かれている８枚の正三角形を用いて、図２のような立体を作ります。ただし、図１の正三角形の黒丸の頂点は立体の点Ａまたは点Ｆのどちらかに重ね、すべての数字が表から見えるようにします。
図１
また、立体の６個の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆについて、それぞれの頂点に集まっている４枚の正三角形に書かれている数の合計はすべて同じになっています｡
（1）1つの頂点に集まっている４枚の正三角形に書かれている数の合計を求めなさい。
（2）辺ＢＣを１辺とする２枚の正三角形に書かれている数の合割と、辺DEを１辺とする２枚の正三角形に書かれている数の合計は等しくなります。その理由が書かれた次の文章の（空欄）をうめなさい。
「どちらも（ ）すると、同じ値になるから」
（3）三角形ABCに書かれている数が１であるとします。８が書かれている三角形として可能性があるものをすべて選びなさい。
（4）この立体の展開図で、1，2，3の書かれている三角形の配置が図３のようになるとき、他の数字を向きも正確に解答欄の展開図にかきこみなさい。
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（１）１から８までの合計は、
（１＋８）×８÷２＝３６
この立体の頂点６個に集まる三角形の数の和を考えると、
１つの三角形は頂点が３つなので、３回加算され、
３６×３＝１０８
頂点が６個なので、１個の和は
１０８÷６＝１８
（２）辺ＣＤを１辺とする２枚の正三角形または辺ＢＥを１辺とする２枚の正三角形が、和が１８になるための共通な数になるので、
（１８から辺ＣＤを１辺とする（または辺ＢＥを１辺とする)２枚の正三角形の数字の和を引き算）
（３）８を１と辺が共通しない位置に置くと、
（２）の原理から、１＋○＝８＋□にならなくてはならず、
○と□の組み合わせは２～７では不可能なので、
１と８は辺を共通にするしかなく、
可能性があるのは、三角形ＡＣＤ、三角形ＡＥＢ、三角形ＦＢＣ
（４）
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次の図で、三角形ＡＤＣは、
辺ＡＣと辺ＡＤの長さが等しい直角二等辺三角形です。
？の角度を求めなさい。
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△AEDが正三角形になるように点Eをとります。
すると∠ＣＡＥ＝９０＋６０＝１５０゜
また ∠ＣＡＥ＋∠ＡＣＢ＝１５０゜＋３０゜＝１８０°なので、
ＡＥとＢＣは平行になります。
さらに∠ACE＝（１８０ー１５０）÷２＝１５゜
すなわち∠ＥＣＢ＝１５゜＝∠ＡＢＣ
AB＝EC
△BEAと△CAEは合同になり、
四角形ＡＥＢＣは等脚台形になります。
したがって∠ＢＤＡ＝∠ＥＤＣ＝６０゜＋４５゜＝１０５゜
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