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2014年11月12日 (水)

円柱を重ねていったときの表面積は?(慶應義塾中等部 2014年)

下の図1のような底面の半径が20cm、高さが2cmの円柱Aがあります。

この円柱の上の面に、同じ高さで、底面の半径を1cm短くした円柱を、

はみ出ないように重ねます。

同様に、同じ高さで、底面の半径を1cmずつ短くした円柱を次々と重ねていきます。

      Pic_3826q

(1)図2のように、円柱A  の上に2個の円柱を重ねたとき、できあがった立体の表面積は何c㎡ですか?

(2)立体の表面積が初めて 5000c㎡ を超えるのは、円柱A  の上に何個の円柱を重ねたときですか?

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(1)図2の表面積は、

上下から見える部分:20×20×3.14×2個分

側面の部分:

     20×2×3.14×2

   +19×2×3.14×2

   +18×2×3.14×2

 =(20+19+18)×3.14×4

の和で、

 (200+57)×3.14×4

=1028×3.14=3227.92c㎡

です。

 (2)上下の部分 : 20×20×3.14×2=2512c㎡

は変わらないので、5000-2512=2488c㎡ が

積み重ねた円柱の側面積で増えていきいます。

(20+19+18+・・・+□)×3.14×4≧2488

となればよいわけです。4で割ると、

 (20+19+18+・・・+□)×3.14≧622

で、3.14で割ると

 (20+19+18+・・・+□)≧198.08・・・   ←【★】

です。

20+19+18+・・・+2+1=210

で、1+2+3+4=10、1+2+3+4+5=15 より、

【★】を満たす □=5 です。

20+19+18+・・・+5=200 で、円柱A の上に重ねた

円柱の個数は、20-(4+1)=15個 です。

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