円柱を重ねていったときの表面積は?(慶應義塾中等部 2014年)
下の図1のような底面の半径が20cm、高さが2cmの円柱Aがあります。
この円柱の上の面に、同じ高さで、底面の半径を1cm短くした円柱を、
はみ出ないように重ねます。
同様に、同じ高さで、底面の半径を1cmずつ短くした円柱を次々と重ねていきます。
(1)図2のように、円柱A の上に2個の円柱を重ねたとき、できあがった立体の表面積は何c㎡ですか?
(2)立体の表面積が初めて 5000c㎡ を超えるのは、円柱A の上に何個の円柱を重ねたときですか?
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(1)図2の表面積は、
上下から見える部分:20×20×3.14×2個分
側面の部分:
20×2×3.14×2
+19×2×3.14×2
+18×2×3.14×2
=(20+19+18)×3.14×4
の和で、
(200+57)×3.14×4
=1028×3.14=3227.92c㎡
です。
(2)上下の部分 : 20×20×3.14×2=2512c㎡
は変わらないので、5000-2512=2488c㎡ が
積み重ねた円柱の側面積で増えていきいます。
(20+19+18+・・・+□)×3.14×4≧2488
となればよいわけです。4で割ると、
(20+19+18+・・・+□)×3.14≧622
で、3.14で割ると
(20+19+18+・・・+□)≧198.08・・・ ←【★】
です。
20+19+18+・・・+2+1=210
で、1+2+3+4=10、1+2+3+4+5=15 より、
【★】を満たす □=5 です。
20+19+18+・・・+5=200 で、円柱A の上に重ねた
円柱の個数は、20-(4+1)=15個 です。
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