ぬり分け方は何通り？ （渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の５色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①～⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この５色のうちの１色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）赤、青、緑の３色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

 （２）赤、青、緑、黄の４色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

（３）全部で何通りのぬり方がありますか。

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（１）⑤の部分を赤とすると、②と③の部分は、⑤ととなり合っているので、

下の図１－１、１－２ の２通りのぬり方になります。

（この時点で３色すべてを使っています）

　　

図１－１のとき、①には赤か青、④には赤か緑が入るので、

２×２＝４通り のぬり方があり、

同様に図１－２のときも４通り のぬり方があります。

⑤を赤とすると、４×２＝８通り のぬり方があり、

青、緑のときも同様なので、赤、青、緑の３色をすべて使うと、

８×３＝２４通り のぬり方があります。

（２）５か所を４色でぬるので、どこかとどこかが同じ色にしなければなりません。

同じ色にする場所として考えられるのは、

　①と③、①と④、①と⑤、②と④、④と⑤

の ５通り があります。

たとえば、①と③を同じ色にするとき、

①、②、④、⑤ を４色でぬる方法を考えればよく、

　４×３×２×１＝２４通り

があります。

同じ色をぬる場所が変わっても、同様に２４通りとなるので、

赤、青、緑、黄の４色すべてを使うと、２４×５＝１２０通り のぬり方があります。

（３）５色すべてを使うと、５×４×３×２×１＝１２０通り のぬり方があります。

４色を使ってぬるとき、５色から４色を選ぶ方法は ５通りあるので、

（２）より、１２０×５＝６００通り のぬり方があります。

３色を使ってぬるとき、５色から３色を選ぶ方法は、

除く２色の選び方と等しく、４＋３＋２＋１＝１０通り あるので、

（１）より、２４×１０＝２４０通り のぬり方があります。

１色だけ、２色だけでぬることはできません。

（②、③、⑤の部分は必ず３色必要）

よって、１２０＋６００＋２４０＝９６０通り のぬり方があります。

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