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2014年11月27日 (木)

操作計算のこたえは?(豊島岡女子学園中学 2014年)

ある機械 X があります。この機械 X は、整数が書かれたカードを入れると、

【カードに書かれた整数を5で割り、商と余りを加える】

という計算をして、その計算の答えが書かれたカードを出します。

ただし、機械 X は、商も余りも整数で計算をして、

割り切れるときは余りを 0 として計算します。

この機械 X にカードを入れ、出てきたカードに書かれた整数が 5 より小さくなるまで、

出てきたカードをさらに機械 X に入れるという作業を行います。

たとえば、【121】と書かれたカードを機械 X に入れると、

【25】と書かれたカードが出てきます。

25 は 5 より大きいので、その出てきたカードをさらに機械 X に入れると、

【5】と書かれたカードが出てきます。

5 は 5 と等しいので、その出てきたカードをもう一度機械 X に入れると、

【1】と書かれたカードが出てきます。

1 は 5 より小さいので、ここで作業が終了します。

したがって、最初のカードに書かれた整数が【121】のとき、

作業を終了するまでに機械 X に 3回カードを入れることになります。

Ilm06_bc02006s

このとき、次の問に答えなさい。

(1)最初のカードに書かれた整数が【277】のとき、作業を終了するまでに機械 X に何回カードを入れることになりますか。 

(2)最初のカードに書かれた整数が 【 ア 】のとき、2回目にカードを入れたところ、【4】のカードが出てきて作業が終了 します。このとき、【 ア 】に当てはまる整数として考えられる数は、全部で何個ありますか。

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(1)実際に計算すると、

1回目 : 277÷5=55あまり2 → 55+2=57

2回目 : 57÷5=11あまり2 → 11+2=13

3回目 : 13÷5=2あまり3 → 2+3=5

4回目 : 5÷5=1

となり、4回とわかります。

 

(2)どのような作業になったかというと、

1回目 : 【 ア 】÷5=○あまり△ → ○+△

2回目 : (○+△)÷5=□あまり☆ → □+☆=4

ということです。

 

□+☆=4 となる、(□、☆)の組は、

 (1,3)、(2,2)、(3,1)、(4,0)

が考えられ、それぞれの場合の ○+△ は、

 (1,3) → 5×1+3=8

 (2,2) → 5×2+2=12

 (3,1) → 5×3+1=16

 (4,0) → 5×4=20

となります。

 

○+△=8 の場合、(○、△)として考えられる組は、

5で割った余りは、0,1,2,3,4 の5通りしかないので、

 (4,4)、(5,3)、(6,2)、(7,1)、(8,0)

の5組があり、それぞれの場合の【 ア 】は、

 24,28,32,36,40

になります。

 

○+△=12 の場合、(○、△)として考えられる組は、

 (8,4)、(9,3)、(10,2)、(11,1)、(12,0)

の5組があり、それぞれの場合の【 ア 】は、

 44,48,52,56,60

になります。これは、○+△=8の場合と○+△=12の場合で

【 ア 】が同じ数にはならないことを示しており、

○+△=16,20 の場合も5通りで、【 ア 】に当てはまる整数

として考えられる数は、5×4=20個 です。

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