操作計算のこたえは？（豊島岡女子学園中学 2014年）

ある機械 Ｘ があります。この機械 Ｘ は、整数が書かれたカードを入れると、

【カードに書かれた整数を５で割り、商と余りを加える】

という計算をして、その計算の答えが書かれたカードを出します。

ただし、機械 Ｘ は、商も余りも整数で計算をして、

割り切れるときは余りを ０ として計算します。

この機械 Ｘ にカードを入れ、出てきたカードに書かれた整数が ５ より小さくなるまで、

出てきたカードをさらに機械 Ｘ に入れるという作業を行います。

たとえば、【１２１】と書かれたカードを機械 Ｘ に入れると、

【２５】と書かれたカードが出てきます。

２５ は ５ より大きいので、その出てきたカードをさらに機械 Ｘ に入れると、

【５】と書かれたカードが出てきます。

５ は ５ と等しいので、その出てきたカードをもう一度機械 Ｘ に入れると、

【１】と書かれたカードが出てきます。

１ は ５ より小さいので、ここで作業が終了します。

したがって、最初のカードに書かれた整数が【１２１】のとき、

作業を終了するまでに機械 Ｘ に ３回カードを入れることになります。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）最初のカードに書かれた整数が【２７７】のとき、作業を終了するまでに機械 Ｘ に何回カードを入れることになりますか。 

（２）最初のカードに書かれた整数が 【　ア　】のとき、２回目にカードを入れたところ、【４】のカードが出てきて作業が終了 します。このとき、【　ア　】に当てはまる整数として考えられる数は、全部で何個ありますか。

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（１）実際に計算すると、

１回目　：　２７７÷５＝５５あまり２　→　５５＋２＝５７

２回目　：　５７÷５＝１１あまり２　→　１１＋２＝１３

３回目　：　１３÷５＝２あまり３　→　２＋３＝５

４回目　：　５÷５＝１

となり、４回とわかります。

（２）どのような作業になったかというと、

１回目　：　【　ア　】÷５＝○あまり△　→　○＋△

２回目　：　（○＋△）÷５＝□あまり☆　→　□＋☆＝４

ということです。

□＋☆＝４ となる、（□、☆）の組は、

　（１，３）、（２，２）、（３，１）、（４，０）

が考えられ、それぞれの場合の ○＋△ は、

　（１，３）　→　５×１＋３＝８

　（２，２）　→　５×２＋２＝１２

　（３，１）　→　５×３＋１＝１６

　（４，０）　→　５×４＝２０

となります。

○＋△＝８　の場合、（○、△）として考えられる組は、

５で割った余りは、０，１，２，３，４ の５通りしかないので、

　（４，４）、（５，３）、（６，２）、（７，１）、（８，０）

の５組があり、それぞれの場合の【　ア　】は、

　２４，２８，３２，３６，４０

になります。

○＋△＝１２　の場合、（○、△）として考えられる組は、

　（８，４）、（９，３）、（１０，２）、（１１，１）、（１２，０）

の５組があり、それぞれの場合の【　ア　】は、

　４４，４８，５２，５６，６０

になります。これは、○＋△＝８の場合と○＋△＝１２の場合で

【　ア　】が同じ数にはならないことを示しており、

○＋△＝１６，２０ の場合も５通りで、【　ア　】に当てはまる整数

として考えられる数は、５×４＝２０個 です。

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