切断したときの体積比は？（海城中学 2014年）

すべての辺の長さが ６ｃｍ である三角すいＡＢＣＤ において、

辺ＡＣ，ＡＤ をそれぞれ ３等分する点のうち、点Ｃ，Ｄ に近い方をそれぞれ点Ｐ，Ｑ とします。

また、点Ｒ は辺ＡＢ，ＢＣ 上を動く点とします。ただし、点Ｒ は点Ａ と点Ｃ には重なりません。

下の図のように、３つの点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面で三角すいＡＢＣＤ を切ったときにできる２つの立体のうち、

点Ａ を含む立体を【Ａ】、点Ｃ を含む立体を【Ｃ】と表します。このとき、次の問に答えなさい。

（１）点Ｒ が辺ＡＢ のちょうどまん中にあるとき、【Ａ】と【Ｃ】の 体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２）点Ｒ が辺ＢＣ を３等分する点のうち、点Ｃ に近い方にあるとき、【Ａ】と【Ｃ】の体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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（１）ＡＰはＡＣ の２/３、ＡＱはＡＤ の２/３、ＡＲはＡＢ の１/２なので、

三角すいＡ－ＰＱＲ は、三角すいＡ－ＢＣＤ の

　　　２/３ × ２/３ × １/２ ＝ ２/９

の体積となります。

よって、【Ａ】の部分が ２/９、【Ｃ】の部分が ７/９ となるので、

　【Ａ】　：　【Ｃ】　＝　２ ： ７

です。

（２）まず切り口は、下の図１のように、点Ｒ からＰＱ（ＣＤ）と平行な線を引き、

ＢＤ と交わった点をＳ とすると、四角形ＰＱＲＳが切り口の面となります。

点Ｓ は、ＢＤ を ２：１ に分ける点となります。

下の図２のように、点ＰからＡＤと平行な線を引き、ＣＤとの交点を点Ｔ とすると、

　　　　　　

三角すい Ｃ－ＰＲＴ の体積は、三角すい Ａ－ＢＣＤ の

　　１/３ × １/３ × １/３ ＝ １/２７

となる一方、面ＰＲＴ は面ＡＢＤ と平行で、三角すい Ｃ－ＰＲＴ と、

面ＰＲＴ を底面とする高さ ２ｃｍ の三角柱の体積の比は、１ ： ３ となります。

（同じ底面としたとき、三角すいは、底面積×高さ÷３ なので）

三角すい Ｃ－ＰＲＴ の体積を[　１　] とすると、

三角柱 ＰＲＴ－ＱＳＤ の体積は[　６　] で（３×２個分）、

【Ｃ】の体積は[　７　]になります。

よって、【Ｃ】の部分の体積は、三角すいＡ－ＢＣＤ の

　１/２７　×　７　＝　７/２７

なので、【Ａ】＝１－７/２７＝２０/２７ より、

　【Ａ】　：　【Ｃ】　＝　２０ ： ７

と求められます。

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