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2014年11月 6日 (木)

切断したときの体積比は?(海城中学 2014年)

すべての辺の長さが 6cm である三角すいABCD において、

辺AC,AD をそれぞれ 3等分する点のうち、点C,D に近い方をそれぞれ点P,Q とします。

また、点R は辺AB,BC 上を動く点とします。ただし、点R は点A と点C には重なりません。

下の図のように、3つの点P,Q,R を通る平面で三角すいABCD を切ったときにできる2つの立体のうち、

点A を含む立体を【A】、点C を含む立体を【C】と表します。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4065q

(1)点R が辺AB のちょうどまん中にあるとき、【A】と【C】の 体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2)点R が辺BC を3等分する点のうち、点C に近い方にあるとき、【A】と【C】の体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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(1)APはAC の2/3、AQはAD の2/3、ARはAB の1/2なので、

三角すいA-PQR は、三角すいA-BCD の

   2/3 × 2/3 × 1/2 = 2/9

の体積となります。

よって、【A】の部分が 2/9、【C】の部分が 7/9 となるので、

 【A】 : 【C】 = 2 : 7

です。

 

(2)まず切り口は、下の図1のように、点R からPQ(CD)と平行な線を引き、

BD と交わった点をS とすると、四角形PQRSが切り口の面となります。

Pic_4066a

点S は、BD を 2:1 に分ける点となります。

下の図2のように、点PからADと平行な線を引き、CDとの交点を点T とすると、

      Pic_4067a_2

三角すい C-PRT の体積は、三角すい A-BCD の

  1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/27

となる一方、面PRT は面ABD と平行で、三角すい C-PRT と、

面PRT を底面とする高さ 2cm の三角柱の体積の比は、1 : 3 となります。

(同じ底面としたとき、三角すいは、底面積×高さ÷3 なので)

三角すい C-PRT の体積を[ 1 ] とすると、

三角柱 PRT-QSD の体積は[ 6 ] で(3×2個分)、

【C】の体積は[ 7 ]になります。

よって、【C】の部分の体積は、三角すいA-BCD の

 1/27 × 7 = 7/27

なので、【A】=1-7/27=20/27 より、

 【A】 : 【C】 = 20 : 7

と求められます。

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