２人の手の出し方は？（神奈川大学附属中学 2013年）

ＡさんとＢ君がアメをそれぞれ１０個ずつ持っています。

２人はジャンケンをして、グーで勝つとアメを４個、チョキで勝つとアメを３個、

パーで勝つとアメを２個相手からもらうゲームをします。

どちらかのアメの個数がもう一人のアメの個数の３倍以上になった時点で、

アメを多く持っている方を勝者としてゲームは終了します。

ただし、ゲーム中に、あいこは一度もないものとして、次の問に答えなさい。

（１）２回目のゲームでＡさんが勝者として終了するとき、２人の手の出し方は全部で何通りありますか。

（２）３回目のゲームで終了するとき、２人の手の出し方は何通りありますか。

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（１）アメの数は、２人合わせて２０個なので、

ゲームが終了するのは、勝者が１５個以上のアメを獲得したときです。

２回目のゲームでＡさんが勝利するには、Ａさんは２連勝するしかありません。

Ａさんの手の出し方は、１回目：（グー、チョキ、パー）、

２回目：（グー、チョキ、パー）の ３×３＝９通り ありますが、

１回目も２回目もパーで勝ったときだけ、１５点に届かないので

２人の手の出し方は、９－１＝８通り あります。

（２）３回目でゲームが終了するので、２回目で終了してはいけません。

Ａさんの勝利でゲームが終了するものとして考えると、

３連勝で３回目にゲームが終了するのは、２回目までパーを

出し、３回目は、グー、チョキ、パーのどれでもよいので、３通りです。

２勝１敗で終わるとき、

最後にパー（＋２）で勝つ場合、最もアメの個数が多くなるのは

グーで勝つ（＋４）、パーで負け（－２）　→　＋２　＋２　→１４　ですが、

アメは１４個が最高なので、勝負がつきません。

最後にチョキ（＋３）で勝つ場合

　グーで勝つ（＋４）、パーで負け（－２）　→　＋２　＋３　→１５

の場合のみ、勝敗がつき、手の出し方は、

　（グー勝、パー負、チョキ勝）、（パー負、グー勝、チョキ勝）

の２通りです。

最後にグー（＋４）で勝つ場合

　グーで勝つ（＋４）、パーで負け（－２）　→　＋２　＋４　→１６

　グーで勝つ（＋４）、チョキで負け（－３）　→　＋１　＋４　→１５

　チョキ勝つ（＋３）、パーで負け（－２）　→　＋１　＋４　→１５

の場合で勝敗がつき、手の出し方は、２×３＝６通り です。

１勝２敗でＡさんが勝利することはありません。

よって、Ａさんの勝利で３回目でゲームが終了するのは

３＋２＋６＝１１通り あります。

Ｂ君の勝利で３回目でゲームが終了する場合も、同様に

１１通り あるので、３回目でゲームが終了する場合の

２人の手の出し方は、１１×２＝２２通り です。

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