操作計算の規則性は？（須磨学園中学 2011年）

★から☆までの整数の各位の数字の和を（★，☆）と表します。

たとえば、

（１１，１４）＝（１＋１）＋（１＋２）＋（１＋３）＋（１＋４）＝１４

（１２３，１２５）＝（１＋２＋３）＋（１＋２＋４）＋（１＋２＋５）＝２１

となります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）（１，５０）を求めなさい。

（２）（１，□）が１０００を超えるような□に入る整数のうち、最も小さい整数を答えなさい。

（３）（１００，９９９）を求めなさい。

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（１）１から５０まで、一の位の数の和は、

　（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋０）×５＝４５×５＝２２５

十の位の数の和は、

　１×１０＋２×１０＋３×１０＋４×１０＋５＝１０５

以上より、（１，５０）＝２２５＋１０５＝３３０ です。

（２）規則性を探りましょう。

　（１，１０）＝４５＋１＝４６

　（１，２０）＝４５×２＋１２＝１０２　（４６＋５６）

　（１，３０）＝４５×３＋３３＝１６８　（１０２＋６６）

　（１，４０）＝４５×４＋６４＝２４４　（１６８＋７６）

　（１，５０）＝３３０　（２４４＋８６）

となっているので、以降は

　（１，６０）＝３３０＋９６＝４２６

　（１，７０）＝４２６＋１０６＝５３２

　（１，８０）＝５３２＋１１６＝６４８

　（１，９０）＝６４８＋１２６＝７７４

となります。

　（９１，１００）＝９×９＋４５＋１＝１２７

なので、

　（１，１００）＝７７４＋１２７＝９０１

です。

（１０１，１１０）＝４５＋１＋１×１０＝５６

（１１１，１２０）＝（１１，２０）＋１０＝６６

となり、９０１＋５６＋６６＝１０２３ で、ここで１０００を超えます。

１２０→３　１１９→１１　１１８→１０　で、３＋１１＋１０＝２４より、

１１８で初めて１０００を超えることがわかります。

　（３）（２）より、（１，９９）＝９００ で、（０，９９）＝９００ です。

このことから、

　（１００，１９９）＝９００＋１×１００＝１０００

　（２００，２９９）＝９００＋２×１００＝１１００

　･･・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　（９００，９９９）＝９００＋９×１００＝１８００

となるので、

　（１００，９９９）＝１０００＋１１００＋１２００＋・・・＋１８００

　　　　　　　　　 ＝（１０００＋１８００）×９÷２

　　　　　　　　　 ＝１２６００

と求められます。

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