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2014年10月12日 (日)

これ、条件だけでも難問!(2012年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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図のような五角形ABCDEがあり,角BAE=90°

AP=10cm,PE=8cm,AB=3.9cm,PQ=5.5cm,

PQとCEは平行,BR:RD=5:8,PR:RC=3:5,

QS=SD,CS=16.5cmになっています。

三角形QRSの面積は何c㎡ですか。

※ただし,図は正確とは限りません。

1_2

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PQとCEは平行なので、AQ:QS=AP:PE=5:4です。

QS=SDより、AQ:QD=5:8で、BR:RDと等しいので、ABとQRは平行です。

PQとCEは平行なので、三角形APQと三角形AESは相似で、

相似比はAP:AE=5:9です。

PQ=5.5cmなので、SE=5.5×9/5=9.9cmです。

CS=16.5cmなので、

CS:SE=16.5:9.9=5:3となり、RC:PRと等しいのでRSとPEも平行です。

ABとQR、RSとPEが平行で、角BAE=90°なので、

角QRSも90°とわかります。

つまり、三角形QRSは直角三角形です。

AQ:QD=5:8、AB=3.9cmより、

QR=3.9×8/(8+5)=2.4cm

CS:SE=5:3、PE=8cmより、

RS=8×5/(5+3)=5cmなので、

三角形QRSの面積は

5×2.4÷2=6c㎡

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