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2014年10月22日 (水)

点の移動と面積(明治大学付属明治中学 2009年)

図のような3個の正六角形をくっつけた図形があり、

三角形AEIの面積は12c㎡です。

3点P、Q、Rはそれぞれ六角ABCMKL、 RFGMCD、IJKMGHの周上を

矢印の方向に一定の速さで動く点です。

3点P、Q、Rは、それぞれ点A、E、Iを同時に出発し、

6秒後に出発した点にもどります。このとき,次の各問いに答えなさい。

1

(1)出発して1秒後の三角形PQRの面積は何c㎡ですか。

(2)出発して1.5秒後の三角形PQRの面積は何c㎡ですか。

(3)三角形PQRの面積が1/3c㎡となるのは出発してから何秒後ですか。

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2

(1)水色部分は△青の1/12なので1c㎡です。

正六角形の面積は6c㎡なので、1秒後の△赤は赤部分の3倍で、

6÷2×3=9c㎡になります。

3

(2)△BCJは△赤の1/6なので、9/6c㎡、

△水色は△BCJの5/6なので、9/6×5/6=5/4c㎡

したがって、1.5秒後の△青は9-5/4×3=5と1/4c㎡

4

(3)2秒後の△赤は3c㎡

3秒後は3点がMに重なり、△PQRの面積は0になります。

△PQRの面積が1/3c㎡になるのは、△赤に対して面積が3÷1/3=1/9になるところです。

面積が1/9になるのですから、辺の長さは1/9=1/3×1/3より、1/3になるので、

2と2/3秒後と、3と1/3秒後になります。

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