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2014年10月 4日 (土)

これ名作!キャンディののせ方は?(第4回算数オリンピック、エントリー問題から)

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次の図のA、B、C、D、Eの5つのお皿には、

それぞれいくつかのキャンディがのっています。

このうち1皿を取るか、つながった2つ以上のお皿を取ることによって

(たとえば、AとB、DとEとA、など)、

お皿の上のキャンディで、

1から21までのすべての個数を作ることができます。

それぞれのお皿にのっているキャンディの個数を求めなさい。

1

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1~21のすべての数が作れるので、のっているキャンディの合計は21個、

お皿の取り方は、

5皿すべてを取る→1通り

1皿だけを取る→5通り

連続した2~4皿を取る→それぞれ5通りで計15通り

合計1+5×4=21しかないので、

お皿にはそれぞれ違う数のキャンディがのっていることになります。

また、1個しかのっていない皿と2個しかのっていない皿が必ずあり、

条件として、つながった皿の組み合わせで同じ数字が作れてはいけません。

1と2の皿が隣り合っていたら、それで3が作れるので、4つの皿が必要です。

4の皿の位置は図のA、B、Cの3ヵ所が考えられますが・・・・・

2

Aなら5まで作れるので6が必要ですが、

さらに21まで作るためには21-(1+2+4+6)=8が必要です。

ところが6と8をどのように置いても、

下の図のように同じ数字が2組作れてしまうので不適当、

3

BとCではまず5が必要で、さらに21-(1+2+4+5)=9も必要、

ところが5と9をどのように置いても、やはり同じ数字が2組作れてしまうので不適当、

したがって、1と2は隣り合っていないようです。

1と2が隣り合わない並び方は図のD、E、Fの3通り、

4

Dでは7と8が必要ですが、

どのように置いても同じ数字が2組作れてしまうので不適当、

5

Eでは4と11が必要ですが、

これも、どのように置いても、やはり同じ数字が2組作れてしまうので不適当、

6

Fは5と10が必要ですが、

そのうち唯一、右の置き方だけが21まで作ることができますね!

この並び方、すごい!

7

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