回転してできた図形はどんな形？（杉並学院中学 ２０１２年）

図のように、ＯＡ＝４ｃｍ、ＯＢ＝６ｃｍの長方形OABCと

OAを半径とする半円０があります。

この長方形と半円が点０のまわりを矢印の方向に、

長方形は毎秒１°、半円は毎秒２°の速さで同時に回転し始め、

半円が１回転するまで長方形も回転するものとします。

（１）４５秒後に長方形と半円が重なっている部分の面積は何ｃ㎡ですか？

（２）辺ABが動いてできた図形の面積は何ｃ㎡ですか？

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（１）４５秒後は半円が４５×２＝９０°

長方形が４５×１＝４５°回転しているので、図のような重なりになります。

重なった部分の中心角は４５°なので、

面積＝４×４×３．１４×１/８＝６．２８ｃ㎡

（２）半円が１周したとき長方形は１８０°回転します。

ＡＢが通ったところは図の赤い部分になります。

全体は図のように大きな半円と長方形でできています。

ここから図のように白い小さな半円と長方形を引けばいいのですが、

引く方と引かれる方に、両方とも長方形が入っているので、

差は大きな半円から小さな半円を引いたものと同じになります。

したがって、求める面積＝６×６×３．１４×１/２－４×４×３．１４×１/２

＝（３６－１６）×３．１４×１/２＝３１．４ｃ㎡

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