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2014年10月27日 (月)

回転してできた図形はどんな形?(杉並学院中学 2012年)

図のように、OA=4cm、OB=6cmの長方形OABCと

OAを半径とする半円0があります。

この長方形と半円が点0のまわりを矢印の方向に、

長方形は毎秒1°、半円は毎秒2°の速さで同時に回転し始め、

半円が1回転するまで長方形も回転するものとします。

(1)45秒後に長方形と半円が重なっている部分の面積は何c㎡ですか?

(2)辺ABが動いてできた図形の面積
は何c㎡ですか?


1_3
1_2 Cd020cs

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(1)45秒後は半円が45×2=90°

長方形が45×1=45°回転しているので、図のような重なりになります。

2

重なった部分の中心角は45°なので、

面積=4×4×3.14×1/8=6.28c㎡

(2)半円が1周したとき長方形は180°回転します。

ABが通ったところは図の赤い部分になります。

3

全体は図のように大きな半円と長方形でできています。

4

ここから図のように白い小さな半円と長方形を引けばいいのですが、

5

引く方と引かれる方に、両方とも長方形が入っているので、

差は大きな半円から小さな半円を引いたものと同じになります。

したがって、求める面積=6×6×3.14×1/2-4×4×3.14×1/2

=(36-16)×3.14×1/2=31.4c㎡

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