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2014年10月21日 (火)

解けそうで解けない難問(第7回算数オリンピック、ファイナル問題より)

三角形ABCを三角形A'B'C'の位置まですべることなく転がしました。

このとき三角形ABCが通った範囲の面積を求めなさい。

円周率は3.14とします。

1_2

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図のように4つの部分に分けて考えてみます。

1

①20×20×3.14×□/360

②20×20÷2=200c㎡

③AC×AC×3.14×45/360

④AC×AC×3.14×△/360

AC×ACは1辺20cmの正方形の対角線×対角線なので、

20×20×2=800

③=800×3.14×45/360=314c㎡

①+④=(400×3.14×□+400×3.14×△×2)÷360

={400×3.14×(□+△×2)}÷360

ここで、□と△の関係について考えます。

左右の直角三角形を底辺24cmを合わせて重ねてみます。

3

すると、黄色部分が二等辺三角形になることがわかります。

180゜-○×2=180゜-□ なので、

○×2=□ です。

また、(90゜-□)+○=△ なので、

(90゜-□)+□/2=△

両辺を2倍して、

180゜-□×2+□=△×2

180゜-□=△×2

180゜=□+△×2 となります。

①+④=400×3.14×180÷360

=628c㎡

②と③をたして、

628+200+314=1142c㎡

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