解けそうで解けない難問（第７回算数オリンピック、ファイナル問題より）

三角形ABCを三角形A'B'C'の位置まですべることなく転がしました。

このとき三角形ABCが通った範囲の面積を求めなさい。

円周率は３．１４とします。

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図のように４つの部分に分けて考えてみます。

①２０×２０×３．１４×□/３６０

②２０×２０÷２＝２００ｃ㎡

③AC×AC×３．１４×４５/３６０

④AC×AC×３．１４×△/３６０

AC×ACは1辺２０ｃｍの正方形の対角線×対角線なので、

２０×２０×２＝８００

③＝８００×３．１４×４５/３６０＝３１４c㎡

①＋④＝（４００×３．１４×□＋４００×３．１４×△×２）÷３６０

＝｛４００×３．１４×（□＋△×２）｝÷３６０

ここで、□と△の関係について考えます。

左右の直角三角形を底辺２４ｃｍを合わせて重ねてみます。

すると、黄色部分が二等辺三角形になることがわかります。

１８０゜－○×２＝１８０゜－□　なので、

○×２＝□　です。

また、（９０゜－□）＋○＝△　なので、

（９０゜－□）＋□/２＝△

両辺を２倍して、

１８０゜－□×２＋□＝△×２

１８０゜－□＝△×２

１８０゜＝□＋△×２　となります。

①＋④＝４００×３．１４×１８０÷３６０

＝６２８ｃ㎡

②と③をたして、

６２８＋２００＋３１４＝１１４２ｃ㎡

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