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2014年10月25日 (土)

30で割った余りは?(鴎友学園女子中学 2014年)

(1)3を5回かけた数、

    つまり、3×3×3×3×3 を30で割ったときの余りを求めなさい。

 

(2)3を2014回かけた数を30で割ったときの余りを求めなさい。

032822

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(1)3×3×3×3×3=9×9×3=81×3=243

なので、30で割ると、余ります。

 

(2)3をかけた回数ごとに、余りを調べてみると、

3 → あまり3

3×3 → あまり9

3×3×3 → あまり27

3×3×3×3 → あまり21

3を5回 → 243÷30 → あまり3

3を6回 → 729÷30 → あまり9

3を7回 → 2187÷30 → あまり27

3を8回 → 6561÷30 → あまり21

3を9回 → 19683÷30 → あまり3

のように、3→9→27→21→・・・のくり返しとなっているので、

2014÷4=503あまり2 より、3を2014回かけたものを30で割ると、

余ることがわかります。

 

 

<別解>

3×3×・・・×3×3 ÷ 30 を 分数として計算すると、

3で約分されて、3×3×・・・×3÷10 になります。

たとえば、

 3÷30 → 1÷10 → あまり1 (実際のあまりは3)

 3×3÷30 → 3÷10 → あまり3 (実際のあまりは9)

 3×3×3÷30 → 3×3÷10 → あまり9 (実際は27)

のようになり、10で割ったときのあまりを、3で約分しているため

3倍すると、30で割ったときのあまりになります。

 

3を2014回かけた数を30で割った余りを求めるには、

3を2013回かけた数を10で割ったときの余りを3倍すればよい

ということになります。

 

ある数を10で割ったときの余りは、その数の1の位の数に等しいので、

3を2013回かけたときの1の位の数は3なので、

3を2014回かけた数を30で割ったときのあまりは、

3×3= とわかります。

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