３０で割った余りは？（鴎友学園女子中学 ２０１４年）

（１）３を５回かけた数、

    つまり、３×３×３×３×３ を３０で割ったときの余りを求めなさい。

（２）３を２０１４回かけた数を３０で割ったときの余りを求めなさい。

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（１）３×３×３×３×３＝９×９×３＝８１×３＝２４３

なので、３０で割ると、３余ります。

（２）３をかけた回数ごとに、余りを調べてみると、

３　→　あまり３

３×３　→　あまり９

３×３×３　→　あまり２７

３×３×３×３　→　あまり２１

３を５回　→　２４３÷３０　→　あまり３

３を６回　→　７２９÷３０　→　あまり９

３を７回　→　２１８７÷３０　→　あまり２７

３を８回　→　６５６１÷３０　→　あまり２１

３を９回　→　１９６８３÷３０　→　あまり３

のように、３→９→２７→２１→・・・のくり返しとなっているので、

２０１４÷４＝５０３あまり２　より、３を２０１４回かけたものを３０で割ると、

９余ることがわかります。

＜別解＞

３×３×・・・×３×３　÷　３０　を 分数として計算すると、

３で約分されて、３×３×・・・×３÷１０ になります。

たとえば、

　３÷３０　→　１÷１０　→　あまり１　（実際のあまりは３）

　３×３÷３０　→　３÷１０　→　あまり３　（実際のあまりは９）

　３×３×３÷３０　→　３×３÷１０　→　あまり９　（実際は２７）

のようになり、１０で割ったときのあまりを、３で約分しているため

３倍すると、３０で割ったときのあまりになります。

３を２０１４回かけた数を３０で割った余りを求めるには、

３を２０１３回かけた数を１０で割ったときの余りを３倍すればよい

ということになります。

ある数を１０で割ったときの余りは、その数の１の位の数に等しいので、

３を２０１３回かけたときの１の位の数は３なので、

３を２０１４回かけた数を３０で割ったときのあまりは、

３×３＝９ とわかります。

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