６けたを５けたにすると・・・（第４回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から）

５けたの整数があります。

６けたの整数のうち１つの数を消したら、

この５けたの整数になるような６けたの整数はいくつありますか？

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ある５けたの数字に１つ数字を入れて６けたの数がいくつできるかを考えます。

ここで、はじめにある５けたの数を、Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅとします。

アＡイＢウＣエＤオＥカ

とすると、アには１～９の９個の数字が、

イ～カには０～９の10個の数字が入るので、

全部で９＋１０×５＝５９通りの数字の入れ方があります。

しかし、これでは、アに同じ数字を入れた「AABCDE」と、

イにＡと同じ数字を入れた「AABCDE」が同じ数になってしまいます。

同様に、イとウにＢと同じ数字を入れたもの、

ウとエにＣと同じ数字を入れたもの、

エとオにＤと同じ数字を入れたもの、

オとカにＥと同じ数字を入れたものもそれぞれ同じになるので、

その分を除くと、全部で６けたの数は、５９－５＝５４個となります。

次に、例えば、アＡイＡウＡエＢオＢカ　のように同じ数字が並んでいるものを考えると、

ア、イ、ウ、エにＡと同じ数字を入れた４つの６けたの数はすべて同じになり、

エ、オ、カにＢと同じ数字を入れた３つの数も同じになるので、

この場合も、５９－５＝５４個となります。

他の数字の並び方でも同じように考えることができるので、

どのような５けたの数でも、

１つ数字を入れることによってできる６けたの数は54個となり、

６けたの数のうち１つ数字を消して、ある５けたの数を作るとき、

その６けたの数は全部で５４個となります。

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