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2014年10月 8日 (水)

6けたを5けたにすると・・・(第4回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から)

5けたの整数があります。

6けたの整数のうち1つの数を消したら、

この5けたの整数になるような6けたの整数はいくつありますか?

Pce022s

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ある5けたの数字に1つ数字を入れて6けたの数がいくつできるかを考えます。

ここで、はじめにある5けたの数を、A B C D Eとします。

アAイBウCエDオEカ

とすると、アには1~9の9個の数字が、

イ~カには0~9の10個の数字が入るので、

全部で9+10×5=59通りの数字の入れ方があります。

しかし、これでは、アに同じ数字を入れた「AABCDE」と、

イにAと同じ数字を入れた「AABCDE」が同じ数になってしまいます。

同様に、イとウにBと同じ数字を入れたもの、

ウとエにCと同じ数字を入れたもの、

エとオにDと同じ数字を入れたもの、

オとカにEと同じ数字を入れたものもそれぞれ同じになるので、

その分を除くと、全部で6けたの数は、59-5=54個となります。

次に、例えば、アAイAウAエBオBカ のように同じ数字が並んでいるものを考えると、

ア、イ、ウ、エにAと同じ数字を入れた4つの6けたの数はすべて同じになり、

エ、オ、カにBと同じ数字を入れた3つの数も同じになるので、

この場合も、59-5=54個となります。

他の数字の並び方でも同じように考えることができるので、

どのような5けたの数でも、

1つ数字を入れることによってできる6けたの数は54個となり、

6けたの数のうち1つ数字を消して、ある5けたの数を作るとき、

その6けたの数は全部で54個となります。

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