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2014年10月 2日 (木)

上から何番目のカード?(第2回算数オリンピック、予選問題から)

100枚のカードの山があります。栄二君はこれを手に持って、

山の一番上のカードから1枚ずつ順番に次の操作をします。

最初に山の一番上のカードを捨てて、

次のカードを山の一番下に入れます。

同じように、次のカードは捨てて、

その次のカードは山の一番下に入れます。

この操作を繰り返していくと、最後に栄二君の手の中に残るカードは、

操作を始める前の100枚のカードの山の、

上から何番目にあったカードでしょうか。

Play072s

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カードの山が最初に偶数枚であれば、カードの枚数だけ操作を繰り返すと、

初めに山の一番下にあったカードが再び山の一番下になって、山はひとめぐりします。

このときカードの山は最初の半分の枚数になっています。

つまり、最初のカードの山が、

最後の1枚になるまでつぎつぎに2等分できる枚数であれば、

最初の山の一番下にあったカードが最後まで残るはずです。

最後の1枚に2をかけて2、さらに2をかけて4、

8、16、32、64、128、・・・・・・となりますが、

最初が100枚の山なので、山が64枚になった時点で、

山の一番下になるカードが最後まで残るカードになるわけです。

64枚になるまで奇数番目のカードを捨て、偶数番目を下に入れて行き、

36枚のカードを捨てるわけです。

捨てられる36枚目のカードは、最初に上から71番目にあったカードなので、

つぎの72番目のカードが64枚の山の一番下になって、

最後まで残ることになります。

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