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2014年10月23日 (木)

4つの数はいくつ?(第8回算数オリンピック、ファイナル問題より)

たがいに異なる4個の整数があり、その積は23100です。

この4個の整数の中から2個ずつとりだして合計6個の整数の組を作り、

それぞれの組についてその差を計算し、合計すると18になりました。

4個の整数を求めなさい。

Mpsb1101cs

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整数を大きい順に①、②、③、④とすると、

(①-②)+(①-③)+(①-④)+(②-③)+(②-④)+(③-④)

=3×(①-④)+(②-③)=18

①-④の方が②-③より大きくなるので、

条件を満たす数は、①-④=5、②-③=3 の場合だけです。

4つの整数は大きい順に、

④+5、④+4、④+1、④ となるので、

23100=2×2×3×5×5×7×11 より、

条件に当てはまる組み合わせを考えると、

④=2×5=10

11

2×7=14

3×5=15

で成立するので、4つの整数は10、11、14、15となります。

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