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2014年10月

2014年10月31日 (金)

追いつく時間を推理して!(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

K君は7時21分に徒歩でA地点を出発し,時速4kmでB地点に向かった。

O君は7時16分に自転車でA地点から出発し,

K君と同じ道を時速15kmでB地点に向かった。

O君の自転車が出発してから10分後に故障してしまい,

その場で10分間修理したが,うまく直せず,

あきらめて時速1.5kmで自転車を押しながらB地点に向かった。

何時何分にK君はO君に追いつきますか。

Ilm13_ac06005s   1_3

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Bandicam_20141031_100024944

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台形内の三角形の面積比は?(桐朋中学 2014年)

Pic_4049q

上の図のように、辺AD と辺BC が平行な台形ABCD があります。

E は辺BC 上の点で、AB とDE は平行です。

この台形をAC,DE,BF で5つの三角形ア、イ、ウ、エ、オに分けると、

アの面積は32c㎡ で、イの面積はエの面積より8c㎡ 大きくなります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)ア、イ、ウ、エ、オ のうち、面積の等しい三角形はどれとどれですか。

(2)台形ABCD の高さが 16cm、面積が280c㎡ のとき、

      EC の長さは何cm ですか。

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(1)下の図1のように、ABとDE が平行なので

三角形BEF は三角形AEF に等積変形することができます。

 Pic_4050a

三角形ADE と三角形ADC はAD とCE が平行なので同じ面積です。

このことから、共通部分の三角形ADF(ア)を除いた

三角形AEF と三角形CDF の面積が等しい、

つまり、ウ と オ の面積が等しいことがわかります。

 

(2)台形ABCD の面積は、下の図2のようになり、

 Pic_4051a

32+ウ+ウ+エ+エ+8=280c㎡

なので、

ウ+エ=(280-32-8)÷2=120c㎡

とわかります。

すなわち、三角形CDE の面積が120c㎡ で、

高さが16cm より、CE の長さは、

16×□÷2=120

より、120×2÷16=15cm と求められます。

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2014年10月30日 (木)

Aに入る数字は?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

たて、横、ななめに並ぶ3個の数字の和がすべて等しくなるとき、

Aはいくつになりますか?

1

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9の上の数字を①とします。

3の右のマスの中の数字は、3+(その右)=①+9 となるので、

その右=①+9-3=①+6、

2_2

たて、横、ななめの3個の数字の和がすべて等しいので、

中央の数字をはさむ2数の和もすべて等しくなり、

①+①+6=②+6 になります。

①の右のマスは、②+6-3=②+3

①+6の上のマスは、②+6-9=②-3

たて、横、ななめの3個の数字の和は、

A+①+②+3=A+③+3

9の下のマスの中の数字は、

A+③+3-①-9=A+②-6

中央数字をはさむ2数の和はで②+6なので、

A+A+②-6=②+6

2×A=12

A=6

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ロボットのニュートン算(愛光中学 2011年)

ある工場では、一定の割合でタンクにジュースが絶えず流れこんでいて、

タンクに2100L たまった時点で、

350mL入りの缶ジュースを作るロボットA と

500mL入りの缶ジュースを作るロボットB が缶ジュースを作り始めます。

このとき、6分でタンクは空になります。

もし、A だけで作ると42分でタンクは空になります。

A とB の1分間に作る缶ジュースの個数は同じです。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1分間にタンクに流れこむジュースの量と、ロボットA が1分間に作る缶ジュースの個数を求めなさい。

(2)A とB の両方で作り始めてから、しばらくしてB が止まってしまったので、タンクが空になるまでA だけで作りました。A とB の両方で作り始めてからタンクが空になるまでにかかった時間は、B が止まるまでに両方のロボットで作っていた時間の2倍かかりました。A とB の両方で作り始めてからタンクが空になるまでに何分かかったか求めなさい。

Robot307421_150

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(1)ロボットA とロボットB が1分間に作る缶ジュースの個数が同じなので、

それぞれ1分間に【1】個の缶ジュースを作るとき、ジュースの量は、

      A :【1】×350mL

      B :【1】×500mL

となり、この比は [7] : [10] と表すことができ、

1分間にタンクから出てくるジュースの量は[17]です。

タンクに1分間に流れこむジュースの量を<1>とすると、

ロボットA,B で 6分間でタンクを空にすることができるので、

     2100+<6>=[17]×6=[102]

ロボットA だけでは42分かかるので、

     2100+<42>=[7]×42=[294]

と表すことができます。

2つの式を比べると、

    <36>=[192] ということがわかり、<6>=[32]

とわかります。

すなわち、

    2100+[32]=[102] なので、

    [1]=30L ということになります。

よって、

 ロボットA が1分間に作るジュースの量:[7]=210L

 ロボットB が1分間に作るジュースの量:[10]=300L 

なので、

 ロボットA が1分間に作る缶ジュースの数は、

      210L ÷ 350mL =210÷0.35=600個

 ロボットB が1分間に作る缶ジュースの数は、

      300L ÷ 500mL =300÷0.5 =600個

となり、共に同じ個数を作っていることを確認できます。

タンクに1分間に流れこむジュースの量は、

     <1>=[32/6]=30×32/6=160L です。

 

(2)B が途中で止まった様子を図に描くと、下の図のようになり、

       Pic_2377a

A と B 両方では、1分間に 510L、

Aだけでは1分間に 210Lのジュースがタンクから出てくるので、

Bが止まるまでの時間を□分とすると、

  2100+160×(□×2)=(510+210)×□

ということがわかり、

  2100+320×□=720×□

となるので、

  □=2100÷(720-320)=10.5分 です。

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この角何度?(女子美術大学付属中学 2014年)

下の図で、OA=OB=OC 、 角AOC の大きさが140度のとき

角ABC の大きさは何度ですか?

 Pic_4047q

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下の図1のように、二等辺三角形の角度をそれぞれ□と●とすると、

 Pic_4048a

□+□+●+●+140=360度 なので、

□+□+●+●=220度 とわかり、

角ABC=□+●=220÷2=110度 です。

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2014年10月29日 (水)

真ん中の数は?(2005年算数オリンピック、トライアル問題より)

図の9つのマスに1~9の数字を1つずつ入れました。

辺上の○の数字は、

となり合う2つのマスに書かれた数字の和をあらわしています。

?に入る数字は何ですか。

1_4

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1~9の合計は、(1+9)×9÷2=45

○を全部たすと、?以外の8個の数の合計の2倍です。

なぜなら、2回ずつたされているので・・・

8個の数の合計=(16+12+8+7+6+10+9+10)÷2

=39

?=45-39=6

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水量と時間の関係をグラフで!(慶應義塾中等部 2014年)

2つの貯水タンク A,B があります。

2つの貯水タンクからはそれぞれ一定の割合で水が放出されていますが、

貯水タンク内の水量が 300L になるとすぐに、

それぞれ一定の割合で、10時間続けて水が補給されます。

ただし、水を補給している間も水は放出されているものとします。

下の図は、現在の時刻からの経過時間と、

各貯水タンク内の貯水量の関係を表したものです。次の問に答えなさい。

  Pic_4044q_3

(1)15時間後から25時間後の間では、水は毎時何L の割合で補給されていますか。

(2)貯水タンク A への3度目の補給が始まる15時間前に、貯水タンク B への初めての補給が始まりました。2つの貯水タンク A,B の水量が2度目に等しくなるのは、現在から測って 何時間後ですか。

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(1)A は15時間で 600L 放出されているので、

1時間に40Lの割合で水が放出されていることがわかります。

一方、15時間から25時間の間の10時間で、1200L 増えているので、

1時間に120L の割合で増えています。

40L の放出があるにもかかわらず、120L の割合で増えているので、

40+120=160L の割合で補給されていることになります。

 

(2)グラフの続きを描くと、下の図1のようになり、

Pic_4045a

タンクA に3回目に補給が始まるのが 95時間後なので、

タンクB に補給が始まるのは 80時間後になり、

A,B の水量が2度目に等しくなるのは、図1のP のところです。

下の図2の青い三角形が相似なことから、

Pについて、時間を求めることができそうです。

Pic_4046a

まず、図2のQのところの時間は、

80時間で1740-300=1440L  減っているので、

1740-1500=240L

減るのにかかる時間は、

80 : 1440 = □ : 240  より、

□=80×240÷1440=40/3(時間)とわかります。

次に、Pのところの水量は、1500-300=1200L を

25-40/3 : 80-55 = 35/3 : 25=7 : 15 に分けるので、

1200÷(7+15)×15 + 300=9000/11+300

=12300/11(L) とわかります。

P の水量が 12300/11(L)なので、Pの時間を考えると

Aは30時間で1200L 減っているので、

1500-12300/11=4200/11(L)減るのにかかる時間は、

30 : 1200 = □ : 4200/11 より、

□=105/11=9と6/11(時間)とわかるので、

P の時間は、105/11+25=34と6/11(時間) と求められます。

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2014年10月28日 (火)

どんな展開図になりますか?

2

図のような立方体から切り取られた三角錐の展開図は、

どんな形になりますか?

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図のような正方形になります。

3

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貯水池のニュートン算(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

1500t (1t =1000kg)の水がたまっている貯水池があります。この貯水池には毎日一定の量の水が流入していることがわかっているので、毎日一定の量の水を放水して 30日間で貯水池を空にする計画を立てました。ところが大雨が降り、放水を始めてから最初の5日間は水の流入量が普段の1.4倍になってしまいました。そのため、天候が良くなり流入量が普段どおりに戻った6日目に計画を変えて、6日目から放水量を前日までの1.2倍にしたところ全部で 25日間かかって貯水池を空にすることができました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)普段の1日あたりの水の流入量は何 t ですか。

(2)6日目以降の1日あたりの放水量は何 t ですか。

(3)当初の予定通り 30日間で貯水池を空にするには、6日目以降の放水量を1日あたり何 t にすればよかったですか。

401

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(1)1日あたりの流入量を【 1 】、1日あたりの放水量を<1>

とすると、25日で貯水池が空になったときの式は、

   【 1.4 】×5 + 【 1 】×20 + 1500 

 = <1>×5 + <1.2>×20

とできるので、

   【 27 】+1500=<29> ・・・ 式1

となります。

 

また、順調にいけば 30日で貯水池が空になっていたので、

   【 1 】×30 + 1500 = <1>×30

とできるので、

   【 30 】+1500=<30> ・・・ 式2

となります。

 

式1、式2 を比べると、【 3 】=<1> とわかり、式2 は、

   【 30 】 + 1500 = 【 90 】

となり、【 60 】=1500t なので、【 1 】=25t です。

 

ゆえに、1日あたりの流入量は、25t です。

 

 (2)(1)より、<1>=【3】=25×3=75t で、

6日目以降は、この1.2倍なので、75×1.2=90t

1日に放水していたことがわかります。

 

 (3)30日で貯水池を空にする式は、1日の放水量を□として、

  【 1.4 】×5 + 【 1 】×25 + 1500 

 = <1>×5 + □×25

となります。【 1 】=25、<1>=75 より、

  1.4×25×5+25×25+1500=75×5+□×25

  175+625+1500=375+□×25

  □=1925÷25=77

なので、1日あたり 77t 放水すれば 30日で貯水池は空に

なります。

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最も小さい一番多い数は?(洗足学園中学 2014年)

7人の子どもに131個のみかんを配ります。

配るみかんの個数は7人全員異なります。

1番多くみかんをもらう人は何個もらいましたか。

考えられる数の中で最も小さい数はいくつですか。

Student148613_150

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個数が1つずつ異なるとき、一番多い数が最小になります。

多い順にA、B、C、D、E、F、Gとすると、

Aに7個、Bに6個、Cに5個、Dに4個、Eに3個、Fに2個、Gに1個 配ると、

残り131-(1+7)×7÷2=103個

103÷7=14あまり5 なので、

全員に14個ずつ配った後、多い順に5個配ります。

一番多いAは 7+14+1=22個 になります。

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2014年10月27日 (月)

回転してできた図形はどんな形?(杉並学院中学 2012年)

図のように、OA=4cm、OB=6cmの長方形OABCと

OAを半径とする半円0があります。

この長方形と半円が点0のまわりを矢印の方向に、

長方形は毎秒1°、半円は毎秒2°の速さで同時に回転し始め、

半円が1回転するまで長方形も回転するものとします。

(1)45秒後に長方形と半円が重なっている部分の面積は何c㎡ですか?

(2)辺ABが動いてできた図形の面積
は何c㎡ですか?


1_3
1_2 Cd020cs

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(1)45秒後は半円が45×2=90°

長方形が45×1=45°回転しているので、図のような重なりになります。

2

重なった部分の中心角は45°なので、

面積=4×4×3.14×1/8=6.28c㎡

(2)半円が1周したとき長方形は180°回転します。

ABが通ったところは図の赤い部分になります。

3

全体は図のように大きな半円と長方形でできています。

4

ここから図のように白い小さな半円と長方形を引けばいいのですが、

5

引く方と引かれる方に、両方とも長方形が入っているので、

差は大きな半円から小さな半円を引いたものと同じになります。

したがって、求める面積=6×6×3.14×1/2-4×4×3.14×1/2

=(36-16)×3.14×1/2=31.4c㎡

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AB×BA=?(2004年算数オリンピック、ファイナル問題より)

AB×BA=□

A、Bは2けたの整数のそれぞれの位の数字を表し、同じ記号は同じ数字です。

P君:「答えは2872ですか?」

O君:「ちがいます。でも一の位の2は合っています。」

P君:「ほかの位は?」

O君:「それはひみつだけど、2872の4つの数字をうまく入れかえると正しい答えになります。」

さて、正しい答えはいくつでしょう?

Apa0107s

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1の位が2になるのは、

1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9 の6通りなので、

すべて調べてみると、

12×21=252

34×43=1462

26×62=1612

67×76=5092

48×84=4032

89×98=8722・・・・・○

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2014年10月26日 (日)

重なった部分面積は?(栄東中学東大クラス選抜2014年)

面積が6c㎡の正六角形ABCDEFがあり、

辺CD、EFの真ん中にそれぞれ点G、Hをとります。

三角形ACEと三角形AGHが重なっている斜線部分の面積は

何c㎡ですか。

0

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下の図の正三角形ABHから、△黄と△茶と△青を引いてみます。

1

△赤どうしは相似で、相似比は2:1

正六角形の一辺の長さを1とすると、BDは2なので、

2を2:1に分けるとBG:GD=2/3:4/3

△茶と△水色も相似で、

CFの長さが正六角形一辺の長さの1/2より、

BG:CF=2/3:1/2=4:3

BE:EFも④:③となります。

△ABFの面積は1.5c㎡なので、

△黄+△茶=1.5×④/(④+③)=6/7c㎡

△青は小さな正三角形1.5個分なので、

1÷4×1.5=3/8c㎡

求める面積(緑)=3-(6/7+3/8)=1と43/56c㎡

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2014年10月25日 (土)

30で割った余りは?(鴎友学園女子中学 2014年)

(1)3を5回かけた数、

    つまり、3×3×3×3×3 を30で割ったときの余りを求めなさい。

 

(2)3を2014回かけた数を30で割ったときの余りを求めなさい。

032822

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(1)3×3×3×3×3=9×9×3=81×3=243

なので、30で割ると、余ります。

 

(2)3をかけた回数ごとに、余りを調べてみると、

3 → あまり3

3×3 → あまり9

3×3×3 → あまり27

3×3×3×3 → あまり21

3を5回 → 243÷30 → あまり3

3を6回 → 729÷30 → あまり9

3を7回 → 2187÷30 → あまり27

3を8回 → 6561÷30 → あまり21

3を9回 → 19683÷30 → あまり3

のように、3→9→27→21→・・・のくり返しとなっているので、

2014÷4=503あまり2 より、3を2014回かけたものを30で割ると、

余ることがわかります。

 

 

<別解>

3×3×・・・×3×3 ÷ 30 を 分数として計算すると、

3で約分されて、3×3×・・・×3÷10 になります。

たとえば、

 3÷30 → 1÷10 → あまり1 (実際のあまりは3)

 3×3÷30 → 3÷10 → あまり3 (実際のあまりは9)

 3×3×3÷30 → 3×3÷10 → あまり9 (実際は27)

のようになり、10で割ったときのあまりを、3で約分しているため

3倍すると、30で割ったときのあまりになります。

 

3を2014回かけた数を30で割った余りを求めるには、

3を2013回かけた数を10で割ったときの余りを3倍すればよい

ということになります。

 

ある数を10で割ったときの余りは、その数の1の位の数に等しいので、

3を2013回かけたときの1の位の数は3なので、

3を2014回かけた数を30で割ったときのあまりは、

3×3= とわかります。

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2014年10月24日 (金)

答えが2つある不思議なパズル!(慶應義塾中等部 2005年)

太郎君はボールペンを買うために、

1本25円のつもりで買う予定の本数分のお金を持っていきました。

ところが、1本30円に値上がりしていたため、

予定より42本少ない本数しか買えませんでした。

用意したお金は最も少ない場合でいくらですか?

また、最も多い場合でいくらですか?

1_2

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まず、最も多い場合から考えていきます。

予定の本数が1本だったとき、

所持金は25円ですから、30円を1本買うためには5円足りません。

実際は42本分足りなかったので、

30円×42個=1260円足りなかったわけです。

1本分の差・・・5円

?本分の差の合計・・・1260円

1260÷5=252倍

予定本数=1本×252倍=252本

25円×252本=6300円(多い場合)

6300÷30=210本 で 252-210=42本不足

次に最も少ない場合を考えます。

仮に41本少ない本数しか買えなかったとします。

1本分の差・・・5円

?本分の差の合計・・・41本×30円=1230円

1230÷5=246倍

予定本数=1本×246倍=246本

246本×25円=6150円

ただし、このお金は41本少ないときなので、

さらに、25円であと1本買えるようにしなければなりません。

よって、6150円+25円×1本=6175円(少ない場合)

予定本数は 246+1=247本

6175÷30=205本あまり25円 で、

247-205=42本不足

実際は、6175円から6300円まで、

25円きざみで6通りの答えが考えられる、不思議な問題でした!

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不正確な巻尺、正確なキョリは?(高槻中学 2012年)

全長50mと表示された巻尺A とB があります。

しかし、A,B両方ともに等間隔に目盛りはついていますが不良品で、

正確には 50mではありません。

いま、ある2点間のキョリを、巻尺A で計測すると 3332m となり、

巻尺B で計測すると3340m となりました。

巻尺A,Bの長さの差は、正しい物差しで測ると12cm だったとき、

次の問に答えなさい。

(1)長い方の巻尺の長さは正確には何mですか。

(2)2点間のキョリは正確には何mですか。

Measure289399_640

解法が表示されない場合は、
PC表示に切り替えてご覧ください!

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(1)巻尺A の【3332】m と巻尺B の[ 3340] m が等しいので、

巻尺B の[ 50] m と 巻尺A の

【3332 × 50/3340】=【8330/167】=【49と147/167】m

が等しいことになります。

この巻尺B の[ 50] m は、巻尺A の【50】m まで、【20/167】m足りないので、

巻尺A の方が長く、これが実際の12cm に等しいとわかります。

あとは比で、

20/167 : 0.12 = 50 : □

より、

□=12/100 × 50 ÷ 20/167=50.1 となり、

長い方の巻尺A の長さは、50.1m です。

(2)実際の50.1m が50m なので、実際の2点間のキョリを□とすると、

50.1 : 50 = □ : 3332  より、

□=3332×50.1÷50=3338,664m

と求められます。

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2014年10月23日 (木)

差集め算のポイントは?(横浜共立学園中学 2010年)

みかんとりんごを子どもたちに分けます。

みかんはりんごより7個多くあります。

みかんを1人5個、りんごを1人3個ずつ分けたところ、

みかんがちょうどなくなり、りんごは15個残りました。

最初に、みかんとりんごは合わせて何個ありましたか。

Ilm04_ab13001s Ilm04_ab13001sIlm04_ab13001s Ilm23_ba02001s

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----------------------------------------------------

みかん 5 5 5 ・・・・・ 5 5

りんご 3 3 3 ・・・・・ 3 3

配ったみかんとりんごの個数の差は 7+15=22個です。

1人 5-3=2個の差があるので、

22個の差は 22÷2=11人分の差です。

したがって、みかんとりんごは合わせて、

(5+3)×11+15=103個です。

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4つの数はいくつ?(第8回算数オリンピック、ファイナル問題より)

たがいに異なる4個の整数があり、その積は23100です。

この4個の整数の中から2個ずつとりだして合計6個の整数の組を作り、

それぞれの組についてその差を計算し、合計すると18になりました。

4個の整数を求めなさい。

Mpsb1101cs

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整数を大きい順に①、②、③、④とすると、

(①-②)+(①-③)+(①-④)+(②-③)+(②-④)+(③-④)

=3×(①-④)+(②-③)=18

①-④の方が②-③より大きくなるので、

条件を満たす数は、①-④=5、②-③=3 の場合だけです。

4つの整数は大きい順に、

④+5、④+4、④+1、④ となるので、

23100=2×2×3×5×5×7×11 より、

条件に当てはまる組み合わせを考えると、

④=2×5=10

11

2×7=14

3×5=15

で成立するので、4つの整数は10、11、14、15となります。

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最短ルートは?(栄光学園中学 2005年、大阪桐蔭中学 2010年)

下の図のように、

1辺の長さ10cmの正三角形4面で囲まれた立体OABCがあります。

辺ACのまん中の点をMとし、辺OB、OC 上にそれぞれ点P,Qをとり、

図のように直線AP,PQ,QMを 結びます。

直線AP,PQ,QMの長さの和が最小になるとき、

AP:PQ:QMの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

  Pic_1632q

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立体OABCの展開図を下の図1のように描くと、

AP+PQ+QMの和が最小になるのは、AMが直線となる青線のときとわかります。

Pic_1633a_2

図1のとき、OBとA’Cが平行なので、三角形APOと三角形AMA’が相似になり、

AO=OA’ より相似比は1:2、

AP:AM =1:2 ということで、AP:PM=1:1

次に、PQ:QMは、下の図2のように三角形OPQとCMQが

相似であることから、

Pic_1634a

OP:CM=OP:A’M=1:2 より、

PQ:QM=1:2 とわかります。

よって、比をそろえると、AP:PQ:QM=3:1:2 となります。

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2014年10月22日 (水)

点の移動と面積(明治大学付属明治中学 2009年)

図のような3個の正六角形をくっつけた図形があり、

三角形AEIの面積は12c㎡です。

3点P、Q、Rはそれぞれ六角ABCMKL、 RFGMCD、IJKMGHの周上を

矢印の方向に一定の速さで動く点です。

3点P、Q、Rは、それぞれ点A、E、Iを同時に出発し、

6秒後に出発した点にもどります。このとき,次の各問いに答えなさい。

1

(1)出発して1秒後の三角形PQRの面積は何c㎡ですか。

(2)出発して1.5秒後の三角形PQRの面積は何c㎡ですか。

(3)三角形PQRの面積が1/3c㎡となるのは出発してから何秒後ですか。

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2

(1)水色部分は△青の1/12なので1c㎡です。

正六角形の面積は6c㎡なので、1秒後の△赤は赤部分の3倍で、

6÷2×3=9c㎡になります。

3

(2)△BCJは△赤の1/6なので、9/6c㎡、

△水色は△BCJの5/6なので、9/6×5/6=5/4c㎡

したがって、1.5秒後の△青は9-5/4×3=5と1/4c㎡

4

(3)2秒後の△赤は3c㎡

3秒後は3点がMに重なり、△PQRの面積は0になります。

△PQRの面積が1/3c㎡になるのは、△赤に対して面積が3÷1/3=1/9になるところです。

面積が1/9になるのですから、辺の長さは1/9=1/3×1/3より、1/3になるので、

2と2/3秒後と、3と1/3秒後になります。

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グラフに見る面積変化は?(豊島岡女子学園中学 2014年)

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Pic_4039q

 

上の図1のように平行四辺形ABCD があり、その中にある点をO とします。

点P は平行四辺形ABCD の辺の上を点A から出発し、

4秒後に点B,9秒後に点C、その後、点D,点A の順に一定の速さで一周し、

2点O と P をまっすぐに結んだ線が通過した部分に色がついていきます。

下の図2は、色のついた部分の面積と時間の関係を表すグラフです。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4040q

(1)図2の □ にあてはまる数を求めなさい。

 

(2)下の図3のように、点O から辺CD に垂直な線を引き、この線と辺CD が交わる点を H とします。また、点O から辺AD に垂直な線を引き、この線と辺AD が交わる点を I とします。このとき、OH : O I を求めなさい。

Pic_4041q

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(1)グラフの4秒、9秒、13秒、18秒の地点は、

点P が それぞれの頂点に着いたときを表しています。

まず、平行四辺形は、下の図4のように 4つの部分に分けることができます。

Pic_4042a

グラフより、三角形OAB=100c㎡、三角形OBC=120c㎡、

三角形OCD=80c㎡ ということがわかります。

次に、三角形OAB と三角形OCD は、

下の図5のように等積変形することができるので、

 

Pic_4043a

2つを合わせた面積である、100+80=180c㎡ が三角形ABC の面積と等しく、

平行四辺形の半分の面積なので、

この平行四辺形の面積は、180×2=360c㎡ とわかり、

図2のグラフの □ には、360 が入ります。

(2)三角形OAD の面積は 60c㎡ 、三角形OCD の面積は 80c㎡ です。

CDの長さ : ADの長さ = 【4】 : 【5】 なので、

【4】×OH÷2 : 【5】×O I ÷2 =80 : 60 より、

OH=【40】、O I =【24】 となり、

OH : O I = 40 : 24 = 5 : 3

と求められます。

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2014年10月21日 (火)

中学入試算数67分野別解法!グラフからの推理(桐朋中学 2007年)

ある中学校の1年生に,サッカ一,野球,バスケットボール,卓球,水泳の中から一番好きなスポーツを1つ選んでもらい,その人数をグラフに表すと下の棒グラフのようになりました。グラフの一部はかくれています。野球の人数は42人で,サッカーの人数とバスケットボールの人数の比は5:3です。

(1)グラフの1目盛は何人を表していますか。

(2)卓球の人数は水泳の人数より2目盛分多く,卓球の人数は全体の12.5%でした。1年生は全部で何人ですか。答えだけでなく,途中の考えカを示す式や図などもかきなさい。

1

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Bandicam_20141021_103918701_2

Bandicam_20141021_104100256

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解けそうで解けない難問(第7回算数オリンピック、ファイナル問題より)

三角形ABCを三角形A'B'C'の位置まですべることなく転がしました。

このとき三角形ABCが通った範囲の面積を求めなさい。

円周率は3.14とします。

1_2

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図のように4つの部分に分けて考えてみます。

1

①20×20×3.14×□/360

②20×20÷2=200c㎡

③AC×AC×3.14×45/360

④AC×AC×3.14×△/360

AC×ACは1辺20cmの正方形の対角線×対角線なので、

20×20×2=800

③=800×3.14×45/360=314c㎡

①+④=(400×3.14×□+400×3.14×△×2)÷360

={400×3.14×(□+△×2)}÷360

ここで、□と△の関係について考えます。

左右の直角三角形を底辺24cmを合わせて重ねてみます。

3

すると、黄色部分が二等辺三角形になることがわかります。

180゜-○×2=180゜-□ なので、

○×2=□ です。

また、(90゜-□)+○=△ なので、

(90゜-□)+□/2=△

両辺を2倍して、

180゜-□×2+□=△×2

180゜-□=△×2

180゜=□+△×2 となります。

①+④=400×3.14×180÷360

=628c㎡

②と③をたして、

628+200+314=1142c㎡

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グラフからわかることは?(女子学院中学 2014年)

大きさと形が同じである2つの容器A,B に、それぞれ一定の割合で水を注いでいきます。下のグラフは、【水を注ぎ始めてからの時間(分)】と【Aの水面の高さからBの水面の高さを引いたもの(cm)】の関係を表しています。グラフを見て、下の文章の【 ア 】~【 キ 】にあてはまる数と、【 あ 】【 い 】にあてはまる容器名(A,B)を入れなさい。

  Pic_4036q

朝8時に空の容器A とB に、容器A は水面の高さが毎分【 ア 】mm、容器B は水面の高さが毎分【 イ 】mm上がるように、同時に水を注ぎ始めました。そして、8時【 ウ 】分に容器【 あ 】に水を注ぐのを止めました。それから、A とBの水面の高さがちょうど同じになった 8時【 エ 】分に、再び【 い 】に水を注ぎ始めたので、容器A は 9時【 オ 】分に、容器B は 9時【 カ 】分に満水になりました。この2つの容器の高さは【 キ 】cm です。

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まず、グラフからすぐに分かることは、

8時36分【ウ】に、A【あ】に水を注ぐのを止めていて、

8時54分【エ】に、A【い】に再び水を注ぎ始めています。

そして、72分後の9時12分【カ】に容器Bは満水になっています。

8時36分に、Aの容器はBの容器より 9cm 高いところまで水が入っていて、

8時54分までの18分間は容器Bだけに水が注がれ、同じ高さになっています。

このことから、容器Bに注がれる水は、1分間に5mm【イ】の割合とわかります。

36分間に、容器Bは18cmの高さまで水が注がれますが、

容器A は、18+9=27cm まで水が入っていることになるので、

容器A に注がれる水は、1分間に 7.5mm【ア】の割合とわかります。

72分で、容器Bは満水になるので、容器の高さは、36cm【キ】とわかります。

容器Aは、36-27=9cm 分の水を注げば満水になり、

90÷7.5=12分 かかるので、容器A が満水になるのは、

8時54分+12分=9時6分【オ】とわかります。

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2014年10月20日 (月)

正方形の一辺の長さは?(女子学院中学 2009年 改題)

正方形の辺を3cmずつ大きくしたら、面積が69c㎡増えました。

元の正方形の一辺は何cmでしたか?

Cd007cs

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図の色部分の合計が69c㎡なので、

黄色の長方形の長い辺が元の正方形の一辺です。

1

したがって、

(69-3×3)÷2÷3=10cm

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神経衰弱のカードをあてよう!(2010年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

神経衰弱は、カードを2まいひっくり返して同じ数字を当てるゲームです。
ひっくり返した2まいの数字が同じ場合はその2まいを取ることができ、ひっくり返した2まいの数字がちがう場合はカードをふせて元にもどします。
いま、4人で神経衰弱をしています。
1~6の数字が2まいずつ合計12まいあります。
それぞれのカードはうら返しになっており(ア)~(シ)となっています。

1

以下の文章を読んで問いに答えなさい。

りょうじ君:(カ)と(イ)を選んだけどちがう数字だったよ。

        (力)は1だったよ。

ひであき君:(オ)と(ウ)を選んだけどちがう数字だったよ。

        (オ)は2だったよ。

ゆうた君:(キ)と(サ)を選んだら、どちらも5だったよ。

       そのあと、(ケ)と(ア)を選んだけどちがったよ。

       (ケ)が3だった。

たけとら君:(コ)と(ク)を選んだら、同じ数字だった。

       そのあと、(イ)と(シ)を選んだけどちがったよ。

       (シ)が4だった。

その後、ゲームを続けていくと最後に

(イ)、(エ)、(オ)、(カ)の4まいが残りました。

このとき、(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)、(ク)の数字はいくつでしたか?

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

最後に残った(イ)、(エ)、(オ)、(カ)は、2組の同じ数のペアになっているはずです。

今、(オ)=2、(カ)=1とわかっているので、

(イ)と(エ)は1か2のいずれかであるとわかります。

りょうじ君の発言により、(イ)は1ではないことがわかります。

よって、(イ)=2、(エ)=1とわかります。

(ク)=(コ)ですが、1、2、3、4、5に関しては、

少なくとも1枚はどのカードかわかっていて、それは(ク)と(コ)以外のカードなので、

(ク)と(コ)の数字としてありえるのは6しか考えられません。

残る(ア)と(ウ)のカードですが、

この2枚は3か4の数字のいずれかです。

ゆうた君の発言により(ア)は3ではありません。

つまり、(ア)=4、(ウ)=3とわかります。

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正方形は何種類?(逗子開成中学 2011年)

1辺の長さが1mの正方形のマットが1枚と、

2つの辺の長さが1mと2mの長方形のマットが4枚あります。

これらのすべてを、1辺の長さが3mの正方形の部屋に、

下の図の例のようにすき間なくしきつめます。

この例のほかに考えられるしき方をすべて答えなさい。

ただし、見る方向を変えたとき同じものは区別しません。

        Pic_2921q

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まず、下の図1、図2のように左に長方形3枚をしいたものが考えられます。

図1と図2は向きを変えても同じにはなりませんので、違うしき方です。

Pic_2922a

次に、 下の図3、図4のように右に長方形3枚をしいたものを考えることができますが、

これらは逆方向から見ると図1、図2と同じしき方ということがわかります。

Pic_2923a

同様に、上、下に長方形3枚をならべたものも、

図1、図2と同じしき方になってしまうので、

長方形を3枚ならべるしき方は2通りということになります。

次に、例の図を参考に、下の図5のようなしき方が考えられます。

        Pic_2924a_2

図5は見る方向を変えても、例の図とは重なりません。

長方形を2枚重ねるしき方は、この1通りです。

最後に下の図6、図7のしき方があります。

Pic_2925a

図6、図7も見方を変えても重なりません。

よって、図1、図2、図5、図6、図7の5通り のしき方があります。

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2014年10月18日 (土)

1階からずっと乗っていた人は?(淑徳巣鴨中学校  2012年)

空の大型エレベーターが1階に停止したとき、50人が乗ってきました。

2階で13人降りて10人が乗ってきました。

3階で8人降りて12人が乗ってきました。

4階で20人降りて15人が乗ってきました。

5階で乗っている人が全員降りたとき、

1階からずっと乗っていた人は何人以上何人以下でしょうか。

Ilm03_bf01103s

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4階までに降りた人が全員1階から乗った人の場合、一番少なくなります。

50-(13+8+20)=9人

1階から乗った人が降りなくてすむ場合を考えます。

2階では降りた13人全員が1階から乗った人です。

3回では8人全員が2階から乗った人で、1階からの人は0、

4階では、2階から乗った残りの2人と、3階から乗った12人が降り、

残り20-(2+12)=6人が1階から乗った人です。

残っている1階からの人は、50-(13+6)=31人なので、

9人以上、31人以下です。

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これが中学入試に出た図形問題!カッティングパズル(筑波大附属中学 2008年)

Bandicam_20141018_093305356


Bandicam_20141018_093321964

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最も小さくなるときは?(城北中学 2014年)

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Pic_4034q

上の図は1辺が5cmの立方体で、

辺AB上にAPの長さが1cm となる点P を、辺BF上に点Qをとります。

 PQ+QG が最も小さくなるとき、BQの長さは何cmですか。

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PQ+QG が最も小さくなるのは、下の図1のような展開図で、

PG が一直線になるときです。

     Pic_4035a

三角形BPQ と三角形FGQ は相似で、相似比は 4:5 なので、

BQ の長さは、BF を 4:5 に分ければよく、

   5×4/9=2と2/9(cm)

と求められます。

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2014年10月17日 (金)

折り返す前の面積は?(2002年算数オリンピック トライアル問題より)

長方形(図1)の面積を2等分する直線MNを折り目にして折り(図2)、

さらに図2の図形の真ん中の線(図の点線)を折り目にしてもう一度折ります(図3)。

図3の図形全体の面積はもとの長方形の面積の1/3であり、

そのうち斜線部分の面積が7c㎡のとき、

もとの長方形の面積は何c㎡ですか。

1_4

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12

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3つの荷物の重さは?(早稲田実業学校中等部 2014年)

3つの荷物があります。

2つずつ重さを量ったら,155g,270g,365gでした。

3つの荷物の中で2番目に軽い荷物の重さは何gですか。

Cmv601s

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重い順にA、B、C とします。

A+B=365g

B+C=155g になるので、

AとCの差は A-C=365-155=210g

A+C=270gなので、和差算で考えると、

C=(270-210)÷2=30g

A=270-30=240g

2番目に軽いB=155-30=125g

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何曜日?何日?(巣鴨中学 2014年)

2014年2月1日は土曜日です。また、2012年は、うるう年でした。

次の問に答えなさい。

(1)2014年4月1日は何曜日ですか。

(2)2014年で1日が月曜日となる月をすべて 答えなさい。

     無い場合は、「無し」と答えなさい。

(3)2020年3月の最初の土曜日は何日ですか。

Ilm03_aa08014s

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(1)2014年は、2月が28日まで、3月は31日までなので、

4月1日は2月1日の、27+31+1=59日後になります。

1週間=7日 なので、2月1日の7日後(=7で割り切れる)が土曜日となり、

59÷7=8あまり3 より、4月1日は、土曜日の3日後で、火曜日です。

(2)2月1日が土曜日なので、1月1日はその31日前、

31÷7=4あまり3より土曜日の3日前で水曜日、

以下、7で割ったあまりを調べていきます。

3月1日 → 2月は28日なので、あまりは0より土曜日

4月1日 → 3月は31日なので、あまりは3より火曜日

5月1日 → 4月は30日なので、あまりは2より木曜日

6月1日 → 5月は31日なので、あまりは3より日曜日

7月1日 → 6月は30日なので、あまりは2より火曜日

8月1日 → 7月は31日なので、あまりは3より金曜日

9月1日 → 8月は31日なので、あまりは3より月曜日

10月1日 → 9月は30日なので、あまりは2より水曜日

11月1日 → 10月は31日なので、あまりは3より土曜日

12月1日 → 11月は30日なので、あまりは2より月曜日

よって、月曜日は、9月と12月です。

 

(3)2014年3月1日は土曜日なので、

ここから、2020年3月1日の曜日について調べると、

2020年までに、うるう年が2回(2016年、2020年)あるので、

  (365×6+2)÷7=2192÷7=313あまり1

より、2020年3月1日は、日曜日なので、

2020年3月の最初の土曜日は、3月7日 とわかります。

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2014年10月15日 (水)

道順は何通りありますか?( 森村学園中等部 2009年)

下の図の立方体のすべての面に,

辺も含めてたて横3本の線を引き,これらを道とします。

これらの道を通って,立方体の表面を点Aから点Bまで

遠回りしないで行く行き方が何通りありますか。

2_2

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点Aから点Bまで遠回りしないで行く行き方は、

いずれにしろ、たて2本、横2本、高さ2本の6本の線分を通ります。

3

AからBまでの行程の真ん中の赤丸は6個あり、

点Aから各赤丸まで行くのも3通りあり、

さらに赤丸からBまで行くのも3通りずつあるので、

(3×3)×6=54通りです。

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なくなったトランプはどれ?(第1回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題から)

ゆうや君のトランプは、全部で52枚あるはずなのに、

ハート、ダイヤ、スペード、クローバの4種類のうち、

どれか1種類のカードだけが10枚なくなって、42枚になってしまいました。

どの種類の10枚がないのかを、1枚ずつめくって調べていこうと思います。

もっとも早くわかるのは、何枚めくったときでしょうか。

また、もっともおそくわかるのは、何枚めくったときでしょうか。

ジョーカーは、初めから1枚も入っていません。

Play072s

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トランブは1種類13枚なので、10枚なくなっていれば残りは3枚しかないはず。

そこで、ある種類のカードが4枚出れば、その種類は13枚そろっているはず。

つまり、もし3種類のカードが4枚ずつ出れば、

残りの種類のカードがなくなっていることがわかります。

したがってもっとも少ない場合は3×4=12枚。

もっとも多い場合は、2種類のカードが13枚、2種類のカードが3枚ずつ出た場合で、

次の1枚をめくって、

ようやく、出なかったほうの種類のカードがなくなっていることがわかります。

この場合は13×2+3×2+1=33枚

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これ、全問正解は難しい?(栄光学園中学 2014年)

 Pic_4033q

上の図のような時計があります。

左側は時刻を示し、時には0~11、分には 0~59、秒には 0~59 の整数が表示されるものとします。

右側は【時×分×秒】の計算結果になっています。

例えば、上の図のように 5時8分50秒 の場合は、5×8×50の計算結果である 2000 が右側の四角の中に表示されます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)右側の四角の中に表示される整数のうち、最大の数と3番目に大きい数をそれぞれ答えなさい。 

(2)右側の四角の中に表示されることのない整数を小さい順に3つ答えなさい。

(3)右側の四角の中が 777 になる時刻をすべて答えなさい。

(4)右側の四角の中に 4225 は表示されることはありません。その理由を答えなさい。

(5)ある時刻に右側の四角の中の数を見て、その10分後と1時間後にも再び見ました。10分後と1時間後の数は等しく、初めに見た数より 390増えていました。ある時刻として考えられるものをすべて答えなさい。

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(1)最大となるのは、11時59分59秒のときで、

11×59×59=38291  ・・・ 【★】  です。

2番目に大きくなるのは、10時59分59秒 と 11時59分58秒 のどちらでしょうか。

右側に表示される数は、

10×59×59  と  11×59×58 で、

最大のときの【★】と比べると、それぞれ 10/11倍、58/59倍になります。

10/11倍 と 58/59倍 で、どちらが大きいかという問題になってきますが、

分母と分子の差が1のとき、数が大きいとどうなるか調べると、

たとえば 9/10倍 と 999/1000倍 で比べれば

999/1000倍の方が大きくなる (より1に近い) ということから、

58/59倍 の方が大きいです。

3番目に大きい数は、11時58分58秒 か 11時59分57秒なのかになりますが、

2番目に大きい数は、 11×58×59 ・・・ 【☆】 で、

11×58×58 → 【☆】の 58/59倍 ・・・ 【◆】

11×59×57 → 【☆】の 57/58倍 ・・・ 【◇】

なので、2番目に大きい数を調べたときと同じ考え方で、

58/59倍 と 57/58倍 では、58/59倍の方が大きいことがわかり、

【◆】の方が大きく、3番目に大きい数は、

 11×58×58=37004  となります。

なお、10時59分59秒 の 10×59×59 は

【★】の計算(11×59×59)を利用して 37004 より小さくなることがわかります。

 

(2)1時1分■秒 の表示で、1~59 の整数は表示されることはわかりますので、

60以降について考えます。

 60 → 2×30 なので、1時2分30秒

 61 → かけ算を作れないので、表示できない

 62 → 2×31 なので、1時2分31秒

 63 → 3×21 なので、1時3分21秒

 64 → 4×16 、65 → 5×13、66=2×33

 67 → かけ算を作れないので、表示できない

 偶数 → 2×□ となるので、奇数について考えます。

 69 → 3×23

 71 → かけ算を作れないので、表示できない

以上より、表示されない整数は小さい方から 61,67,71 です。

(3)777=7×111=7×3×37 です。

よって、

1時21分37秒、1時37分21秒、3時7分37秒、

3時37分7秒、7時3分37秒、7時37分3秒

の 6回があります。

 

(4)4225=5×845=5×5×169=5×5×13×13 です。

4225=5×5×13×13 ですが、2個ある 13 は、時のところには入れず、

13×5=65、13×13=169で、共に 59 より大きいので、

分と秒のところに別々に単独である必要があり、

その際、時のところが 5×5=25 になってしまうため、表示されることはありません。

 

(5)ある時刻を ○ : △ : □ (○時△分□秒) として、

10分後には、  ○ : ▲ : □ (○時▲分□秒) となり、

1時間後には   ● : △ : □ (●時△分□秒) となる。

と考えると、表示される数は、

 ある時刻 → ○×△×□

 10分後  → ○×▲×□

 1時間後 → ●×△×□

の計算結果で、10分後と1時間後は等しいということから、

○×△×□ の ▲/△倍 と ●/○倍 が等しいということで、

すなわち、▲/△=●/○ (約分すると等しい)ということです。

(1時55分10秒のように、10分後には2時5分10秒と、時間が増えてしまう場合は、

1時間後の2時55分10秒と時間が同じになり、時×分×秒で同じ答えにはなりません)

△と▲の差が10、●と○の差が1ということを考え、1時から順に調べると、

2/1=20/10 、 3/2=30/20 、 4/3=40/30 、

5/4=50/40 、 6/5=60/50→分子(▲)が59を超える。

よって、

 1時10分□秒 → 1時20分□秒 または 2時10分□秒

 2時20分□秒 → 2時30分□秒 または 3時20分□秒

 3時30分□秒 → 3時40分□秒 または 4時30分□秒

 4時40分□秒 → 4時50分□秒 または 5時40分□秒

の4つが考えられます。

この4つにおいて、左側と右側の時刻で表示される数が 390増えるということから、

□秒については、

1時10分□秒 → 10×□ 1時20分□秒 → 20×□

 より、□=39

2時20分□秒 → 40×□ 2時30分□秒 → 60×□

 より、□=19.5 → 整数ではないので、不適

3時30分□秒 → 90×□ 3時40分□秒 → 120×□

 より、□=13

4時40分□秒 → 160×□ 4時50分□秒 → 200×□

 より、□=9.75 → 整数ではないので、不適

となるので、考えられる時刻は

 1時10分39秒3時30分13秒

の2つです。

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2014年10月14日 (火)

長針と短針の角度と時刻の関係をつかむ!(海城中学 2011年)

長針、短針、秒針のついた時計について、

次の【ア】~【カ】にあてはまる数を求めなさい。

ただし、秒の値のみ分数で答えなさい。

(1)7時から8時の間で、長針と短針の間の角の大きさが60度になる時刻は、

1回目が 7時【ア】分【イ】秒で、2回目が7時【ウ】分【エ】秒です。

(2)7時から8時の間で、

短針と秒針の間の角の大きさが120度になる 23回目 の時刻は、

7時【オ】分【カ】秒です。


Tokei

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(1)7時の時点で、長針と短針の間の角度は、210度で、

長針は1分に6度、短針は1分に0.5度動くので、

長針と短針の作る角度が60度になるのは、

1回目が、

 (210-60)÷(6-0.5)=300/11=27と3/11分後

2回目が、

 (210+60)÷(6-0.5)=540/11=49と1/11分後

で、

 3/11分=180/11秒=16と4/11秒

  1/11分=60/11秒=5と5/11秒

なので、

 1回目が、7時27分16と4/11秒

 2回目が、7時49分5と5/11秒

とわかります。

 

(2)短針と秒針の間の角の大きさが120度になるのは

1分間に2回あります。23回目は奇数回目なので、

22回目が終わると7時11分になっていて、その次の回です。

 

7時11分00秒では、短針と秒針の間の角の大きさは、

 210+0.5×11=215.5度

になっていて、1秒間に秒針は 6度動き、短針は、

 0.5÷60=1/120度

動きます。

 

215.5度あった短針と秒針の間の角の大きさが、120度になる

のは、

  (215.5-120)÷(6-1/120)

 =95.5÷719/120

 =11460/719

 =15と675/719 秒後

になり、23回目の時刻は、7時11分15と675/719秒 です。

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消去算で解く円の面積の和(白百合学園中学)

AB=20cm、AC=28cm、角Aが90°の直角三角形があります。

大小2種類の円を右の図のように描いたところ、

全ての円の中心は辺AB、AC上にあり、

頂点A,B,Cも円の中心になりました。

このとき、図の円の面積の和を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

1_4

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AB=(大円の直径)+(小円の直径)×2=20

AC=(大円の直径)+(小円の直径)×4=28

ACの式からABの式を引くと、

AC-AB=(小円の直径)×2=8

つまり、

(小円の直径)=4cm、(小円の半径)=2cm

小円の直径が4cmなので、これをABの小円に入れると、

AB=(大円の直径)+4×2

=(大円の直径)+8=20

よって、

(大円の直径)=12cm、(大円の半径)=6cm

大円の面積=6×6×3.14     大円の個数=2個

小円の面積=2×2×3.14  小円の個数=7個

面積の和

=6×6×3.14×2個+2×2×3.14×7個

=36×3.14×2個+4×3.14×7個

=3.14×72個+3.14×28個

=3.14×100個

314c㎡

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これだけで数字がわかるの?(第7回算数オリンピック、トライアル問題より)

数字の0~6が一つずつ表に書かれた白と黒のカードが7枚ずつ合計14枚あります。この14枚のカードの中から白2枚、黒2枚の合計4枚のカードを抜きとり、残りの10枚を裏にして次のルールでならべたところ下の図のようにならびました。

ルール1.数字の小さい順に左から右へとならべる。

     2.同じ数字の白と黒のカードの場合には

             必ず黒のカードを白のカードの左にならべる。

最初に抜きとった4枚の白と黒のカードに書かれた数字はそれぞれいくつですか。

1_4

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14枚のカードを並べると、左から黒、白、黒、白と

互い違いにきれいに並ぶはずです。

それが、白白、または黒黒のように並んでいる場所が

あやしいわけで、

つまり、カードが抜き取られたところに違いありません。

2_3

白は→1と5

黒は→3と4  です。

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ちょっと難しいカード配りの論理問題(東海中学 2011年)

11,12,13 の数字が書かれたカードが、それぞれ  4枚ずつあります。

この12枚のカードをA君、B君、C君の3人に 4枚ずつ配ります。

持っている 4枚のカードに書かれた数字の和を得点① とし、

得点①  の約数の個数を得点② とします。

初めに配ったとき、得点① は全員同じで、B君のカードは  4枚とも同じ数字でした。

111213

(1)3人のカードを1枚ずつ集めて配り直したところ、

A君とB君の得点② の差が  7点でした。C君の得点② は何点ですか?

(2)(1)の配り直されたカードを元にもどし、

3人のカードを2枚ずつ集めて配り直したところ、

3人の得点①  がすべて異なり、得点② の最高点は 4点でした。

3人の得点① を小さい順に書いてください。

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(1)3人の得点① が同じになるのは、B君が4枚とも【12】の

カードを持っているときです。

(11×4=44、13×4=52 では、

他の2人がどのようなカードを配られても同じ点数にはできない)

A君、C君のカードは、(11,11,13,13)になり、

3人の得点①は、48点です。

カードを1枚配りなおしたとき、

A君、C君 → 46点、47点、48点、49点、50点

B君 → 47点、48点、49点

になる可能性があります。

46~50について、得点②を考えると、

46 ・・・ 4点  47 ・・・ 2点  48 ・・・ 10点

49 ・・・ 3点  50 ・・・ 6点

となるので、差が7点となるのは、

A君 ・・・ 48 、B君 ・・・ 49 、 C君 ・・・ 47

A君 ・・・ 49 、B君 ・・・ 48 、 C君 ・・・ 47

の2通りが考えられます。

どちらの場合も、C君は得点①が47になり、

C君の得点②は2点 とわかります。

(2)3人のカードは、

    A君 : 11,11,13,13 合計48点

    B君 : 12,12,12,12 合計48点

    C君 : 11,11,13,13 合計48点

となっていて、ここから2枚ずつ集めて配りなおし、

3人とも合計点が異なり、得点②の最高点が4点になります。

A君とC君がとることが可能な点数①は、

52点(2枚の11が13になる)から44点(2枚の13が11になる)

B君がとることが可能な点数①は、

50点(2枚の12が13になる)から46点(2枚の12が11になる)

となります。

44~52について、得点②を考えると、

 44 ・・・ 6点  45 ・・・ 6点   46 ・・・ 4点

 47 ・・・ 2点  48 ・・・ 10点  49 ・・・ 3点

 50 ・・・ 6点  51 ・・・ 4点   52 ・・・ 6点

なので、得点②の最高が4点なので、3人がとることが可能な

点数は、46,47,49,51 のどれかになります。

3人の合計点が144点で、平均が48点であることから、

48点を中心に考えると、

1人が51点のとき、残りの2人は、47点、46点で平均48点(○)

1人が49点のとき、

残り2枚のカードで平均48点にはできないので不適当(×)

したがって、3人がとることができる得点①は、小さい順に

46点、47点、51点

となる1通りのみとなります。

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残った立体の体積は?(早稲田中学 2014年)

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点Oを中心とする半径2cmの円を底面とし、高さが6cmの円柱があり、

この円柱を底面に垂直に切ったところ、

図の角アの大きさが90°になりました。

次に、図の長方形の斜線部分をまっすぐにくりぬいて、

向かい側までつき抜けるように穴をあけました。

残った立体の体積は何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

1

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真上から見ると、図のように黄色部分が切り取られた部分で、

くりぬいた立体の底面積は緑部分になります。

2

黄色部分の面積は、2×2×3.14÷4-2×2÷2=1.14c㎡

緑部分の面積は、4×4÷2+1.14=9.14c㎡

したがって、求める体積は、

(2×2×3.14-1.14)×6-9.14×2

=68.52-18.28

=50.24立方cm

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2014年10月13日 (月)

何票以上得票すれば当選する?(國學院大學久我山中学 2014年)

K中学校の生徒960人が1票ずつ投票して5人の委員を選ぶ選挙をします。

投票は1人の名前だけを書き,無効票はないものとします。

1人何票以上投票されればその人は必ず当選しますか。

ただし,立候補者は6人以上いるものとします。

Hpsa1101cs

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5位に入ればいいのでしょうか?

5人以外が0票と考えて、

5位の最大得票数を計算すると960÷5=192票?

そんなに得票しなくてもよさそうです、

6位よりも1票でも上回ればいいって考えます。

6位の最大得票数は・・・

960÷6=160票

つまり、6位の人が最高に得票する可能性が160票なので、

5位は1票たして161票なら必ず当選します。

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2014年10月12日 (日)

これ、条件だけでも難問!(2012年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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図のような五角形ABCDEがあり,角BAE=90°

AP=10cm,PE=8cm,AB=3.9cm,PQ=5.5cm,

PQとCEは平行,BR:RD=5:8,PR:RC=3:5,

QS=SD,CS=16.5cmになっています。

三角形QRSの面積は何c㎡ですか。

※ただし,図は正確とは限りません。

1_2

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PQとCEは平行なので、AQ:QS=AP:PE=5:4です。

QS=SDより、AQ:QD=5:8で、BR:RDと等しいので、ABとQRは平行です。

PQとCEは平行なので、三角形APQと三角形AESは相似で、

相似比はAP:AE=5:9です。

PQ=5.5cmなので、SE=5.5×9/5=9.9cmです。

CS=16.5cmなので、

CS:SE=16.5:9.9=5:3となり、RC:PRと等しいのでRSとPEも平行です。

ABとQR、RSとPEが平行で、角BAE=90°なので、

角QRSも90°とわかります。

つまり、三角形QRSは直角三角形です。

AQ:QD=5:8、AB=3.9cmより、

QR=3.9×8/(8+5)=2.4cm

CS:SE=5:3、PE=8cmより、

RS=8×5/(5+3)=5cmなので、

三角形QRSの面積は

5×2.4÷2=6c㎡

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図の平行四辺形ABCDにおいて,

BE:EF:FC=1:2:1,CG:GD=1:2です。

平行四辺形ABCDの面積が144c㎡のとき,

斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図の△水色は平行四辺形の1/2

したがって、△黒(DEC)は平行四辺形の 1/2×3/4=3/8

2

図の△赤どうしは相似で、相似比は4:2=2:1

高さの比も2:1となるので、

下の△赤の面積比は、平行四辺形の 1/2×1/2×1/3=1/12

3

ABとDEを図のように延長すると、

△青どうしは相似で、相似比は3:1、

△黄と△緑も相似なので、相似比は2:4=1:2

4

△黄の面積比は、平行四辺形の 1/2×2/3×1/3=1/9

斜線部分の面積比は、平行四辺形の 3/8-(1/12+1/9)=13/72

斜線部分の面積=144×13/72=26c㎡

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2014年10月11日 (土)

面積図で考える仕事算(洛星中学 2013年)

下の図のような容器に,2つのじゃ口A,Bから水を入れます。容器が空の状態から,Aのみで水を入れると20分でいっぱいになり,A,B両方で水を入れると11分40秒でいっぱいになります。

1

(1)Bのみで水を入れると、何分でいっぱいになりますか。

次に,容器が空の状態からA,B両方で水を入れて,水面がQの
位置にきたときにBのじゃロを閉めてAのみで水を入れたところ,
水面の上がる速さは最初から最後まで変わらず,最初から16分でいっぱいになりました。

(2)RS:STを求めなさい。

(3)PQ:QRを求めなさい。

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こたえ

(1)Aは1分では1/20の水が入ります。

A+Bでは1/(11と2/3)=3/35の水が入るので、

Bは1分間で3/35-1/20=(12-7)/140=1/28

の水が入るので、いっぱいにするには

1÷1/28=28分です。

(2)1分間で入る水の量は、A:B=1/20:1/28=7:5

水面の上がる速さが同じだったので、

RからQまでの側面積が同じことから、

RS:ST=7:5 になります。

(3)

2

面積図で考えると、水色部分の面積は同じになります。

面積は、4分20秒→260秒とすると、

7×260=1820

□=1820÷5=364秒

PQ:QR=(260+364):{960-(260+364)}

=624:336

=13:7

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横道にそれると解けませんよ!(第4回算数オリンピック、トライアル問題より)

図の外側の四角形は1辺が10cmの正方形です。

斜線部分の面積は何c㎡ですか?

1

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解法例

図の9cmは使いません。

ちょっと意地悪な問題ですね。

図のように、外側の正方形から赤部分を引くと、

(黄+緑+青+水色)は、その残り部分の半分です。

3

したがって、

斜線部分=(正方形ー赤)÷2+赤

=(10×10-2×3)÷2+2×3=53c㎡

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これが中学入試に出た図形問題!三角形はいくつ?(豊島岡女子学園中学 2010年)

図のように、正三角形ABCのそれぞれの辺を3等分する点をD、E、F、G、H、Iとします。A~Iのうち、3点を結んで三角形を作るとき、次の問いに答えなさい。ただし、3点を結んで三角形ができないような結び方は考えないものとします。

(1)3点E、F、Iを結んでできる三角形の面積は正三角形ABCの面積の何倍ですか。

(2)3点をを結んでできる三角形のうち,正三角形ABCの面積の1/3となるものは何通りありまずか。

1

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Capture_2014_10_11_09_54_07_515 Capture_2014_10_11_09_54_23_828 Capture_2014_10_11_09_54_46_546

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池の深さは何cm?(学習院中等科 2014年)

長さの差が15cmである2本の棒を池の底に届くまでまっすぐに立てました。

短い方は全体の2/3、長い方は全体の3/5だけ水につかりました。

このとき、池の深さは何cmですか。

1

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----------------------------------------------------

1_2

図のように、

長い棒の3と短い棒の②が池の深さに相当し等しいので、

①は3の半分の1.5に相当します。

すると、2-1.5=0.5が15cmなので、

3の池の深さは、15×(3÷0.5)=90cm です。

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このイベントへの参加人数は?(中央大学附属横浜中学 2014年)

あるイベントの1日あたりの参加人数を計算したところ、

1日目から5日目までは平均 440人で、

6日目から最終日までは平均 320人、

1日目から最終日までは平均 360人でした。

このイベントが行われた期間は何日間ですか。

Ilm13_bb12015s

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最初の5日間は、平均より多く、

6日目以降は平均より少ない人数になっているので、

下の図1のように、つるかめ算のような図を作ると、

平均より多い青い部分の人数が、黄色い部分の人数に移動することで、

平均 360人となります。

 Pic_4032a

よって、5×(440-360)÷(360-320)=10日間 の平均が320人 とわかり、

イベントの行われていた期間は、

 5+10=15日間

です。

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2014年10月10日 (金)

この図形の軌跡は?(第7回算数オリンピック、トライアル問題より)

コンパスの足の幅を2cmに開いて、図1のような図形を作ります。

このような図形を2つ用意します。一つの図形は固定され、

もう一つの図形はその周囲をすべることなく転がりながら移動していきます。

初めに図2のように頂点が接した状態から転がしていくとき、

移動する図形の通過した部分の面積は何c㎡になりますか。

円周率は3.14とします。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

この図形の軌跡は図のように、同じ幅で進んでいきます。

3

軌跡は図のようになります。

2

結局、

(半径4の円の1/6)ー(半径2の円の1/6)+(半径2の円の1/6)

3つ分になるので、

4×4×3.14÷6×3=25.12c㎡

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高さが同じになったのは?(吉祥女子中学 2014年 改題)

円柱の形をしたローソクAとBがあります。

両方とも火をつけると6立方cmの割合で燃えていきます。

底面積はAが9c㎡、Bは12c㎡です。

高さ16cmのAに火をつけ、同時にBにも火をつけました。

Aが燃え尽きたとき、Bの高さは2.5cmでした。

AとBが同じ高さになったのは、火をつけてから何分後でしょうか?

Cxm520s

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Aは燃え尽きるまで、9×16÷6=24分 かかりました。

B24分間で、6×24÷12=12cm 燃えます。

Bの高さは、12+2.5=14.5cm でした。

AとBの高さの差は16-14.5=1.5cm です。

Aは1分間に、16÷24=2/3cm燃え、

Bは1分間に、12÷24=1/2cm燃えるので、

1分間に、2/3-1/2=1/6cmずつ差が縮まっていきます。

同じになるのは、1.5÷1/6=9分後です。

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どう計算しますか?(2004年算数オリンピック、トライアル問題より)

20042005×20052006-

        20042004×20052005=

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

20052006=○

20042004=△ とおきます。

(△+1)×○ー△×(○ー1)

=○×△+○ー(○×△ー△)

=○×△+○ー○×△+△

=○+△

=40094010

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 赤玉と白玉は何個?(金蘭千里中学 2010年)

箱の中に赤玉と白玉が個数の比 3 : 2 で入っています。

次の問に答えなさい。

(1)箱の中の合計が 31個以下であるとき、玉をいくつか取り出すと、箱に残った赤玉と白玉の個数の比が 2 : 3 になりました。このとき、赤玉、白玉の取り出し方は何通り考えられますか。

(2)箱の中から赤玉をいくつか取り出し、その倍の個数だけ白玉を箱に入れると、箱の中の赤玉と白玉の個数の比が 2 : 7 になりました。はじめに箱の中には合計何個の玉がありましたか。考えられる最も少ない個数を答えなさい。

Girl307747_150

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----------------------------------------------------

(1)箱に 3 : 2 で玉が入っているということは、玉の総数は5の倍数ということです。

31個以下の個数のとき、

30個、25個、20個、15個、10個、5個が考えられます。

また、玉を取り出したあとの個数の比が2 : 3 なので、

やはり玉の総数は 5の倍数です。

最初の玉の総数が30個(赤18、白12)のとき、

 25個(赤10、白15) → なれない

 20個(赤8、白12) → ○

 15個(赤6、白9) → ○ 10個→○、5個→○

最初の玉の総数が25個(赤15、白10)のとき、

 20個(赤8、白12) → ×

 15個、10個、5個 → ○

最初の玉の総数が20個(赤12、白8)のとき、

 15個 → ×

 10個、5個 → ○

最初の玉の総数が15個(赤9、白6)のとき、

 10個(赤4、白6)→ ○、5個→○

最初の玉の総数が10個(赤6、白4)のとき、

 5個(赤2、白3) → ○

最初の玉の総数が5個のときは成り立ちません。

以上より、玉の取り出し方は 12通り が考えられます。

(2)玉の移動のイメージは、下の図1のようになります。

      Pic_4028a

図1には、【 】で表した比と、○で表した比の2つが存在します。

この2つの比を合わせなければなりません。

そこで、下の図2のように、赤玉の ②+黄色い部分=【3】を利用するために、

勝手に 白玉の方に ② を加えます。

   Pic_4029a

白玉には、黄色い部分が 2つあるので、下の図3のように②を2つ加えると、

 Pic_4030a

【8】=⑪ ということがわかります。

8 と 11 の最小公倍数は、88 なので、下の図4のように比を合わせることが出来ます。

 Pic_4031a

図4よりも小さい数にはできないので、

はじめにあった個数として考えられる最も少ない個数は、

33+22=55個 です。

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2014年10月 9日 (木)

2つの数の組の規則性は?(城北中学 2009年)

2つの数の組が一定の決まりで並んでいます。

1

Pce022s

2つの数の和がはじめて21になるのは何番目ですか?

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数の和が1が2個、2が3個、3が4個、・・・20が21個、

2+3+4+・・・+21=(2+21)×20÷2=230個

数の和が21になるのはその次なので、

231番目

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ひらめき算数1分パズル、面積は?(星野学園中学 2014年)

黄色部分の面積は何c㎡ですか?

1_3

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図のように△赤の頂角から赤い垂線を下ろしてみると、

△赤の底辺を垂直二等分します。

2

△赤も△青も直角二等辺三角形なので、

図のように長さがわかります。

黄色部分は台形+直角三角形なので、

(4+8)×4÷2+6×8÷2=48c㎡

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何キロカロリーを消費した?(田園調布学園中等部 2014年)

Kさんは、最初はゆっくり歩き、途中から早歩きをし、

最後にまた最初と同じ速さで歩いたところ、

歩数と消費エネルギーの変化の様子はグラフのようになりました。

(「キロカロリー」とは、消費するエネルギーの単位です。)

このとき、旱歩きをすると1歩につき何キロカロリーを消費しますか。

1

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最後の歩きでは、105-87=18kカロリー消費しています。

最初と同じペースなので、

15:18=500:□

□=18×500÷15=600歩 歩いています。

87kカロリー消費した時点の歩数は2000-600=1400歩

早歩きでは1歩につき、

(87-15)÷(1400-500)=0.08kカロリー になります。

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2014年10月 8日 (水)

6けたを5けたにすると・・・(第4回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から)

5けたの整数があります。

6けたの整数のうち1つの数を消したら、

この5けたの整数になるような6けたの整数はいくつありますか?

Pce022s

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ある5けたの数字に1つ数字を入れて6けたの数がいくつできるかを考えます。

ここで、はじめにある5けたの数を、A B C D Eとします。

アAイBウCエDオEカ

とすると、アには1~9の9個の数字が、

イ~カには0~9の10個の数字が入るので、

全部で9+10×5=59通りの数字の入れ方があります。

しかし、これでは、アに同じ数字を入れた「AABCDE」と、

イにAと同じ数字を入れた「AABCDE」が同じ数になってしまいます。

同様に、イとウにBと同じ数字を入れたもの、

ウとエにCと同じ数字を入れたもの、

エとオにDと同じ数字を入れたもの、

オとカにEと同じ数字を入れたものもそれぞれ同じになるので、

その分を除くと、全部で6けたの数は、59-5=54個となります。

次に、例えば、アAイAウAエBオBカ のように同じ数字が並んでいるものを考えると、

ア、イ、ウ、エにAと同じ数字を入れた4つの6けたの数はすべて同じになり、

エ、オ、カにBと同じ数字を入れた3つの数も同じになるので、

この場合も、59-5=54個となります。

他の数字の並び方でも同じように考えることができるので、

どのような5けたの数でも、

1つ数字を入れることによってできる6けたの数は54個となり、

6けたの数のうち1つ数字を消して、ある5けたの数を作るとき、

その6けたの数は全部で54個となります。

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正方形は何種類できる?(筑波大学附属中学 2014年)

図のように25個の点が等しい間隔で並んでいます。

これらの点を結んで正方形を作るとき、

何種類の正方形ができますか?

1

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2

3

以上の8種類です。

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ひらめき算数1分パズル、兄はいくら持っている?(広島学院中学2014改題)

兄と弟が持っているお金比は8:3で、

兄は弟の2倍より580円多く持っています。

兄はいくら持っていますか?

4271

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弟の持っているお金を③とすると、

兄は③×2+580円=⑥+580 となり、

580円が⑧-⑥=② に相当することがわかります。

兄=580円×(⑧÷②)=2320円

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約束記号の捜査計算 (東大寺学園中学 2010年)

整数A のなかに現れる 0 の個数をN(A)と表します。

たとえば、N(1000)=3、N(2010)=2 です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1から199までの整数のなかに現れる 0 の個数の和

    N(1)+N(2)+・・・+N(199) を求めなさい。

(2)1000から1999までの整数のなかに現れる 0 の個数の和

     N(1000)+N(1001)+・・・+N(1999) を求めなさい。

Student148613_150

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(1)一の位が 0 になるとき → 10の倍数 が 19個

十の位が 0 になるとき → 100~109 の 10個なので、

 N(1)+N(2)+・・・+N(199)=19+10=29

となります。

 

(2)一の位が 0 になるとき → 10の倍数 が 100個

十の位が 0 になるとき → 10×10=100個

百の位が 0 になるとき → 1000~1099 の 100個なので、

 N(1000)+N(1001)+・・・+N(1999) = 300

となります。

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2014年10月 7日 (火)

べん図を使うと解きやすい問題(開成中学 2005年)

40人の生徒に対して、問題A,B の2題によるテストを行いました。

得点は、2題とも正解ならば10点、A,B のどちらか1題だけが正解ならば5点、

どちらも不正解ならば0点としました。

その結果について、次のことがわかっています。

(ア)40人の平均点は、ちょうど6点でした。

(イ)得点が0点と5点の生徒は、合わせて30人いました。

(ウ)問題A が正解だった生徒の人数は、問題B が正解だった生徒の人数の2倍でした。

このとき、問題A が正解で、問題B が不正解だった生徒は何人か求めなさい。

Ilm07_aa02003s

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問題文より、10点の生徒は10人ということがわかります。

40人の平均点が6点なので、

点数の合計は、40×6=240点とわかり、

そこから10点の生徒の点数を引くと、

240-10×10=140点 が、5点の生徒の合計点数

ということになります。

よって、5点の生徒の人数 (AまたはBが正解だった生徒)は、

140÷5=28人 とわかります。

下の図のように、「べん図」を描くと、

 Pic_2745a

A が正解だった生徒の人数は、

B が正解だった生徒の人数の2倍で、

 【A だけが正解だった生徒数】=A

 【B だけが正解だった生徒数】=B

とすると、A+B=28人 で、A+10(人)は、B+10(人)の2倍

ということになります。

このことから、28+10+10=48人 が 2 : 1に分かれると、

Aが正解だった生徒数とBが正解だった生徒数がわかり、

それぞれ 32人 と 16人 となります。

 

よって、A だけが正解だった生徒は、32-10=22人 です。

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中学入試算数67分野別解法!円と三角形(西大和学園中学 2012年)

図のように点Oを中心とする円と、点Oを通る線分BCを一辺とする直角三角形ABCがあります。このとき、線分CPの長さは何cmですか。

1

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Bandicam_20141007_095152505Bandicam_20141007_095205951

Bandicam_20141007_095205951_2

Bandicam_20141007_095217512

Bandicam_20141007_095226256

Bandicam_20141007_095231595

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ひらめき算数1分パズル、何ℓたまった?(順天中学 2014年)

下の図のように、同じ太さのパイプがあり、矢印から水を流すと、

A~Eの各容器に水がたまります。

各分岐点では同じ量ずつ水が分かれて流れます。

容器Dに30Lの水がたまったとき、

容器Eには何Lの水がたまっていますか?

1_2

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A=1/2×1/2=1/4

B=1/2×1/2×1/2=1/8

C=1/2×1/2×1/2×1/2=1/16

D=1/2×1/2×1/2×1/2+1/2×1/2=5/16

E=1/2×1/2=1/4

D:E=5/16:4/16=5:4

E=30×4/5=24L

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三角形ADEの面積は?(東京学芸大学附属竹早中学 2014年)

図の三角形ABCは、角Cの大きさが90°の直角二等辺三角形です。

三角形DBEは、角Eの大きさが90°の直角二等辺三角形です。

辺AB=10cm、三角形DBEの面積が9/4c㎡とき、

三角形ADEの面積を求めなさい。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2つの直角二等辺三角形の面積比は、

その倍の正方形の面積比と等しいので、

△ABC:△DBE=(10×10÷2):(9/4×2)=50:9/2=100:9

すると△ABCと△DBEは相似なので長さ比は10:3

BE:CE=3:(10-3)=3:7

△DBEと△ADEの面積比は、(3×3):(3×7)=9:21

△ADEの面積=9/4×21/9=21/4c㎡

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2014年10月 6日 (月)

この立体の切り口は?難問に挑戦!(立教新座中学 2013年)

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1辺の長さが 3cmの立方体 3つを使い、

面と面をはり合わせて下の図1のような立体を作り、

すべての表面に色をぬりました。

この立体を頂点ア、イ、ウを通る平面で切断するとき、

次の問に答えなさい。

なお、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められます。

必要ならば図2の展開図を利用しなさい。

 Pic_3676q

(1)立体の断面となる図形の頂点の個数を答えなさい。

(2)切断されてできた2つの立体のうち、頂点エを含む立体について、

  次の問に答えなさい。

① 色のぬられている部分の面積を求めなさい。

② 体積を求めなさい。

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(1)図1の立体に切り口の線を描きいれていきいます。

まず、頂点イ、ウは同一平面上にあるので、

その線と平行な線を頂点アから引くと、下の図3の赤線のようになり、

ウと同一平面上の点オまで引きます。

Pic_3677a

ウとオは同一平面上にあるので、

図3のように切り口を青線で表すことができます。

すると、下の図4の 点カ を切り口が通ることがわかります。

 Pic_3678a

直線アカ と平行な線をイ、ウから引くと、カ~キは2cm、ア~キは6cm なので、

下の図5のようにイ~ク、ウ~ケ(エ~クは2cm)の切り口の線を引くことができます。

 Pic_3679a

最後に、ア~ク、イ~ケを引いて切り口の図形が完成し、

頂点の数は 6個 とわかります。

(2)①切り口を図2の展開図に描きこむと、下の図6のようになります。

 Pic_3680a

頂点エを含む立体の色のついた部分の面積は、

黄色い部分 : 3×3×3=27c㎡

緑の部分   : 台形アウイア’-三角形イウケ

        =(6+24)×3÷2-6×1÷2

        =42c㎡

を合わせて、27+42=69c㎡ と求められます。

(2)② 下の図7のように、コ~タの点をとります。

 Pic_3681a

立体を、左側の立方体が2段の直方体と、右側の立方体に分けて、

切断四角柱として体積を求めます。

左側の直方体は、面アエタコを底面と考えると、高さの平均は

 (3+2+1+0)÷4=1.5cm

なので、エを含む側の体積は、

 3×6×1.5=27c㎥

と求められます。

右側の立方体は、面キコサシを底面と考えると、高さの平均は

 (1+2+2+3)÷4=2cm

なので、エを含む側の体積は、

 3×3×2=18c㎥

と求められます。

よって、頂点エを含む体積は、

 27+18=45c㎥

となります。

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2014年10月 5日 (日)

ひらめき算数1分パズル、決勝に出る確率は?(淑徳巣鴨中学校 2012年)

A、B、C、D、E、Fの6チームがトーナメント戦を行います。

どのチームも勝つ確率は1/2です。

″あ~か″のどこにどのチームが入るかは、くじ引きで決めます。

Bチームが決勝戦に出る確率は?

1_2

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くじびきですから、どのチームもチャンスは平等です。

決勝戦は6チーム中2チームが残ります。

したがって、確率は2/6=1/3

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この角度は何度?(女子学院中学 2010年)

図のように、正五角形の中に正三角形があります。

ア~エの角度はそれぞれ何度ですか。

1

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ア=(180-108)÷2=36°

エ=ア+(108-60)=84°

イ={180-(108-60)}÷2=66°

ウ=360-{108÷2+(108-ア)+エ}=150°

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2014年10月 4日 (土)

持っていたお金は?

AさんとBさんがいくらかずつお金を持っています。AさんがBさんに150円をわたすとすると,2人の所持金が等しくなります。逆に,BさんがAさんに300円わたすとすると,Aさんの所持金はBさんの所持金の10倍になります。Aさんの所持金は何円ですか。

427

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Bandicam_20121103_100409875

Bandicam_20121103_100432703 

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ブロックはいくつ必要?(筑波大学附属中学 2014年)

よしこさんは同じ大きさの立方体のブロックを組み立てて接着し、

別の立体を作りました。

その立体をテーブルの上に置き、真上からと真横から見ると、

下の図のように見えました。

この立体を作るには少なくとも何個のブロックが必要ですか。

1_2

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図のように11個

Capture_2014_10_04_09_27_44_703

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これ名作!キャンディののせ方は?(第4回算数オリンピック、エントリー問題から)

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次の図のA、B、C、D、Eの5つのお皿には、

それぞれいくつかのキャンディがのっています。

このうち1皿を取るか、つながった2つ以上のお皿を取ることによって

(たとえば、AとB、DとEとA、など)、

お皿の上のキャンディで、

1から21までのすべての個数を作ることができます。

それぞれのお皿にのっているキャンディの個数を求めなさい。

1

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

1~21のすべての数が作れるので、のっているキャンディの合計は21個、

お皿の取り方は、

5皿すべてを取る→1通り

1皿だけを取る→5通り

連続した2~4皿を取る→それぞれ5通りで計15通り

合計1+5×4=21しかないので、

お皿にはそれぞれ違う数のキャンディがのっていることになります。

また、1個しかのっていない皿と2個しかのっていない皿が必ずあり、

条件として、つながった皿の組み合わせで同じ数字が作れてはいけません。

1と2の皿が隣り合っていたら、それで3が作れるので、4つの皿が必要です。

4の皿の位置は図のA、B、Cの3ヵ所が考えられますが・・・・・

2

Aなら5まで作れるので6が必要ですが、

さらに21まで作るためには21-(1+2+4+6)=8が必要です。

ところが6と8をどのように置いても、

下の図のように同じ数字が2組作れてしまうので不適当、

3

BとCではまず5が必要で、さらに21-(1+2+4+5)=9も必要、

ところが5と9をどのように置いても、やはり同じ数字が2組作れてしまうので不適当、

したがって、1と2は隣り合っていないようです。

1と2が隣り合わない並び方は図のD、E、Fの3通り、

4

Dでは7と8が必要ですが、

どのように置いても同じ数字が2組作れてしまうので不適当、

5

Eでは4と11が必要ですが、

これも、どのように置いても、やはり同じ数字が2組作れてしまうので不適当、

6

Fは5と10が必要ですが、

そのうち唯一、右の置き方だけが21まで作ることができますね!

この並び方、すごい!

7

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

2014年10月 3日 (金)

A君の得点は何点?(桐朋中学 2014年)

A君,B君,C君の3人が算数のテストを受たところ,

3人の得点の合計は228点でした。

A君の得点はB君の得点より18点高く,

A君とB君の平均点はC君の得点と同じでした。

A君の得点は何点でしたか。

2203

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

線分図を描いてみると、

C君の得点はA君より18÷2=9点低く、

B君より9点高いことがわかります。

1

したがって、B君の得点は

(228-18-9)÷3=67点

A君=67+18=85点

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ひらめき算数1分パズル(碁石はいくつ必要?)芝浦工業大学柏中学2014改題

図のように碁石を並べて正方形を100個作ると、

碁石はいくつ必要ですか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように、緑部分を追加して正方形が1つできていくと考えれば、

2

100個では、

5+11×100=1105個

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折った紙の角度は?(慶應義塾普通部 2014年)

下の図1の長方形ABCD の紙を、PQ,RS で折り曲げました。

次に、図2のQT,SU で折り曲げ、

QB とSC が直線EFに重なるようにしました。

すると、図3のようにBA とCD がちょうど重なり、

六角形PQTUSR ができました。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4017q

(1)図1の【あ】の角が32度のとき、図2の【い】の角は何度ですか。

(2)図3で色がついた4つの角の大きさの和は何度ですか。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)角SRF=32°なので、下の図4のように

  Pic_4018a_2

錯角の関係から、【い】の角度は、32×2=64度 です。

 

(2)図3のような六角形ができるには、

Q,S がEFの延長上になければなりません。

PR とEF 、RD とCS が平行なので、

32度のところを ● として、錯角の関係で下の図5のようになります。

 Pic_4019a

すると、三角形FRS が二等辺三角形とわかり、FR=FS で、

図3から、RF=FU なので、三角形FSU も二等辺三角形 と判明します。

●=32度なので、角SFU=64度 より、

角FSU=(180-64)÷2=58度と求められるので、

角RSU=32+58=90度とわかります。

同様に、左側に関しても下の図6のように

 Pic_4020a

角EPQ=△ とすると(角EPQは32度とは限らない)、

同様に、三角形EPQ,三角形EQT は二等辺三角形とわかり、

角EQT=▲ とすると、三角形PQT の3つの角は、

△+△+▲+▲=180度

なので、

角PQT=△+▲=90度

とわかります。

よって、図3の色のついた部分の角度の和は、

六角形の内角の和(720度)から、角PQT、角RSU を除いて

720-(90+90)=540度

と求められます。

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2014年10月 2日 (木)

上から何番目のカード?(第2回算数オリンピック、予選問題から)

100枚のカードの山があります。栄二君はこれを手に持って、

山の一番上のカードから1枚ずつ順番に次の操作をします。

最初に山の一番上のカードを捨てて、

次のカードを山の一番下に入れます。

同じように、次のカードは捨てて、

その次のカードは山の一番下に入れます。

この操作を繰り返していくと、最後に栄二君の手の中に残るカードは、

操作を始める前の100枚のカードの山の、

上から何番目にあったカードでしょうか。

Play072s

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カードの山が最初に偶数枚であれば、カードの枚数だけ操作を繰り返すと、

初めに山の一番下にあったカードが再び山の一番下になって、山はひとめぐりします。

このときカードの山は最初の半分の枚数になっています。

つまり、最初のカードの山が、

最後の1枚になるまでつぎつぎに2等分できる枚数であれば、

最初の山の一番下にあったカードが最後まで残るはずです。

最後の1枚に2をかけて2、さらに2をかけて4、

8、16、32、64、128、・・・・・・となりますが、

最初が100枚の山なので、山が64枚になった時点で、

山の一番下になるカードが最後まで残るカードになるわけです。

64枚になるまで奇数番目のカードを捨て、偶数番目を下に入れて行き、

36枚のカードを捨てるわけです。

捨てられる36枚目のカードは、最初に上から71番目にあったカードなので、

つぎの72番目のカードが64枚の山の一番下になって、

最後まで残ることになります。

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作業は何日かかる?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2014年)

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ある工場現場に 3本のクレーンA,B,C があります。

3本のクレーンをすべて使うと、ちょうど8日間で、

BとCの2本のクレーンだけを使うと、ちょうど12日間で、

Cのクレーンだけを使うと、ちょうど36日間で、

それぞれ全体の作業を終わらせることができます。

工事は毎日行うものとして、次の問に答えなさい。

Ilm2007_04_0008s

(1)

クレーンA だけを使うと、

作業を始めてから何日目で全体の作業を終わらせることができますか。 

(2)

クレーンA だけをちょうど5日間使い、

残りをクレーンBとCの2本だけを使って作業をしました。

作業を始めてから何日目で全体の作業を終わらせることができますか。

(3)

A,B,C のクレーンから1日ごとにどれか1本だけを選んで作業をしたところ、

全部でちょうど21日間で全体の作業を終わらせることができました。

Bを使用した日数がAを使用 した日数の2倍のとき、

Bを使用した日数は何日ですか。

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(1)クレーンA,B,C を使うと、1日で全体の1/8 の作業をすることができます。

 クレーンB,Cを使うと、1日で全体の1/12 の作業をすることができます。

 クレーンC だけを使うと、1日で全体の1/36 の作業をすることができます。

クレーンB だけを使って 1日でできる作業は、

 1/12 - 1/36 = 1/18  です。

クレーンA だけを使って 1日でできる作業は、

 1/8 - 1/12 = 1/24  です。

よって、クレーンA だけを使うと、

24日目で全体の作業を終わらせることができることがわかります。

 

(2)クレーンA が5日でする作業は、5/24 なので、残りは 19/24 です。

残りの作業をクレーンB,C を使ってすると、

  19/24 ÷ 1/12 = 9.5日  かかります。

よって、作業が終わるのは、5+9.5=14.5日 かかるので、15日目です。

 

(3)クレーンA で1日、クレーンB で2日作業をすると、

1/24+2/18=11/72 の作業ができます。

クレーンC は1日で 1/36=2/72 の作業をできるので、

 11×★ + 2×☆ = 72 ・・・ 【式】 

となるような (★、☆)の組み合せを探します。

ただし、★は3日分の作業に当たるので、★×3+☆=21日 を満たす必要があります。

条件を満たす(★、☆)は、(6,3) だけです。

★ 1回につき、クレーンB は2日の作業が含まれるので、

クレーンB が作業をしたのは、6×2=12日間 となります。

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2014年10月 1日 (水)

ひらめき算数1分パズル(Aは何立方cm?)神奈川学園中学2010年

3つの容器A、B、Cがあります。今、Aは満水で、B、Cは空です。

Aの3/4の水をBへ、残りの水をCへ入れると、

Bには1/2まで、Cには1/5まで水が入りました。

もとの状態(Aは満水で、B、Cは空)にして、Aの水を適当に分け、

A、B、Cのどれも容器の1/3になるように入れようとしたら、

あと50立方cmの水が必要でした。

Aの容積は何立方cmですか?

Apf0107s

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Aの容積を④とすると、

Bは③が1/2なので、全体の容積は⑥

Cは①が1/5なので、全体の容積は⑤

Aの2/3+50立方cmがBの1/3+Cの1/3になるので、

(④×2)/3+50=⑥/3+⑤/3

⑧/3+50=⑪/3

⑧+150=⑪

③=150

①=50立法cm

A=④=50×4=200立方cm

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規則性を見つけていく名作問題(学習院女子中等科 2014年)

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Pic_4014q_3 

上の図1のように 1から100までの整数が書かれた表があります。

数を1つ選んだら、下の図2のように表のその数の上下左右の数の和が得点になります。

表のハシやカドの数を選んだときには、上下左右のうち表にある数の和だけが得点になります。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_4015q

(1)35 、40 を選んだときの得点をそれぞれ求めなさい。

(2)得点が最大になる数を求めなさい。

(3)8と11は得点が同じになります。

このように、得点が同じになる数の組み合せをすべて求めなさい。

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(1)35の場合、25+34+36+45 なのですが、

25と45の平均が35、34と36の平均が35 なので、

25,34,36,45の平均は 35 です。

よって、35の場合の得点は、35×4=140点

 

40の場合、30+39+50 ですが、30と50の平均が40、

39=40-1 なので、40の場合の得点は、

   40×3-1=119点

となります。

 

(2)選ぶ整数が表の右下にいくほど得点は大きくなります。

ただし、(1)より、ハシは得点が下がることがわかるので、

得点が最大になるのは、89を選んだときです。

 

(3)表の内側の整数□(35など)を選んだときの得点は、

(1)より、□×4 (4の倍数)となるので、

内側どうしでは同じ組み合わせは一つもありません。

同じになる場合は必ず上下左右の数が入ってきます。

表の上の一列(2~9)の整数△を選んだときの得点は、

△×3+10 と表すことができ、

16,19,22,25,28,31,34,37 です。

表の下の一列(92~99)の整数▲を選んだときの得点は、

▲×3-10 と表すことができ、

266,269,272,275,278,281,284,287 です。

表の左の一行(11,21,・・・,81)の整数☆を選んだときの得点は、

☆×3+1 と表すことができ、

34,64,94,124,154,184,214,244 です。

表の右の一行(20,30,・・・,90)の整数★を選んだときの得点は、

★×3-1 と表すことができ、

59,89,119,149,179,209,239,269 です。

4つのカドの数の得点は、

1 ・・・ 13点、10 ・・・ 29点、91 ・・・ 173点、100 ・・・ 189点 です。

これら 36個の得点のうち、同じ点数になるのは、

269点になる 93と90 と 34点になる 8と11のときです。

上の36個の得点のうち、内側と同じになるのは4の倍数なので、

 16点 → 16÷4=4 ですが、4は表の内側ではないので不適

 28点 → 28÷4=7 ですが、7は表の内側ではないので不適

 272点 → 272÷4=68

 284点 → 284÷4=71 ですが、71は表のハシなので不適

 64点 → 64÷4=16

 124点 → 124÷4=31 ですが、31は表のハシなので不適

 184点 → 184÷4=46

 244点 → 244÷4=61 ですが、61は表のハシなので不適

以上より、得点が同じになる整数の組み合せは、

 (8と11)、(90と93)、(68と94)、(16と21)、(46と61

の5組になります。

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