これ、全問正解は難しい？（栄光学園中学 2014年）

　

上の図のような時計があります。

左側は時刻を示し、時には０～１１、分には ０～５９、秒には ０～５９ の整数が表示されるものとします。

右側は【時×分×秒】の計算結果になっています。

例えば、上の図のように ５時８分５０秒 の場合は、５×８×５０の計算結果である ２０００ が右側の四角の中に表示されます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）右側の四角の中に表示される整数のうち、最大の数と３番目に大きい数をそれぞれ答えなさい。 

（２）右側の四角の中に表示されることのない整数を小さい順に３つ答えなさい。

（３）右側の四角の中が ７７７ になる時刻をすべて答えなさい。

（４）右側の四角の中に ４２２５ は表示されることはありません。その理由を答えなさい。

（５）ある時刻に右側の四角の中の数を見て、その１０分後と１時間後にも再び見ました。１０分後と１時間後の数は等しく、初めに見た数より ３９０増えていました。ある時刻として考えられるものをすべて答えなさい。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

（１）最大となるのは、１１時５９分５９秒のときで、

１１×５９×５９＝３８２９１　　・・・　【★】  です。

２番目に大きくなるのは、１０時５９分５９秒 と １１時５９分５８秒 のどちらでしょうか。

右側に表示される数は、

１０×５９×５９　　と　　１１×５９×５８ で、

最大のときの【★】と比べると、それぞれ １０/１１倍、５８/５９倍になります。

１０/１１倍 と ５８/５９倍 で、どちらが大きいかという問題になってきますが、

分母と分子の差が１のとき、数が大きいとどうなるか調べると、

たとえば ９/１０倍　と　９９９/１０００倍 で比べれば

９９９/１０００倍の方が大きくなる （より１に近い） ということから、

５８/５９倍 の方が大きいです。

３番目に大きい数は、１１時５８分５８秒 か １１時５９分５７秒なのかになりますが、

２番目に大きい数は、　１１×５８×５９　・・・　【☆】 で、

１１×５８×５８　→　【☆】の ５８/５９倍　・・・　【◆】

１１×５９×５７　→　【☆】の ５７/５８倍　・・・　【◇】

なので、２番目に大きい数を調べたときと同じ考え方で、

５８/５９倍 と ５７/５８倍 では、５８/５９倍の方が大きいことがわかり、

【◆】の方が大きく、３番目に大きい数は、

　１１×５８×５８＝３７００４  となります。

なお、１０時５９分５９秒 の １０×５９×５９ は

【★】の計算（１１×５９×５９）を利用して ３７００４ より小さくなることがわかります。

（２）１時１分■秒 の表示で、１～５９ の整数は表示されることはわかりますので、

６０以降について考えます。

　６０　→　２×３０ なので、１時２分３０秒

　６１　→　かけ算を作れないので、表示できない

　６２　→　２×３１ なので、１時２分３１秒

　６３　→　３×２１ なので、１時３分２１秒

　６４　→　４×１６ 、６５ →　５×１３、６６＝２×３３

　６７　→　かけ算を作れないので、表示できない

　偶数　→　２×□ となるので、奇数について考えます。

　６９　→　３×２３

　７１　→　かけ算を作れないので、表示できない

以上より、表示されない整数は小さい方から ６１，６７，７１ です。

（３）７７７＝７×１１１＝７×３×３７ です。

よって、

１時２１分３７秒、１時３７分２１秒、３時７分３７秒、

３時３７分７秒、７時３分３７秒、７時３７分３秒

の ６回があります。

（４）４２２５＝５×８４５＝５×５×１６９＝５×５×１３×１３ です。

４２２５＝５×５×１３×１３ ですが、２個ある １３ は、時のところには入れず、

１３×５＝６５、１３×１３＝１６９で、共に ５９ より大きいので、

分と秒のところに別々に単独である必要があり、

その際、時のところが ５×５＝２５ になってしまうため、表示されることはありません。

（５）ある時刻を ○ ： △ ： □ （○時△分□秒） として、

１０分後には、　　○ ： ▲ ： □　（○時▲分□秒） となり、

１時間後には　　 ● ： △ ： □　（●時△分□秒） となる。

と考えると、表示される数は、

　ある時刻　→　○×△×□

　１０分後　 →　○×▲×□

　１時間後　→　●×△×□

の計算結果で、１０分後と１時間後は等しいということから、

○×△×□ の　▲/△倍 と ●/○倍 が等しいということで、

すなわち、▲/△＝●/○ （約分すると等しい）ということです。

（１時５５分１０秒のように、１０分後には２時５分１０秒と、時間が増えてしまう場合は、

１時間後の２時５５分１０秒と時間が同じになり、時×分×秒で同じ答えにはなりません）

△と▲の差が１０、●と○の差が１ということを考え、１時から順に調べると、

２/１＝２０/１０　、　３/２＝３０/２０　、　４/３＝４０/３０　、

５/４＝５０/４０　、　６/５＝６０/５０→分子（▲）が５９を超える。

よって、

　１時１０分□秒　→　１時２０分□秒 または ２時１０分□秒

　２時２０分□秒　→　２時３０分□秒 または ３時２０分□秒

　３時３０分□秒　→　３時４０分□秒 または ４時３０分□秒

　４時４０分□秒　→　４時５０分□秒 または ５時４０分□秒

の４つが考えられます。

この４つにおいて、左側と右側の時刻で表示される数が ３９０増えるということから、

□秒については、

１時１０分□秒　→　１０×□　１時２０分□秒　→　２０×□

　より、□＝３９

２時２０分□秒　→　４０×□　２時３０分□秒　→　６０×□

　より、□＝１９．５　→　整数ではないので、不適

３時３０分□秒　→　９０×□　３時４０分□秒　→　１２０×□

　より、□＝１３

４時４０分□秒　→　１６０×□　４時５０分□秒　→　２００×□

　より、□＝９．７５　→　整数ではないので、不適

となるので、考えられる時刻は

　１時１０分３９秒、３時３０分１３秒

の２つです。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

どう解く？中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦！

全国１５０中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題！

公式、法則、受験算数の極意

分野別６６項目へ

ママだって家庭教師！

１分で解ける算数

アニメーションでイメージをつかむ解法

パズル？おもしろ算数問題

イメージでわかる中学受験算数問題