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2014年10月 1日 (水)

規則性を見つけていく名作問題(学習院女子中等科 2014年)

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Pic_4014q_3 

上の図1のように 1から100までの整数が書かれた表があります。

数を1つ選んだら、下の図2のように表のその数の上下左右の数の和が得点になります。

表のハシやカドの数を選んだときには、上下左右のうち表にある数の和だけが得点になります。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_4015q

(1)35 、40 を選んだときの得点をそれぞれ求めなさい。

(2)得点が最大になる数を求めなさい。

(3)8と11は得点が同じになります。

このように、得点が同じになる数の組み合せをすべて求めなさい。

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(1)35の場合、25+34+36+45 なのですが、

25と45の平均が35、34と36の平均が35 なので、

25,34,36,45の平均は 35 です。

よって、35の場合の得点は、35×4=140点

 

40の場合、30+39+50 ですが、30と50の平均が40、

39=40-1 なので、40の場合の得点は、

   40×3-1=119点

となります。

 

(2)選ぶ整数が表の右下にいくほど得点は大きくなります。

ただし、(1)より、ハシは得点が下がることがわかるので、

得点が最大になるのは、89を選んだときです。

 

(3)表の内側の整数□(35など)を選んだときの得点は、

(1)より、□×4 (4の倍数)となるので、

内側どうしでは同じ組み合わせは一つもありません。

同じになる場合は必ず上下左右の数が入ってきます。

表の上の一列(2~9)の整数△を選んだときの得点は、

△×3+10 と表すことができ、

16,19,22,25,28,31,34,37 です。

表の下の一列(92~99)の整数▲を選んだときの得点は、

▲×3-10 と表すことができ、

266,269,272,275,278,281,284,287 です。

表の左の一行(11,21,・・・,81)の整数☆を選んだときの得点は、

☆×3+1 と表すことができ、

34,64,94,124,154,184,214,244 です。

表の右の一行(20,30,・・・,90)の整数★を選んだときの得点は、

★×3-1 と表すことができ、

59,89,119,149,179,209,239,269 です。

4つのカドの数の得点は、

1 ・・・ 13点、10 ・・・ 29点、91 ・・・ 173点、100 ・・・ 189点 です。

これら 36個の得点のうち、同じ点数になるのは、

269点になる 93と90 と 34点になる 8と11のときです。

上の36個の得点のうち、内側と同じになるのは4の倍数なので、

 16点 → 16÷4=4 ですが、4は表の内側ではないので不適

 28点 → 28÷4=7 ですが、7は表の内側ではないので不適

 272点 → 272÷4=68

 284点 → 284÷4=71 ですが、71は表のハシなので不適

 64点 → 64÷4=16

 124点 → 124÷4=31 ですが、31は表のハシなので不適

 184点 → 184÷4=46

 244点 → 244÷4=61 ですが、61は表のハシなので不適

以上より、得点が同じになる整数の組み合せは、

 (8と11)、(90と93)、(68と94)、(16と21)、(46と61

の5組になります。

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