規則性を見つけていく名作問題（学習院女子中等科 2014年）

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上の図１のように １から１００までの整数が書かれた表があります。

数を１つ選んだら、下の図２のように表のその数の上下左右の数の和が得点になります。

表のハシやカドの数を選んだときには、上下左右のうち表にある数の和だけが得点になります。このとき、次の問に答えなさい。

　

（１）３５ 、４０ を選んだときの得点をそれぞれ求めなさい。

（２）得点が最大になる数を求めなさい。

（３）８と１１は得点が同じになります。

このように、得点が同じになる数の組み合せをすべて求めなさい。

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（１）３５の場合、２５＋３４＋３６＋４５　なのですが、

２５と４５の平均が３５、３４と３６の平均が３５ なので、

２５，３４，３６，４５の平均は ３５ です。

よって、３５の場合の得点は、３５×４＝１４０点。

４０の場合、３０＋３９＋５０ ですが、３０と５０の平均が４０、

３９＝４０－１　なので、４０の場合の得点は、

　　　４０×３－１＝１１９点

となります。

（２）選ぶ整数が表の右下にいくほど得点は大きくなります。

ただし、（１）より、ハシは得点が下がることがわかるので、

得点が最大になるのは、８９を選んだときです。

（３）表の内側の整数□（３５など）を選んだときの得点は、

（１）より、□×４ （４の倍数）となるので、

内側どうしでは同じ組み合わせは一つもありません。

同じになる場合は必ず上下左右の数が入ってきます。

表の上の一列（２～９）の整数△を選んだときの得点は、

△×３＋１０　と表すことができ、

１６，１９，２２，２５，２８，３１，３４，３７　です。

表の下の一列（９２～９９）の整数▲を選んだときの得点は、

▲×３－１０　と表すことができ、

２６６，２６９，２７２，２７５，２７８，２８１，２８４，２８７　です。

表の左の一行（１１，２１，・・・，８１）の整数☆を選んだときの得点は、

☆×３＋１ と表すことができ、

３４，６４，９４，１２４，１５４，１８４，２１４，２４４　です。

表の右の一行（２０，３０，・・・，９０）の整数★を選んだときの得点は、

★×３－１ と表すことができ、

５９，８９，１１９，１４９，１７９，２０９，２３９，２６９　です。

４つのカドの数の得点は、

１　・・・　１３点、１０　・・・　２９点、９１　・・・　１７３点、１００　・・・　１８９点　です。

これら ３６個の得点のうち、同じ点数になるのは、

２６９点になる ９３と９０　と　３４点になる ８と１１のときです。

上の３６個の得点のうち、内側と同じになるのは４の倍数なので、

　１６点　→　１６÷４＝４ ですが、４は表の内側ではないので不適

　２８点　→　２８÷４＝７ ですが、７は表の内側ではないので不適

　２７２点　→　２７２÷４＝６８

　２８４点　→　２８４÷４＝７１　ですが、７１は表のハシなので不適

　６４点　→　６４÷４＝１６

　１２４点　→　１２４÷４＝３１　ですが、３１は表のハシなので不適

　１８４点　→　１８４÷４＝４６

　２４４点　→　２４４÷４＝６１　ですが、６１は表のハシなので不適

以上より、得点が同じになる整数の組み合せは、

　（８と１１）、（９０と９３）、（６８と９４）、（１６と２１）、（４６と６１）

の５組になります。

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