グラフに見る面積変化は?(豊島岡女子学園中学 2014年)
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上の図1のように平行四辺形ABCD があり、その中にある点をO とします。
点P は平行四辺形ABCD の辺の上を点A から出発し、
4秒後に点B,9秒後に点C、その後、点D,点A の順に一定の速さで一周し、
2点O と P をまっすぐに結んだ線が通過した部分に色がついていきます。
下の図2は、色のついた部分の面積と時間の関係を表すグラフです。
このとき、次の問に答えなさい。
(1)図2の □ にあてはまる数を求めなさい。
(2)下の図3のように、点O から辺CD に垂直な線を引き、この線と辺CD が交わる点を H とします。また、点O から辺AD に垂直な線を引き、この線と辺AD が交わる点を I とします。このとき、OH : O I を求めなさい。
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(1)グラフの4秒、9秒、13秒、18秒の地点は、
点P が それぞれの頂点に着いたときを表しています。
まず、平行四辺形は、下の図4のように 4つの部分に分けることができます。
グラフより、三角形OAB=100c㎡、三角形OBC=120c㎡、
三角形OCD=80c㎡ ということがわかります。
次に、三角形OAB と三角形OCD は、
下の図5のように等積変形することができるので、
2つを合わせた面積である、100+80=180c㎡ が三角形ABC の面積と等しく、
平行四辺形の半分の面積なので、
この平行四辺形の面積は、180×2=360c㎡ とわかり、
図2のグラフの □ には、360 が入ります。
(2)三角形OAD の面積は 60c㎡ 、三角形OCD の面積は 80c㎡ です。
CDの長さ : ADの長さ = 【4】 : 【5】 なので、
【4】×OH÷2 : 【5】×O I ÷2 =80 : 60 より、
OH=【40】、O I =【24】 となり、
OH : O I = 40 : 24 = 5 : 3
と求められます。
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