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2014年10月22日 (水)

グラフに見る面積変化は?(豊島岡女子学園中学 2014年)

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Pic_4039q

 

上の図1のように平行四辺形ABCD があり、その中にある点をO とします。

点P は平行四辺形ABCD の辺の上を点A から出発し、

4秒後に点B,9秒後に点C、その後、点D,点A の順に一定の速さで一周し、

2点O と P をまっすぐに結んだ線が通過した部分に色がついていきます。

下の図2は、色のついた部分の面積と時間の関係を表すグラフです。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4040q

(1)図2の □ にあてはまる数を求めなさい。

 

(2)下の図3のように、点O から辺CD に垂直な線を引き、この線と辺CD が交わる点を H とします。また、点O から辺AD に垂直な線を引き、この線と辺AD が交わる点を I とします。このとき、OH : O I を求めなさい。

Pic_4041q

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(1)グラフの4秒、9秒、13秒、18秒の地点は、

点P が それぞれの頂点に着いたときを表しています。

まず、平行四辺形は、下の図4のように 4つの部分に分けることができます。

Pic_4042a

グラフより、三角形OAB=100c㎡、三角形OBC=120c㎡、

三角形OCD=80c㎡ ということがわかります。

次に、三角形OAB と三角形OCD は、

下の図5のように等積変形することができるので、

 

Pic_4043a

2つを合わせた面積である、100+80=180c㎡ が三角形ABC の面積と等しく、

平行四辺形の半分の面積なので、

この平行四辺形の面積は、180×2=360c㎡ とわかり、

図2のグラフの □ には、360 が入ります。

(2)三角形OAD の面積は 60c㎡ 、三角形OCD の面積は 80c㎡ です。

CDの長さ : ADの長さ = 【4】 : 【5】 なので、

【4】×OH÷2 : 【5】×O I ÷2 =80 : 60 より、

OH=【40】、O I =【24】 となり、

OH : O I = 40 : 24 = 5 : 3

と求められます。

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