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2014年10月 6日 (月)

この立体の切り口は?難問に挑戦!(立教新座中学 2013年)

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1辺の長さが 3cmの立方体 3つを使い、

面と面をはり合わせて下の図1のような立体を作り、

すべての表面に色をぬりました。

この立体を頂点ア、イ、ウを通る平面で切断するとき、

次の問に答えなさい。

なお、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められます。

必要ならば図2の展開図を利用しなさい。

 Pic_3676q

(1)立体の断面となる図形の頂点の個数を答えなさい。

(2)切断されてできた2つの立体のうち、頂点エを含む立体について、

  次の問に答えなさい。

① 色のぬられている部分の面積を求めなさい。

② 体積を求めなさい。

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(1)図1の立体に切り口の線を描きいれていきいます。

まず、頂点イ、ウは同一平面上にあるので、

その線と平行な線を頂点アから引くと、下の図3の赤線のようになり、

ウと同一平面上の点オまで引きます。

Pic_3677a

ウとオは同一平面上にあるので、

図3のように切り口を青線で表すことができます。

すると、下の図4の 点カ を切り口が通ることがわかります。

 Pic_3678a

直線アカ と平行な線をイ、ウから引くと、カ~キは2cm、ア~キは6cm なので、

下の図5のようにイ~ク、ウ~ケ(エ~クは2cm)の切り口の線を引くことができます。

 Pic_3679a

最後に、ア~ク、イ~ケを引いて切り口の図形が完成し、

頂点の数は 6個 とわかります。

(2)①切り口を図2の展開図に描きこむと、下の図6のようになります。

 Pic_3680a

頂点エを含む立体の色のついた部分の面積は、

黄色い部分 : 3×3×3=27c㎡

緑の部分   : 台形アウイア’-三角形イウケ

        =(6+24)×3÷2-6×1÷2

        =42c㎡

を合わせて、27+42=69c㎡ と求められます。

(2)② 下の図7のように、コ~タの点をとります。

 Pic_3681a

立体を、左側の立方体が2段の直方体と、右側の立方体に分けて、

切断四角柱として体積を求めます。

左側の直方体は、面アエタコを底面と考えると、高さの平均は

 (3+2+1+0)÷4=1.5cm

なので、エを含む側の体積は、

 3×6×1.5=27c㎥

と求められます。

右側の立方体は、面キコサシを底面と考えると、高さの平均は

 (1+2+2+3)÷4=2cm

なので、エを含む側の体積は、

 3×3×2=18c㎥

と求められます。

よって、頂点エを含む体積は、

 27+18=45c㎥

となります。

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