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2014年10月14日 (火)

ちょっと難しいカード配りの論理問題(東海中学 2011年)

11,12,13 の数字が書かれたカードが、それぞれ  4枚ずつあります。

この12枚のカードをA君、B君、C君の3人に 4枚ずつ配ります。

持っている 4枚のカードに書かれた数字の和を得点① とし、

得点①  の約数の個数を得点② とします。

初めに配ったとき、得点① は全員同じで、B君のカードは  4枚とも同じ数字でした。

111213

(1)3人のカードを1枚ずつ集めて配り直したところ、

A君とB君の得点② の差が  7点でした。C君の得点② は何点ですか?

(2)(1)の配り直されたカードを元にもどし、

3人のカードを2枚ずつ集めて配り直したところ、

3人の得点①  がすべて異なり、得点② の最高点は 4点でした。

3人の得点① を小さい順に書いてください。

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(1)3人の得点① が同じになるのは、B君が4枚とも【12】の

カードを持っているときです。

(11×4=44、13×4=52 では、

他の2人がどのようなカードを配られても同じ点数にはできない)

A君、C君のカードは、(11,11,13,13)になり、

3人の得点①は、48点です。

カードを1枚配りなおしたとき、

A君、C君 → 46点、47点、48点、49点、50点

B君 → 47点、48点、49点

になる可能性があります。

46~50について、得点②を考えると、

46 ・・・ 4点  47 ・・・ 2点  48 ・・・ 10点

49 ・・・ 3点  50 ・・・ 6点

となるので、差が7点となるのは、

A君 ・・・ 48 、B君 ・・・ 49 、 C君 ・・・ 47

A君 ・・・ 49 、B君 ・・・ 48 、 C君 ・・・ 47

の2通りが考えられます。

どちらの場合も、C君は得点①が47になり、

C君の得点②は2点 とわかります。

(2)3人のカードは、

    A君 : 11,11,13,13 合計48点

    B君 : 12,12,12,12 合計48点

    C君 : 11,11,13,13 合計48点

となっていて、ここから2枚ずつ集めて配りなおし、

3人とも合計点が異なり、得点②の最高点が4点になります。

A君とC君がとることが可能な点数①は、

52点(2枚の11が13になる)から44点(2枚の13が11になる)

B君がとることが可能な点数①は、

50点(2枚の12が13になる)から46点(2枚の12が11になる)

となります。

44~52について、得点②を考えると、

 44 ・・・ 6点  45 ・・・ 6点   46 ・・・ 4点

 47 ・・・ 2点  48 ・・・ 10点  49 ・・・ 3点

 50 ・・・ 6点  51 ・・・ 4点   52 ・・・ 6点

なので、得点②の最高が4点なので、3人がとることが可能な

点数は、46,47,49,51 のどれかになります。

3人の合計点が144点で、平均が48点であることから、

48点を中心に考えると、

1人が51点のとき、残りの2人は、47点、46点で平均48点(○)

1人が49点のとき、

残り2枚のカードで平均48点にはできないので不適当(×)

したがって、3人がとることができる得点①は、小さい順に

46点、47点、51点

となる1通りのみとなります。

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