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2014年10月10日 (金)

 赤玉と白玉は何個?(金蘭千里中学 2010年)

箱の中に赤玉と白玉が個数の比 3 : 2 で入っています。

次の問に答えなさい。

(1)箱の中の合計が 31個以下であるとき、玉をいくつか取り出すと、箱に残った赤玉と白玉の個数の比が 2 : 3 になりました。このとき、赤玉、白玉の取り出し方は何通り考えられますか。

(2)箱の中から赤玉をいくつか取り出し、その倍の個数だけ白玉を箱に入れると、箱の中の赤玉と白玉の個数の比が 2 : 7 になりました。はじめに箱の中には合計何個の玉がありましたか。考えられる最も少ない個数を答えなさい。

Girl307747_150

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(1)箱に 3 : 2 で玉が入っているということは、玉の総数は5の倍数ということです。

31個以下の個数のとき、

30個、25個、20個、15個、10個、5個が考えられます。

また、玉を取り出したあとの個数の比が2 : 3 なので、

やはり玉の総数は 5の倍数です。

最初の玉の総数が30個(赤18、白12)のとき、

 25個(赤10、白15) → なれない

 20個(赤8、白12) → ○

 15個(赤6、白9) → ○ 10個→○、5個→○

最初の玉の総数が25個(赤15、白10)のとき、

 20個(赤8、白12) → ×

 15個、10個、5個 → ○

最初の玉の総数が20個(赤12、白8)のとき、

 15個 → ×

 10個、5個 → ○

最初の玉の総数が15個(赤9、白6)のとき、

 10個(赤4、白6)→ ○、5個→○

最初の玉の総数が10個(赤6、白4)のとき、

 5個(赤2、白3) → ○

最初の玉の総数が5個のときは成り立ちません。

以上より、玉の取り出し方は 12通り が考えられます。

(2)玉の移動のイメージは、下の図1のようになります。

      Pic_4028a

図1には、【 】で表した比と、○で表した比の2つが存在します。

この2つの比を合わせなければなりません。

そこで、下の図2のように、赤玉の ②+黄色い部分=【3】を利用するために、

勝手に 白玉の方に ② を加えます。

   Pic_4029a

白玉には、黄色い部分が 2つあるので、下の図3のように②を2つ加えると、

 Pic_4030a

【8】=⑪ ということがわかります。

8 と 11 の最小公倍数は、88 なので、下の図4のように比を合わせることが出来ます。

 Pic_4031a

図4よりも小さい数にはできないので、

はじめにあった個数として考えられる最も少ない個数は、

33+22=55個 です。

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