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2014年10月23日 (木)

最短ルートは?(栄光学園中学 2005年、大阪桐蔭中学 2010年)

下の図のように、

1辺の長さ10cmの正三角形4面で囲まれた立体OABCがあります。

辺ACのまん中の点をMとし、辺OB、OC 上にそれぞれ点P,Qをとり、

図のように直線AP,PQ,QMを 結びます。

直線AP,PQ,QMの長さの和が最小になるとき、

AP:PQ:QMの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

  Pic_1632q

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立体OABCの展開図を下の図1のように描くと、

AP+PQ+QMの和が最小になるのは、AMが直線となる青線のときとわかります。

Pic_1633a_2

図1のとき、OBとA’Cが平行なので、三角形APOと三角形AMA’が相似になり、

AO=OA’ より相似比は1:2、

AP:AM =1:2 ということで、AP:PM=1:1

次に、PQ:QMは、下の図2のように三角形OPQとCMQが

相似であることから、

Pic_1634a

OP:CM=OP:A’M=1:2 より、

PQ:QM=1:2 とわかります。

よって、比をそろえると、AP:PQ:QM=3:1:2 となります。

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