最短ルートは？（栄光学園中学 2005年、大阪桐蔭中学 2010年）

下の図のように、

１辺の長さ１０ｃｍの正三角形４面で囲まれた立体ＯＡＢＣがあります。

辺ＡＣのまん中の点をＭとし、辺ＯＢ、ＯＣ 上にそれぞれ点Ｐ，Ｑをとり、

図のように直線ＡＰ，ＰＱ，ＱＭを 結びます。

直線ＡＰ，ＰＱ，ＱＭの長さの和が最小になるとき、

ＡＰ：ＰＱ：ＱＭの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

　　

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立体ＯＡＢＣの展開図を下の図１のように描くと、

ＡＰ＋ＰＱ＋ＱＭの和が最小になるのは、ＡＭが直線となる青線のときとわかります。

図１のとき、ＯＢとＡ’Ｃが平行なので、三角形ＡＰＯと三角形ＡＭＡ’が相似になり、

ＡＯ＝ＯＡ’ より相似比は１：２、

ＡＰ：ＡＭ ＝１：２ ということで、ＡＰ：ＰＭ＝１：１

次に、ＰＱ：ＱＭは、下の図２のように三角形ＯＰＱとＣＭＱが

相似であることから、

ＯＰ：ＣＭ＝ＯＰ：Ａ’Ｍ＝１：２ より、

ＰＱ：ＱＭ＝１：２ とわかります。

よって、比をそろえると、ＡＰ：ＰＱ：ＱＭ＝３：１：２ となります。

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