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2014年9月 3日 (水)

いちばん最初に書いた数字は?(2012年算数オリンピック、ファイナル問題より)

次のようなルールで黒板に数字を書いていきます。

ルール:黒板に書いてある数字の和に、

      書いてある数字の個数を足した数字を黒板に書き加える。

例えば、最初に黒板に10を書いたとします。

すると、次に書く数字は10+1=11、

その次に書く数字は10+11+2=23 となります。

いま、黒板に数字を書いていったところ727が黒板に現れました。

このとき、黒板に一番最初に書いた整数を答えてください。

Apf0107s_2

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規則性を調べてみます。

最初が1だと、次が1+1=2、3番目が1+2+2=5、

1、2、5、11、23、47、・・・・・・

3番目からは、前の数字×2+1 になっていることがわかります。

したがって、727の前は(727-1)÷2=363、

その前は、(363-1)÷2=181、

その前は、(181-1)÷2=90

その前をこの規則性で計算すると小数になってしまうので、

整数のいちばん最初は、90-1=89 になります。

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