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2014年9月30日 (火)

仕切りの高さは何cm?(2010年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から)

図のような、内部に厚さの無視できる

2つの仕切りが入った水そうがあります。

2つの仕切りは水そうの側面と平行な長方形の形をしています。

Aの部分とCの部分に、それぞれ毎秒100立方cmの速さで

同時に水を注ぎます。

Bの部分の水の深さを測定したところ、

水を注ぎ始めてから50秒後には7cm、

100秒後には29cmでした。

仕切りの高さをそれぞれ求めなさい。

ただし、図は正確であるとは限りません。

1_2

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毎秒100立方cmの注水だと、

10×20=200c㎡の平面では、

1秒間に100÷200=0.5cm水面が高くなっていきます。

50秒では50×0.5=25cmですが、

もし、2つの仕切りの高さが25cmよりも高いとすると、

A、Cにたまる水の高さは25cmで、Bには水が入ってこないはずです。

しかし、実際にはBには7cmの水が入っています。

これは、少なくとも1つの仕切りが25cmより低いためです。

次に、両方の仕切りが25cmより低いとします。

100秒後にはBに29cmの水が入っているので、

両方の仕切りの高さをこえています。

つまり、A、B、Cのすべての部分に水が29cm入っているはずで、

水の量は30×20×29=17400立方cmとなります。

しかし実際に注がれる水の量は、

それを上回る100×2×100=20000立方cmになります。

つまり、2つの仕切りのうち、片方は29cmより高いことがわかります。

100秒後に入っている水の高さは、A、B、Cの部分合わせて100cmです。

今、B、Cにはそれぞれ29cm水が入っているので、

Aの部分には100-29×2=42cm水が入っていることがわかります。

同様に、50秒後にはBとCの部分に合わせて25cmの水が入っているはずです。

Bの部分には7cmの水が入っています。

よって、Cの部分には25-7=18cmの水が入っていることになります。

以上より、仕切りの高さは42cmと18cmとわかります。

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