仕切りの高さは何ｃｍ？（２０１０年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から）

図のような、内部に厚さの無視できる

２つの仕切りが入った水そうがあります。

２つの仕切りは水そうの側面と平行な長方形の形をしています。

Ａの部分とＣの部分に、それぞれ毎秒100立方cmの速さで

同時に水を注ぎます。

Ｂの部分の水の深さを測定したところ、

水を注ぎ始めてから50秒後には7cm、

100秒後には29cmでした。

仕切りの高さをそれぞれ求めなさい。

ただし、図は正確であるとは限りません。

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毎秒１００立方ｃｍの注水だと、

１０×２０＝２００ｃ㎡の平面では、

１秒間に１００÷２００＝０．５ｃｍ水面が高くなっていきます。

５０秒では５０×０．５＝２５ｃｍですが、

もし、２つの仕切りの高さが２５cmよりも高いとすると、

Ａ、Ｃにたまる水の高さは２５ｃｍで、Ｂには水が入ってこないはずです。

しかし、実際にはＢには７ｃｍの水が入っています。

これは、少なくとも１つの仕切りが２５cmより低いためです。

次に、両方の仕切りが２５cmより低いとします。

１００秒後にはＢに２９cmの水が入っているので、

両方の仕切りの高さをこえています。

つまり、Ａ、Ｂ、Ｃのすべての部分に水が２９cm入っているはずで、

水の量は３０×２０×２９＝１７４００立方ｃｍとなります。

しかし実際に注がれる水の量は、

それを上回る１００×２×１００＝２００００立方ｃｍになります。

つまり、２つの仕切りのうち、片方は２９cmより高いことがわかります。

１００秒後に入っている水の高さは、Ａ、Ｂ、Ｃの部分合わせて１００cmです。

今、Ｂ、Ｃにはそれぞれ２９cm水が入っているので、

Ａの部分には１００－２９×２＝４２cm水が入っていることがわかります。

同様に、５０秒後にはＢとＣの部分に合わせて２５cmの水が入っているはずです。

Ｂの部分には７ｃｍの水が入っています。

よって、Ｃの部分には２５－７＝１８cmの水が入っていることになります。

以上より、仕切りの高さは４２cmと１８cmとわかります。

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