残った重さは何ｇ？（２００７年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

袋の中に１ｇ～１１ｇの重さの分銅がそれぞれ１つずつ合計11個入っています。

上皿天びんを使って、次の〔操作１］と〔操作２〕を行いました。

〔操作1〕

袋の中から４個の分銅を取り出し、

上皿天びんの右と左の皿にそれぞれ２個ずつ乗せたらつりあいました。

〔操作2〕

操作１が終わった状態から、左の皿の２個の分銅を右の皿に移し、

新たに袋の中から６個の分銅を取り出し、左の皿に乗せたらつりあいました。

ここまでで、合計10個の分銅が使われ、袋の中には１個の分銅が残っています。

この袋に残っている分銅として考えられる重さをすべて答えてください。

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操作１でつりあったわけですから、右＝左、この重さを□ｇとすると、

その和は、□×２となり偶数です。

その和と６個の和が等しいので、

その合計は□×２×２　となり□×４　で４の倍数になります。

１～１１ｇまですべてたすと、（１＋１１）×１１÷２＝６６ｇ

したがって、残る１個を引くと４の倍数になればいいので、

６６－２＝６４

６６－６＝６０

６６－１０＝５６

つまり、２ｇ、６ｇ、１０ｇです。

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