正答率1%以下の超難問!(2008年、算数オリンピック、ファイナル問題から)
三角形ABCにおいて
BC=30cm、角A=127.5度、角C=37.5度で、
辺AB上にAM=BMとなる点Mを、
辺BC上にAM=MPとなる点Pをそれぞれとるとき、
四角形AMPCの面積を求めなさい。
この問題には図が入っていません!
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図1のように、AとPを結び、角度を書きこんでみます。
角MBP=180 - (127.5+37.5)=15°
三角形MBPは二等辺三角形なので、角MPB=角MBP=15°
三角形の外角の性質より、角AMP=15×2=30°
三角形AMPは二等辺三角形なので、角MAP=角MPA=(180-30)÷2=75°
また、角APC=180 - (15+75)=90°
角PAC=127.5-75=52.5゜
次に、図2のように、三角形APCをACを軸として折り返し、三角形AQCを作ります。
点Aに集まる角度の和は75+52.5×2=180°ですから、
3点B、A、Qが一直線上に並び、直角三角形QBCができます。
ここで、三角形AMPの面積をア、三角形APCの面積をイとします。
祈り返しにより、三角形AQC=三角形APC=イとなります。
三角形MBPは、三角形AMPと底辺がAM=MBで等しく、
高さは共通なので面積は等しくなるので、アと表せます。
四角形AMPCの面積はア+イなので、
三角形QBC=(ア+イ)×2の半分が求める答えになります。
ここで、図3のように、
三角形QBCと合同な三角形QBDをBQを軸に描きます。
三角形DBCの面積を考えてみます。
三角形DBCは、DB=BC=30cm、角DBC=15×2=30°と、
二等辺三角形なります。
底辺をBCとした場合、高さはDHですが、
三角形DBHは正三角形の半分の形ですから、
DHの長さはDBの半分で30÷2=15cmです。
三角形DBCの面積は、30×15÷2=225c㎡
三角形QBCの面積は、225÷2=112.5c㎡
四角形AMPCの面積は、112.5÷2=56.25c㎡
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