正答率１％以下の超難問！（２００８年、算数オリンピック、ファイナル問題から）

三角形ＡＢＣにおいて

BC＝30cm、角A＝１２７．５度、角Ｃ＝３７．５度で、

辺ＡＢ上にＡＭ＝ＢＭとなる点Ｍを、

辺BC上にＡＭ＝ＭＰとなる点Ｐをそれぞれとるとき、

四角形ＡＭＰＣの面積を求めなさい。

　この問題には図が入っていません！

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図１のように、ＡとＰを結び、角度を書きこんでみます。

角MBP＝180 － (127.5＋37.5)＝15°

三角形MBPは二等辺三角形なので、角MPB＝角MBP＝15°

三角形の外角の性質より、角AMP＝15×2＝30°

三角形ＡＭＰは二等辺三角形なので、角ＭＡＰ＝角MPA＝(180－30)÷2＝75°

また、角APC＝180 － (15＋75)＝90°

角PAC＝127.5－75＝52.5゜

次に、図２のように、三角形APCをACを軸として折り返し、三角形AQCを作ります。

点Ａに集まる角度の和は75＋52.5×2＝180°ですから、

３点Ｂ、Ａ、Ｑが一直線上に並び、直角三角形QBCができます。

ここで、三角形ＡＭＰの面積をア、三角形APCの面積をイとします。

祈り返しにより、三角形AQC＝三角形APC＝イとなります。

三角形MBPは、三角形ＡＭＰと底辺がＡＭ＝ＭＢで等しく、

高さは共通なので面積は等しくなるので、アと表せます。

四角形AMPCの面積はア＋イなので、

三角形QBC＝（ア＋イ）×２の半分が求める答えになります。

ここで、図３のように、

三角形QBCと合同な三角形QBDをBQを軸に描きます。

三角形DBCの面積を考えてみます。

三角形ＤＢＣは、DB＝BC＝30cm、角DBC＝15×2＝30°と、

二等辺三角形なります。

底辺をBCとした場合、高さはＤＨですが、

三角形ＤＢＨは正三角形の半分の形ですから、

ＤＨの長さはＤＢの半分で30÷2＝15cmです。

三角形ＤＢＣの面積は、30×15÷2＝225ｃ㎡

三角形QBCの面積は、225÷2＝112.5ｃ㎡

四角形AMPCの面積は、112.5÷2＝56.25ｃ㎡

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

どう解く？中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦！

全国１５０中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題！

公式、法則、受験算数の極意

分野別６６項目へ

ママだって家庭教師！

１分で解ける算数

アニメーションでイメージをつかむ解法

パズル？おもしろ算数問題

イメージでわかる中学受験算数問題