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2014年9月18日 (木)

正答率1%以下の超難問!(2008年、算数オリンピック、ファイナル問題から)

三角形ABCにおいて

BC=30cm、角A=127.5度、角C=37.5度で、

辺AB上にAM=BMとなる点Mを、

辺BC上にAM=MPとなる点Pをそれぞれとるとき、

四角形AMPCの面積を求めなさい。

Question153729_150 この問題には図が入っていません!

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図1のように、AとPを結び、角度を書きこんでみます。

1

角MBP=180 - (127.5+37.5)=15°

三角形MBPは二等辺三角形なので、角MPB=角MBP=15°

三角形の外角の性質より、角AMP=15×2=30°

三角形AMPは二等辺三角形なので、角MAP=角MPA=(180-30)÷2=75°

また、角APC=180 - (15+75)=90°

角PAC=127.5-75=52.5゜

次に、図2のように、三角形APCをACを軸として折り返し、三角形AQCを作ります。

2

点Aに集まる角度の和は75+52.5×2=180°ですから、

3点B、A、Qが一直線上に並び、直角三角形QBCができます。

ここで、三角形AMPの面積をア、三角形APCの面積をイとします。

祈り返しにより、三角形AQC=三角形APC=イとなります。

三角形MBPは、三角形AMPと底辺がAM=MBで等しく、

高さは共通なので面積は等しくなるので、アと表せます。

四角形AMPCの面積はア+イなので、

三角形QBC=(ア+イ)×2の半分が求める答えになります。

ここで、図3のように、

三角形QBCと合同な三角形QBDをBQを軸に描きます。

3

三角形DBCの面積を考えてみます。

三角形DBCは、DB=BC=30cm、角DBC=15×2=30°と、

二等辺三角形なります。

底辺をBCとした場合、高さはDHですが、

三角形DBHは正三角形の半分の形ですから、

DHの長さはDBの半分で30÷2=15cmです。

三角形DBCの面積は、30×15÷2=225c㎡

三角形QBCの面積は、225÷2=112.5c㎡

四角形AMPCの面積は、112.5÷2=56.25c㎡

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