最少何本の線で囲めるか？（２００６年算数オリンピック、トライアル問題より）

１枚の紙の上に何個かの点があるとき、以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1）どの点も最低１個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2）線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を［区域］とよび、その個数を数えます。

たとえば６個の点があるとき、（図1）や（図2）の場合は３個、

（図3）の場合は４個の区域があることになります。

いま、１枚の紙の上に2006個の点があり、これらの点どうしをルールにしたがってまっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、最少で何本の線を引いたらよいですか。
ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

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３点で１つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にＡ点を１個加えるとします。

Ａと他の２点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を１個増やすには２本の線が必要ですが、

点Ｂのように場所に点をとれば、２本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を１本引くだけで区域をもう１個さらに増やすことができます。

そこで、まず３個の点を３本の線で結び△黄を作ります。

３個の点で１つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をＡ点のように１個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は１＋（２００６－３）＝２００４個となります。

また、線の数は、３＋２×（２００６－３）＝４００９本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を２００６個にする（２個増やす）ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で２００４個の点で区域が囲まれているとき、

点Ｂのような場所に２点加えます。

すると、区域を１つ増やすには１本線（赤線）を引けばよいので、

区域を２００６個にするには２本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、４００９＋２＝４０１１本　です。

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