いくつからいくつまで？（第４回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から）

連続する73個の整数が､小さい順にならんでいます。

これらの整数について、次のことがわかっています。

　●すべて10以上の整数である。

　●７でわりきれる数が10個含まれている。

　●11でわりきれる数が６個含まれている。

　●一番大きい数は一番小さい数でわりきれる。

このとき、連続する整数は、いくつからいくつまでですか。

考えられる組をすべてあげてください。

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一番小さい数を□とすると、一番大きい数は□＋７２　です。

□は７２を割ると割り切れる数、つまり７２の約数です。

１０以上で７２の約数は、

１２、１８、２４、３６、７２　なので、それぞれの場合を調べると、

□＝１２、□＋７２＝８４　のとき、

７の倍数は１４～８４の１１個になり不適当、

□＝１８、□＋７２＝９０　のとき、

７の倍数は２１～８４の１０個、１１の倍数は２２～８８の７個になり不適当、

□＝２４、□＋７２＝９６　のとき、

７の倍数は２８～９１の１０個、１１の倍数は３３～８８の６個で条件に合う、

□＝３６、□＋７２＝１０８　のとき、

７の倍数は４２～１０５の１０個、１１の倍数は４４～９９の６個で条件に合う、

□＝７２、□＋７２＝１４４　のとき、

７の倍数は７７～１４０の１０個、１１の倍数は７７～１４３の７個になり不適当、

したがって、２４～９６　と　３６～１０８　の２組

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