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2014年9月 7日 (日)

いくつからいくつまで?(第4回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から)

連続する73個の整数が、小さい順にならんでいます。

これらの整数について、次のことがわかっています。

 ●すべて10以上の整数である。

 ●7でわりきれる数が10個含まれている。

 ●11でわりきれる数が6個含まれている。

 ●一番大きい数は一番小さい数でわりきれる。

このとき、連続する整数は、いくつからいくつまでですか。

考えられる組をすべてあげてください。

Hpsb1101cs

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一番小さい数を□とすると、一番大きい数は□+72 です。

□は72を割ると割り切れる数、つまり72の約数です。

10以上で72の約数は、

12、18、24、36、72 なので、それぞれの場合を調べると、

□=12、□+72=84 のとき、

7の倍数は14~84の11個になり不適当、

□=18、□+72=90 のとき、

7の倍数は21~84の10個、11の倍数は22~88の7個になり不適当、

□=24、□+72=96 のとき、

7の倍数は28~91の10個、11の倍数は33~88の6個で条件に合う、

□=36、□+72=108 のとき、

7の倍数は42~105の10個、11の倍数は44~99の6個で条件に合う、

□=72、□+72=144 のとき、

7の倍数は77~140の10個、11の倍数は77~143の7個になり不適当、

したがって、24~96 と 36~108 の2組

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