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2014年9月

2014年9月30日 (火)

仕切りの高さは何cm?(2010年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から)

図のような、内部に厚さの無視できる

2つの仕切りが入った水そうがあります。

2つの仕切りは水そうの側面と平行な長方形の形をしています。

Aの部分とCの部分に、それぞれ毎秒100立方cmの速さで

同時に水を注ぎます。

Bの部分の水の深さを測定したところ、

水を注ぎ始めてから50秒後には7cm、

100秒後には29cmでした。

仕切りの高さをそれぞれ求めなさい。

ただし、図は正確であるとは限りません。

1_2

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毎秒100立方cmの注水だと、

10×20=200c㎡の平面では、

1秒間に100÷200=0.5cm水面が高くなっていきます。

50秒では50×0.5=25cmですが、

もし、2つの仕切りの高さが25cmよりも高いとすると、

A、Cにたまる水の高さは25cmで、Bには水が入ってこないはずです。

しかし、実際にはBには7cmの水が入っています。

これは、少なくとも1つの仕切りが25cmより低いためです。

次に、両方の仕切りが25cmより低いとします。

100秒後にはBに29cmの水が入っているので、

両方の仕切りの高さをこえています。

つまり、A、B、Cのすべての部分に水が29cm入っているはずで、

水の量は30×20×29=17400立方cmとなります。

しかし実際に注がれる水の量は、

それを上回る100×2×100=20000立方cmになります。

つまり、2つの仕切りのうち、片方は29cmより高いことがわかります。

100秒後に入っている水の高さは、A、B、Cの部分合わせて100cmです。

今、B、Cにはそれぞれ29cm水が入っているので、

Aの部分には100-29×2=42cm水が入っていることがわかります。

同様に、50秒後にはBとCの部分に合わせて25cmの水が入っているはずです。

Bの部分には7cmの水が入っています。

よって、Cの部分には25-7=18cmの水が入っていることになります。

以上より、仕切りの高さは42cmと18cmとわかります。

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この三角形の面積は(慶應義塾湘南藤沢中等部 2014年)

面積が24c㎡の三角形ABCの各辺を、図のように、

辺ABをBの方向に、辺BCをCの方向に、辺CAをAの方向に、

それぞれ2倍になるようにのばした点をそれぞれD、E、Fとする。

このとき、三角形DEFの面積を求めなさい。

1

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2

△黄と△緑は底辺が等しく高さが同じなので、面積が等しくなります。

(△黄+△緑)と△BDEも、

底辺が等しく高さが同じなので、面積が等しくなります。

△黄の面積を①とすると、

△黄+△緑=①+①=②=△BDE

同様に、

△黄+△水色=②=△FCE

△黄+△赤=②=△FDA

△DEF=①+②×3=⑦

=24×7=168c㎡

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2014年9月29日 (月)

ひらめき算数1分パズル、この容器何ℓ?(愛知淑徳中学2014年)

容量の3/5だけ水の入った容器があります。

この水のちょうど半分を捨て、

新しく7リットルの水を入れたところ、

容量の1/2になりました。

この容器の容量は何リットルでしょうか?

Gum10_fr02025s

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3/5の半分は、3/5×1/2=3/10

容器の半分は、5/10なので、

5/10-3/10=2/10が7リットルに相当します。

容器全体は7÷2/10=35リットル

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CとDの面積の比は?(中央大学附属中学 2010年)

長方形を下の図のように2本の直線で区切ったところ、

Aの部分とBの部分の面積の比が3:2となりました。

このとき、Cの部分とDの部分の面積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

1_2

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図のように△Aと△Bは底辺□が共通なので、

高さの比が3:2になります。

2_2

△緑と△黄が相似になるので、辺△:辺○=3:2

したがって、△B:△Cの面積比は、(2×2):(3×3)=④:⑨

△A:△B=3:2=?:④ より △A=?=⑥

△A+△C=⑥+⑨=⑮が長方形の半分なので、

四角形Dは、⑮-④=⑪

よって、C:D=⑨:⑪

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角Ⅹは何度?(中央大学附属中学 2014年)

図の台形ABCDにおいて、AB=2cm、

BC=CD=DA=1cmのとき、角Ⅹは何度ですか?

1

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3

ABの中点EとDを結ぶと、

△黄は正三角形になります。

したがって、角Ⅹは60°の1/2で30°になります。

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Shomei

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2014年9月28日 (日)

残った重さは何g?(2007年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

袋の中に1g~11gの重さの分銅がそれぞれ1つずつ合計11個入っています。

1


上皿天びんを使って、次の〔操作1]と〔操作2〕を行いました。

〔操作1〕

袋の中から4個の分銅を取り出し、

上皿天びんの右と左の皿にそれぞれ2個ずつ乗せたらつりあいました。

〔操作2〕

操作1が終わった状態から、左の皿の2個の分銅を右の皿に移し、

新たに袋の中から6個の分銅を取り出し、左の皿に乗せたらつりあいました。

ここまでで、合計10個の分銅が使われ、袋の中には1個の分銅が残っています。

この袋に残っている分銅として考えられる重さをすべて答えてください。

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操作1でつりあったわけですから、右=左、この重さを□gとすると、

その和は、□×2となり偶数です。

その和と6個の和が等しいので、

その合計は□×2×2 となり□×4 で4の倍数になります。

1~11gまですべてたすと、(1+11)×11÷2=66g

したがって、残る1個を引くと4の倍数になればいいので、

66-2=64

66-6=60

66-10=56

つまり、2g、6g、10gです。

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重なる部分の面積は?(田園調布学園中等部 2010年)

図のような位置に2つの直角二等辺三角形があります。

この位置から2つの三角形がそれぞれ図の矢印の方向に

秒速1cmで移動していくとき、

はじめから2秒後に2つの三角形が重なっている部分の面積は

何c㎡になりますか。

2211

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Bandicam_20140928_090354824_2

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2014年9月27日 (土)

灘中学、今年、2014年2日目の平面図形問題から

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図のように,長方形ABCDがあります。

点Eは辺ADを1:3の比に分けています。

また,点Fは辺BCのまん中の点です。

図の斜線部分で示した,三角形AFDと三角形BCEの共通部分の面積は,

長方形ABCDの面積の何倍ですか。

1

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2

△緑と△黄は相似で相似比は1:2なので、

面積比は、△緑:△黄=(1×1):(2×2)=①:④

△水色と△青は相似で相似比は3:2なので、

面積比は、△水色:△青=(3×3):(2×2)=⑨:④

△AFDと△BCEの面積はともに長方形の1/2

したがって、

①++斜線部分=④++斜線部分=長方形ABCDの面積の1/2

①+=④+

=③

=3/5まる

△赤は長方形の1/8 なので、

△緑=①=1/8×1/3=1/24

=9×3/5まる=27/5まる

△緑+△水色=①+27/5まる=32/5まる

=長方形ABCDの1/24×32/5まる=4/15

斜線部分=1/2-4/15=7/30 倍

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ひらめき算数1分パズル(100円は何個?)埼玉栄中学 2014年

10円玉、50円玉、100円玉がわせて46枚あります。

合計金額は2440円です。

10円玉と50円玉の枚数の比は1:3です。

100円は何個ですか。

Ilm20_aa14017sIlm20_aa14016sIlm20_aa14015s

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10円玉1個と50円玉3個で160円です。

10円の位が40円になるのは、

160円×4=640円→10円×3個+50円×9個の12個 か

160円×9=1440円→10円×9個+50円×27個の36個 の場合です。

それ以上では46個を超えてしまいます。

10円と50円が12個の場合、

2440-640=1800円→100円玉18個 では条件に合いません。

10円と50円が36個の場合、

2440-1440=1000円→100円玉10個 で条件に合います。

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賛成した人は何人?(大阪教育大学附属池田中学 2009年)

100人の生徒が、(ア)(イ)(ウ)の3つの案について話し合いました。

・ (ア)の案に賛成した人は45人でした。

・ (イ)の案に賛成した人は45人でした。

・ (ウ)の案に賛成した人は55人でした。

・ 1つの案だけに賛成した人は全部で50人でした。

・ すべての案に賛成した人は全部で15人でした。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)2つの案だけに賛成した人は何人ですか。

(2)どの案にも賛成しなかった人は何人ですか。

Hiva0117cs


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1

 

(1)ア、イ、ウの案について、

アだけ賛成の人数(黄)+アとイに賛成の人数(赤)+アとウに賛成の人数(茶)=30人

イだけ賛成の人数(緑)+アとイに賛成の人数(赤)+イとウに賛成の人数(水)=30人

ウだけ賛成の人数(青)+アとウに賛成の人数(茶)+イとウに賛成の人数(水)=40人

ということがわかります。

この、3つの式をすべて足すと、

(アだけ賛成の人数+イだけ賛成の人数+ウだけ賛成の人数)

+(アとイに賛成の人数)×2+(アとウに賛成の人数)×2

+(イとウに賛成の人数)×2 

=30+30+40=100

50人+(アとイに賛成の人数+アとウに賛成の人数+イとウに賛成の人数)×2

=100人

となるので、2つの案だけに賛成した人数は、

 (100-50)÷2=25人

とわかります。

(2)どの案にも賛成しなかった人数は、

 100-(15+50+25)=10人

とわかります。

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箱の入れ方は何通り? (市川中学 2014年)

1つの箱と、りんご、みかん、かき、ももが1個ずつあります。

 この4個の果物からいくつかを選んで、

この箱に入れる方法は何通りありますか。

ただし、箱には少なくとも1個は果物を入れることにします。

Ilm11_ad01006s

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箱に1個の果物を入れる方法は、4通りです。

箱に2個の果物を入れる方法は、6通りです。

箱に3個の果物を入れる方法は、4通りです。

箱に4個の果物を入れる方法は、1通りです。

よって、4+6+4+1=15通り の方法があります。

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2014年9月26日 (金)

□に1~7までを入れて式を!(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

下の7つの□に、1~7までの数を一つずつ入れて、正しい式にしてください。

□×□=□÷□=□+□-□

Pce022s

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1×2=6÷3=4+5-7

2×3=6÷1=4+7-5

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草がなくなるのは何日後?(大阪女学院中学 2012年)

愛子さんと望君は夏休みに、次のようなペースで学校のグラウンドの草抜きをします。愛子さんは3日間でバケツ7杯分、望君は2日間でバケツ5杯分の草抜きができます。一方、グラウンドの草は2日間でバケツ3杯分の量だけ増えます。もし、愛子さんが1人で草抜きをすると、24日間でちょうど草がなくなります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)はじめにグラウンドに生えている草は、バケツ何杯分ですか。

(2)望君1人で草抜きをすると、ちょうど何日間で草がなくなりますか。

(3)愛子さんと望君の2人で草抜きをすると、ちょうど何日間で草がなくなりますか。

(4)はじめ愛子さん1人で草抜きをし、途中から望君も参加します。始めてから15日目に草をなくすには、2人で草抜きをする日数を何日間にすればよいですか。

Sli066s

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(1)愛子さんが1人で草抜きをすると24日間で草がなくなり、

草は2日でバケツ3杯分生えるので、24日間でバケツ36杯分の草が生え、

一方愛子さんは3日でバケツ7杯分の草抜きをするので、

24日でバケツ56杯分の草抜きをしたことになります。

よって、はじめにグラウンドに生えている草は、

バケツで56-36=20杯分 です。

 

(2)望君は2日でバケツ5杯分の草抜きをできるので、

はじめにグラウンドに生えているバケツ20杯分の草は、8日で抜けますが、

8日間にバケツ12杯分の草が生えてきています。

望君が草抜きをする速さと、グラウンドに草が生える速さでは、

望君が2日でバケツ2杯分を草抜きしていく計算になります。

よって、12÷2×2+8=20日で望君は草抜きを終えます。

 

(3)愛子さんは1日でバケツ7/3杯分の草抜きをし、、

望君は1日でバケツ5/2杯分の草抜きをするので、

2人では1日で 7/3+5/2=29/6杯分の草抜きをできます。

一方、草1日でバケツ3/2杯分が生えてくるので、

2人が1日で減らしていく草の量は、29/6-3/2=10/3杯分です。

よって、2人で草抜きをしたとき、20÷10/3=6日で終わります。

 

(4)2人が合計で抜く草は、バケツ20+15×3/2=85/2杯分です。

あとは、つるかめ算です。

15日間、愛子さんだけが草抜きをしたとすると、

バケツで 7/3×15=35杯分 の草を抜けますが、

実際は、85/2杯なので、85/2-35=15/2杯分足りません。

15/2÷5/2=3日間、望君も一緒に草抜きをすれば、

15日目でちょうど草がなくなります。

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2014年9月25日 (木)

平均点から人数を推理して!(青山学院中等部 2014年)

ある中学校の1年生で10点満点のテストをしました。

問題は3題で、第1問は2点、第2問は3点、第3問は5点です。

下の表は、A組の46名の結果を表したもので、

A組の平均点が6点、第3問を正解した生徒は30名でした。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3847q

(1)表の【 ア 】、【 イ 】に入る人数を答えなさい。

(2)第1問の正解者は何人ですか。

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(1)A組全員の得点の合計は、46×6=276点です。

表にある点数の合計は、

 10×【ア】+8×6+7×11+5×9+3×6+2×4+0×【イ】

=10×【ア】+196

なので、

 10×【ア】=276-196=80

より、

 【ア】=(人)

とわかります。

 

次に、8+6+11+9+6+4+【イ】=46人 なので、

 【イ】=46-44=(人)

です。

 

 (2)下の表1のように、正解した問題がわかります。

Pic_3848a

第3問を正解した人数は、30名なので、表1の色のついた

部分の合計34名のうち、5点の4名は、第1問と第2問だけ

正解した生徒ということがわかります。

 

よって、第1問を正解した人数は、

 4+4+11+8=27(人)

です。

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1面だけ色が塗られているのは何個?

立方体を図のように26個積み上げ、

底の部分も含めて表面に色を塗りました。

1つの面だけに色が塗られた立方体はいくつありますか?

628

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図のように3個です。

Bandicam_20140925_102529028

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かげの部分の面積は?(雙葉中学 2011年)

図は、対角線の長さが10cmの正方形と、

正方形の対角線を直径とする円と、

正方形の1辺を直径とする半円を組み合わせたものです。

かげをつけた部分の面積は何c㎡ですか。円周率は3.14です。

Bandicam_20140925_091830093

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上の部分を左に、下の部分を右に移動すると、

合わせて、正方形の1辺を直径とする1つの円になります。

この円をAとして、その半径を□とすると、

正方形の面積は、2×□×2×□=4×□×□ ですが、

正方形の面積は、10×10÷2=50c㎡ なので、

4×□×□=50 となり、

□×□=12.5 です。←これは先ほどの円Aの半径×半径なので、

円Aの面積=12.5×3.14=39.25c㎡

真ん中のかげのついた三角形2つは正方形の半分で25c㎡ですから、

かげの合計=39.25+25=64.25c㎡

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2014年9月24日 (水)

オオカミなんてこわくない?

オオカミ2ひきとヒツジ4ひきをべつべつのオリに入れてあります。 いま、このあわせて6ぴきを1ぴきずつ1つの同じオリに入れたいのですが、オオカミの数がヒツジの数より多くなるとヒツジはオオカミに食べられてしまいま す(同じ数なら食べられません)。ヒツジがオオカミに食べられないようにするには、どんな順序で入れたらよいかを考えます。このような入れ方は何通りあり ますか。

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                               Ilm21_ad04009s

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動く歩道の速さと長さは?(徳島文理中学 2012年)

入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は18秒です。文理君が、この歩道を1秒間に2歩のペースで歩いたとき、歩道に乗っている時間は12秒でした。歩道の動く速さは一定で、文理君の1歩の幅は常に50cm とします。

(1)文理君が普通の道をこのペースで歩くと、12秒間で何m 歩きますか。

(2)この【動く歩道】は、6秒間で何m 動きますか。

(3)この【動く歩道】は、何m ありますか。

(4)1秒間に 3歩のペースで歩くと、【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

Hodo

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解法例

(1)1秒に2歩のペースで12秒歩くので、24歩歩くことになり、

1歩50cmなので、24×0.5m=12m とわかります。

(2)この【動く歩道】に、文理君と、立ったまま動かないA君が

同時に乗ったとすると、12秒後、文理君はA君より12m先の

【動く歩道の最後】にいて、A君は【動く歩道】に乗ったまま、

あと 6秒乗り続けて【動く歩道の最後】に着きます。

つまり、【動く歩道】は6秒で、12m 動くことがわかります。

(3)6秒で12m動くので、18秒かかる【動く歩道】は、

12×3=36m

あることがわかります。

(4)文理君が1秒に3歩で歩くと、その速さは、秒速1.5mです。

【動く歩道】は、秒速2mで動いているので、文理君が【動く歩道】に

乗ると、秒速3.5mで移動することになります。

よって、かかる時間(【動く歩道】に乗っている時間)は、

36÷3.5=72/7(秒)=10と2/7(秒)

と求められます。

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難問パズル問題に挑戦!(巣鴨中学 2012年)

ある小学校では、学年における1クラスの人数とクラス数を【1クラス35人をこえないように、できるだけ少ないクラス数にする】と決めています。たとえば、学年の児童の人数が35人であれば1クラスですが、36人であれば2クラスになります。また、各クラスの人数の差が1人以下になるようにします。この小学校の6年生が4クラスあるとき、次の問に答えなさい。

(1)6年生の児童の人数は何人以上何人以下と考えられますか。

(2)6年生の男子の人数は4の倍数だったので、各クラスの男子の人数を同じにしました。また、6年生の女子の人数は男子の人数より5人少ない人数でした。男子の1クラスあたりの人数は、何人以上何人以下と考えられますか。

(3)(2)のとき、6年生の各クラス内で、次のように班分けをしました。

(ア) 1つの班の人数は4人または5人です。

(イ) 1つの班は、男子のみまたは女子のみです。

このとき、4つのクラスで男子4人の班と女子4人の班の合計は最大で何班できると考えられますか。

Pog007s

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(1)最も多い場合は、1クラス35人いて、4クラスなので、

      4×35=140人

となります。

最も少ない場合は、3クラスは35人いて、1クラスは1人

という場合です。(3クラスとも35人になる人数なら、4クラスには

ならないので) このとき、

      3×35+1=106人

となり、児童の人数は 106人以上140人以下 とわかります。

(2)男子の人数を 4×□ とすると、女子の人数は 4×□-5

となります。

男子と女子の和は、4×□+4×□-5=8×□-5 で、

これが、106人以上140人以下なので、

8×□は、111人以上145人以下

となります。

これを満たす□は、111÷8=13あまり7

            145÷8=18あまり1

なので、□は、14以上18以下です。

よって、各クラスの男子の数は、14人以上18人以下です。

(3)男子14~18人のときの女子の数について調べてみましょう。

 男子14人のとき、女子は、14×4-5=51人

 男子15人のとき、女子は、15×4-5=55人

 男子16人のとき、女子は、59人

 男子17人のとき、女子は、63人

 男子18人のとき、女子は、67人

となるので、各クラスの男女の数は、

 ①男子14人のとき、女子は、12人が1クラス、13人が3クラス

 ②男子15人のとき、女子は、13人が1クラス、14人が3クラス

 ③男子16人のとき、女子は、14人が1クラス、15人が3クラス

 ④男子17人のとき、女子は、15人が1クラス、16人が3クラス

 ⑤男子18人のとき、女子は、16人が1クラス、17人が3クラス

となります。

 12=4+4+4   → 4人の班は3班

 13=4+4+5   → 4人の班は2班

 14=4+5+5   → 4人の班は1班

 15=5+5+5   → 4人の班は 0

 16=4+4+4+4 → 4人の班は4班

 17=4+4+4+5 → 4人の班は3班

 18=4+4+5+5 → 4人の班は2班

より、上の①~⑤のときにできる男子4人と女子4人の班の数は

 ①の場合 : 男子1×4クラス、女子3+2×3クラス 合計13班

 ②の場合 : 男子0      、女子2+1×3クラス 合計 5班

 ③の場合 : 男子4×4クラス、女子1+0       合計17班

 ④の場合 : 男子3×4クラス、女子0+4×3クラス 合計24班

 ⑤の場合 : 男子2×4クラス、女子4+3×3クラス 合計21班

となるので、4つのクラスで男子4人の班と女子4人の班の合計は

最大で 24班 となります。

調べるのに時間がかかりますね。

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最少何本の線で囲めるか?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

1枚の紙の上に何個かの点があるとき、以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1)どの点も最低1個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2)線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を[区域]とよび、その個数を数えます。

たとえば6個の点があるとき、(図1)や(図2)の場合は3個、

(図3)の場合は4個の区域があることになります。

1

いま、1枚の紙の上に2006個の点があり、これらの点どうしをルールにしたがってまっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、最少で何本の線を引いたらよいですか。
ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

2

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3点で1つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にA点を1個加えるとします。

Aと他の2点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を1個増やすには2本の線が必要ですが、

点Bのように場所に点をとれば、2本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を1本引くだけで区域をもう1個さらに増やすことができます。

そこで、まず3個の点を3本の線で結び△黄を作ります。

3個の点で1つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をA点のように1個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は1+(2006-3)=2004個となります。

また、線の数は、3+2×(2006-3)=4009本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を2006個にする(2個増やす)ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で2004個の点で区域が囲まれているとき、

点Bのような場所に2点加えます。

3

すると、区域を1つ増やすには1本線(赤線)を引けばよいので、

区域を2006個にするには2本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、4009+2=4011本 です。

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定価で販売したペンは何本?(海城中学 2014年)

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仕入れ値が1本1200円のペンを90本仕入れ,

定価を仕入れ値の180%で販売しました。

次の問いに答えなさい。ただし,消費税はかからないものとします。

(1)何本以上売れると利益を得ることができますか。

(2)定価で何本か版売しましたが,途中から定価の3割り引きで販売したところ,90本すべて売り切ることができ,利益は53352円になりました。定価で販売したペンは何本ですか。

Sta1029s

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(1)

仕入れ総額は、1200×90=108000円

定価は、1200×1.8=2160円

108000÷2160=50本 売ると仕入れ値になるので、

51本以上売ると利益がでます。

(2)

つるかめ算の面積図で考えます。

1

定価の2160円で90本売ると、2160×90=194400円

実際は、108000+53352=161352円の売り上げでした。

その差は、黄色部分の194400-161352=33048円

3割引で売った単価は2160×0.7=1512円

定価との差は、2160-1512=648円

黄色部分の面積が33048円、たての長さが648円なので、

横の長さ=3割引で売った本数=33048÷648=51本

定価で売った本数=90-51=39本

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2014年9月23日 (火)

2人が次に出会うのはいつ?(白百合学園中学 2012年)

Pic_3597q

上の図のような長方形の土地ABCD、AEFG の周囲を、

桜子さんは A → B → C → D → A → B → C → ・・・

菊子さんは A → E → F → G → A → E → F → ・・・

の順で A を同時に出発し、2人とも毎分48m の速さで歩き続けます。

2人がBで別れた後に初めて出会うのは歩き始めてから何秒後ですか。

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2人とも同じ速さで歩き続けるので、

次に出会うのはD地点ということになります。

(Dで、少しでもずれていたら出会うことはありえません)

桜子さんが周る長方形ABCD の周囲の長さは、

(60+96)×2=312m

菊子さんが周る長方形AEFG の周囲の長さは、

(160+160+96)×2=832m

です。

桜子さんが初めて D にやってくるのは、歩き始めてから

(60+96+60)÷48=4.5分後

そのときから、1周するのに、312÷48=6.5分 かかるので

桜子さんが D にやってくるのは、

4.5分後、11分後、17.5分後、・・・

となります。

菊子さんが初めて D にやってくるのは、歩き始めてから

(832-96)÷48=15と1/3分後

そのときから、1周するのに、832÷48=17と1/3分

かかるので、菊子さんが D にやってくるのは、

15と1/3分後、32と2/3分後、50分後、・・・、102分後、・・・

となります。

菊子さんは17と1/3分 周期なので、

6.5分周期の桜子さんと出会うには、

50分後か、その次は50+17と1/3分 ×3 = 102分後か、

さらに52分の倍数を加えたときとなります。

50分後に桜子さんが D にいるか確かめると、

(50-4.5)÷6.5=7

となるので、50分後に2人とも D にいることがわかります。

よって、2人が初めて出会うのは、

50×60=3000秒後

となります。

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□に入る数は?(お茶の水女子大学附属中学 2014年)

3、5、8、13、21、□、55

Apa0107s

□に入る数はいくつ?

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8からは前の2つの数の和になってますね!

3+5=8

5+8=13

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8+13=21

13+21=34=□

21+34=55

文字の並べ方は何通り?(頴明館中学 2013年)

文字を横一列に並べるときの並べ方について考えます。

たとえば、文字Aが2個とBが1個の3個の文字を並べるときの並べ方は、

AAB,ABA,BAA の3通りがあります。

Aが2個、Bが2個、Cが2個の6個の文字を横一列に並べるとき、

次の問に答えなさい。

AABBCC

(1)同じ文字がとなり合うような並べ方は何通りありますか。 

(2)同じ文字がとなり合わないような並べ方のうち、左端がAであるような並べ方をすべて書きなさい。

(3)同じ文字がとなり合わないような並べ方は何通りありますか。

 

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(1)AとAがとなり合ったものを【A】、BとBがとなり合ったものを【B】、

CとCがとなり合ったものを【C】とすると、

求める並べ方は、【A】、【B】、【C】の3個の並べ方なので、

3×2×1=6通り です。

 

(2)まず、AB で始まるものは、

ABCABC、ABCACB、ABCBAC、ABCBCA、ABACBC

次に、ACで始まるものは、

ACBABC、ACBACB、ACBCAB、ACBCBA、ACABCB

あり、合計10通りがあります。

 

(3)左端がAのものが10通りあったので、

左端がB,C のものも同様に10通りずつあるので、

全部で 10×3=30通り です。

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2014年9月22日 (月)

地球全体の森林面積は?(青山学院中等部 2014年)

日本の面積は約37.8万k㎡ですが、そのうちの約67%が森林です。

地球全体の森林面積にしめる日本の森林面積の割合を

円グラフで表すと、中心角が2°になります。

地球全体の森林面積は約何万k㎡ですか。

(笞えは上から3桁の概数で表してください)

Nat011s

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日本の森林面積は、37.8×0.67=25.326万k㎡

25.326×360/2=4558.68万k㎡

約4560万k㎡

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2014年9月21日 (日)

マッチ棒の数はいくつ?(共立女子中学 2009年)

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長方形にできる図形は?(2009年算数オリンピック、トライアル問題より)

下の二等辺三角形は、まっすぐな線で2つに切り、その2つを図のようにくっつけて長方形にすることができます。

1

では、次の6つの図形は、例のようにまっすぐな線で2つに切って、長方形にすることができるでしょうか?
できる図形には○、できない図形には×を書きなさい。

2

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3

(6)の図形はどう切っても、10°か20゜の角度が残ります。

長方形にするためには、角度をうまく組み合わせ、

180゜か90°にする必要があるので、これは不可能です。

(1)~(5)→○

(6)→×

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□は同じ1けたの整数!いくつ?(公文国際学園中等部 2011年)

(□-1)×□×(□+1)=□×35

Bo3

□は同じ1けたの整数です。いくつでしょうか?

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左辺は連続した整数の積になっています。

順番に入れて計算してみると・・・

5×6×7=6×35=210 が成り立って、

□=6

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この立体の表面積は?(早稲田実業学校中等部 2014年)

図2は、図1の立体を正面から見たときの図です。

この立体の表面積は何c㎡ですか。

円周率は3.14とします。

1

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上部の円すい部分を下に下ろすと、大きな円すいになります。

円すいの側面積は、母線×半径×3.14

円すいの表面積はこちらを参考に!

真ん中部分は円柱の側面積なので・・・

(5+5)×(3+3)×3.14+

(3+3)×(3+3)×3.14+

3×2×3.14×6

=(60+36+36)×3.14

=132×3.14

=414.48c㎡

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2014年9月20日 (土)

この筆算を完成させて!(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

下の8個の□に1~8の数字を1個ずつ入れて、

筆算を2通り完成させてください。

1_2

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8つの□に入る数字を図1のようにA~Hとします。

2
まず、積が4けたでおさまるため、A=1です。

また、0は使えないので、H=5、Dは奇数の3か7とわかります。

■D=3のとき

一の位の計算3×5より、十の位には1がくり上がりますが、

Cが偶数の場合、そのくり上がりの1がそのままGに入り、

A=G=1となってしまうので、C=7としなくてはならず、

ここで4個の奇数をすべてを使い果たしたことになります。

するとG=6となり図2のようになります。

3

さらに十の位の計算7×5から百の位には3がくり上がりますが、

ここでまたBが偶数の場合D=F=3となってしまうため、

Bを奇数にしたいのですが、

奇数をすべて使い果たしてしまっているのでできません。

このためD=3では計算を完成できません,。

■D=7のとき

一の位の計算7×5から十の位には3がくり上がります。

ここでC=3とすると,3×5=15より,G=3+5=8となります。

ところが奇数をすべて使ったためにBには偶数が入ることになり,

図3のように,百の位にくり上がった1がそのままFになるため,

A=F=1となってしまい,条件に合いません。

4
このためCには偶数が入ることがわかり,

その結果,図4のように十の位にくり上がった3がそのままGになり,

残りのB,C,E,Fにはすべて偶数が入ることになります。

ここで注意すべきことは,Eは5以上の6か8で,

B=4では,百の位の計算からのくり上がりが2でE=7になり不適当、

つまり,BとEの組み合わせは,

(B,E)=(2,6),(6,8)しがないことがわかります。

●(B,E)=(2,6)のとき

5

(C,F)=(4,8),(8,4)のうち,(8,4)の場合に図5のように筆算が成立します。

●(B,E)=(6,8)のとき

6
(C,F)=(2,4),(4,2)のうち,(4,2)の場合に図6のように筆算が成立します。

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11の倍数にしてください!

827□93

この数、□がいくつなら11の倍数になるでしょうか?

Man156549_150

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

各位の数字を一つ置きに2つのグループに分け、その数字をたします。

2つのグループの差が11か0なら元の数は11の倍数です。

例えば、

121→(1+1)-2=0     11×11=121

40249→(4+2+9)-(0+4)=11     11×3659=40249

827□93

(8+7+9)-(2+□+3)

=24-(5+□)

これが11か0になるには、

□=24-5-11=

827893÷11=75263

----------------------------------------------------

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タイルのならべ方は何通り?(慶應義塾中等部 2008年)

たて2cm,横1cmの長方形のタイルがたくさんあります。

このタイルをすきまなくならべて,たて2cm,横Xcmの長方形を作るとき,

タイルのならべ方の総数を,《X》と表すことにします。

例えば,下の図から《4》=5となります。

1

このとき、次の数はいくつになりますか?

《3》=

《5》=

《10》=

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

《3》は

III、=I、I= の3通り、

《5》は

IIIII、=III、I=II、II=I、III=、==I、=I=、I== の8通り、

《1》=1、

《2》=2、

《3》=3、

《4》=5、

《5》=8、

ここまで見ると、

次の場合の数がその前の2つの和になっていることがわかります。

したがって、

《6》=5+8=13、《7》=8+13=21、《8》=13+21=34、《9》=21+34=55、

《10》=34+55=89

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2014年9月19日 (金)

タルタリアの三角形とは?

21+22+23+24 と同じ答えを、

 

連続した5つの整数の和で表してください。

Pce022s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

16+17+18+19+20=21+22+23+24

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

これは、タルタリアの三角形と呼ばれているものの一つです。

一番左に平方数が来るのが特徴です。

16+17+18+19+20=21+22+23+24

1_3

4+17=21

4+18=22

4+19=23

4+20=24

なので、

4×4+17+18+19+20=16+17+18+19+20

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△黄の面積は?

角Bが直角の図のような直角三角形ABCがあります。

角Bを2等分する直線とACの交点をHとするとき、

△黄の面積は何c㎡ですか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように、HからAB、BCに垂線を下ろすと、

合同な直角二等辺三角形が2つできます。

2

△黄と△緑は高さが等しくなるので、

面積比は底辺の長さ比で、15:10=3:2 となります。

したがって、△黄=15×10÷2×3/5=45c㎡ です。

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ひもを3つに切ると・・・(奈良学園登美ヶ丘中学 2011年)

1本のひもをA,B,C の3つの部分に切り分けます。

Aの長さをBの長さの2倍にし、

Cの長さをAとBの長さの平均よりも8cm長くすると、

Cの長さはBの長さより23cm長くなります。

このとき、Cの長さを求めなさい。

Ilm20_ab06001sOrti076s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

Aを【2】、Bを【1】とすると、その平均は【1.5】です。

それぞれの長さは下の図1のようになり、

     Pic_4003a

23-8=15cm が 【0.5】に相当するので、C の長さは、

 15×3+8=53cm

と求められます。

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2014年9月18日 (木)

正答率1%以下の超難問!(2008年、算数オリンピック、ファイナル問題から)

三角形ABCにおいて

BC=30cm、角A=127.5度、角C=37.5度で、

辺AB上にAM=BMとなる点Mを、

辺BC上にAM=MPとなる点Pをそれぞれとるとき、

四角形AMPCの面積を求めなさい。

Question153729_150 この問題には図が入っていません!

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図1のように、AとPを結び、角度を書きこんでみます。

1

角MBP=180 - (127.5+37.5)=15°

三角形MBPは二等辺三角形なので、角MPB=角MBP=15°

三角形の外角の性質より、角AMP=15×2=30°

三角形AMPは二等辺三角形なので、角MAP=角MPA=(180-30)÷2=75°

また、角APC=180 - (15+75)=90°

角PAC=127.5-75=52.5゜

次に、図2のように、三角形APCをACを軸として折り返し、三角形AQCを作ります。

2

点Aに集まる角度の和は75+52.5×2=180°ですから、

3点B、A、Qが一直線上に並び、直角三角形QBCができます。

ここで、三角形AMPの面積をア、三角形APCの面積をイとします。

祈り返しにより、三角形AQC=三角形APC=イとなります。

三角形MBPは、三角形AMPと底辺がAM=MBで等しく、

高さは共通なので面積は等しくなるので、アと表せます。

四角形AMPCの面積はア+イなので、

三角形QBC=(ア+イ)×2の半分が求める答えになります。

ここで、図3のように、

三角形QBCと合同な三角形QBDをBQを軸に描きます。

3

三角形DBCの面積を考えてみます。

三角形DBCは、DB=BC=30cm、角DBC=15×2=30°と、

二等辺三角形なります。

底辺をBCとした場合、高さはDHですが、

三角形DBHは正三角形の半分の形ですから、

DHの長さはDBの半分で30÷2=15cmです。

三角形DBCの面積は、30×15÷2=225c㎡

三角形QBCの面積は、225÷2=112.5c㎡

四角形AMPCの面積は、112.5÷2=56.25c㎡

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生徒の人数は何人?(市川中学 2014年)

市川中学校の1年生全員が長いすに座ります。

1脚の長いすに3人ずつ座ると25人が座れず、

1脚の長いすに4人ずつ座ると、だれも座わらない長いすが18脚の残ります。

生徒の人数が5の倍数であるとき、生徒の人数は何人ですか?

Cb003cs

1

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----------------------------------------------------

4人がけの状態から3人がけにするには、

18×3+25=79人 4人座った長いすから移動しなくてはなりません。

全部のいすに4人が座っていたら、

いすは79脚ですが79×4=316人で5の倍数にはなりません。

最後のいすが3人なら、79×4+3=319人でこれも5の倍数になりません。

最後のいすが2人なら、このいすにも1人移動しなければならず、

4人がけのいすから移動する人数は79+1=80人

80×4+2=322人でこれも5の倍数になりません。

最後のいすが1人なら、このいすに2人移動しなければならず、

4人がけのいすから移動する人数は79+2=81人

81×4+1=325人で5の倍数になります。

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追い越すまでに何秒かかる?(六甲中学 2012年)

列車A が長さ549mの駅を通過するのに11秒かかりました。

また、長さ 610mのトンネルを通過するとき、

列車A の全体がトンネルにかくれていたのは8秒間でした。

長さ372m、時速288kmの列車Bが、

前を走っている列車Aに追いついてから追いこすまでに何秒かかりますか。

Toytrain154101_640

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下の図1のように、

駅を出た直後にトンネルに入ったとする(駅とトンネルを合体させる)と、

Pic_4002a

列車A の先頭は、1159m を19秒で移動したことになり、

列車A の速さは、1159÷19=61m/秒 とわかります。

列車A の長さは、11×61=671m より、671-549=122m とわかります。

列車B の速さは、

 時速288km=秒速288000÷60÷60=80m/秒

なので、列車B が列車A に追いついてから追いこすまでにかかる時間は、

 (122+372)÷(80-61)=494÷19=26秒

と求められます。

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2014年9月17日 (水)

1万角形の対角線は何本?(第30回高校生クイズより)

1万角形の対角線は何本?

943

30角形でこの数ですからね。

でも、小学生だって解けますよ!

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Bandicam_20140917_091058304

Bandicam_20140917_091115557

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暗算で!(桜美林中学 2014年)

17×14+14×15+15×16+16×17=

Pce022s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

17×(14+16)+15×(14+16)

=17×30+15×30

=(17+15)×30

=32×30

=960

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求積の工夫はどこに?(豊島岡女子学園中学 2011年)

半径3cmの円の周を12等分したところに点をとり、

点を図のように線で結びます。

このとき、色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

1

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Bandicam_20140917_081155903 Bandicam_20140917_081236888 Bandicam_20140917_081251383 Bandicam_20140917_081257894

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三角形ABCの面積は?(武蔵中学 2009年)

ややムズレベル

直角二等辺三角形ABCの各頂点が、

図のように平行な線①、②、③の上にあります。

このとき①と②の間は5cm、②と③の間は3cmでした。

線②とACの交点をDとしたとき、三角形ABCの面積を求めなさい。

 

Mon

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

Bandicam_20140917_074546998Bandicam_20140917_074546998_2

Bandicam_20140917_074604716Bandicam_20140917_074613440

Bandicam_20140917_074616790 Bandicam_20140917_074626243 Bandicam_20140917_074641288 

Bandicam_20140917_074658390

Bandicam_20140917_074711933

Bandicam_20140917_074731007

Bandicam_20140917_074738427

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3点の位置関係は? (栄光学園中学 2009年)

下の図のように、1辺の長さが1cmの正三角形ABCがあります。

その周上には左回りにグルグル回る3つの点P,Q,R があり、

点Pは毎秒11/6cm、点Qは毎秒14/9cm、点Rは毎秒1cmの速さで動きます。

いま、点Pは頂点Aから、点Qは頂点Bから、点Rは頂点Cから同時にスタートしました

次の問に答えなさい。

     Pic_3995q_2

(1)3点P,Q,Rを結んでも三角形にならない場合があります。初めてそのような場合になるのは、スタートしてから何秒後ですか。

(2)スタートしてから次に3点ともはじめの頂点(点PはA,点QはB,点RはC)に戻るのは何秒後ですか。

(3)スタートしてから最初に三角形PQRが正三角形になるのは何秒後ですか。ただし、3点P,Q,Rのいずれも頂点A,B,Cにない場合とします。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)3点を結んでも三角形にならないのは、3点が同じ辺上にあるときです。

Pは、 1÷11/6=6/11秒 で次の頂点に着き、

Qは、 1÷14/9=9/14秒 で次の頂点に着き、

Rは、 1秒 で次の頂点に着きます。 

それぞれの点が各頂点に何秒後に着くのかを表にすると、下の図1のようになり、

     Pic_3996a_2

黄色のところに注目すると、点Pが頂点Aに着いたとき(18/11秒後) には、

点Q、R は共に辺AB上にいることがわかります。

よって、初めてP,Q,Rを結んでも三角形を作ることができなくなるのは、

点P が頂点Aに着いた18/11=1と7/11秒後です。

 

 

(2)図1より、点Pは18/11秒ごとに点Aに戻り、

点Qは27/14秒ごとに点Bに戻り、点Rは3秒ごとに点Cに戻るということがわかります。

 

よって、求めるのは、18/11、27/14、3 の最小公倍数です。

まず、下の図2のように、18/11 と 27/14 の最小公倍数は、

        Pic_3997a

1/11×1/14×3×3×28×33=54 と求められます。

次に、3と54の最小公倍数は、54 なので、

3つの点が初めて共に最初の頂点に戻るのは、54秒後 とわかります。

 

(3)三角形PQRが正三角形になるのは、

P,Q,R がそれぞれ1cmずつ離れているときです。

点P と点R は最初2cm離れているので、点Pが点Rの1cm後方になるのは、

 1÷(11/6-1)=6/5秒後 です。

点P と点R が重なるのは、2÷(11/6-1)=12/5秒後 で、

点Pが点R の1cm前方になるのは、18/5秒後 です。

以後同様に続きます。

点Q は点R の1cm後方にいて、点Qが点Rの1cm前方になるのは、

2÷(14/9-1)=18/5秒後 です。

2回目に点Qが点Rの1cm後方になるのは、

 3÷(14/9-1)=27/5秒後です。

以後同様に続きます。

まとめると、下の図3のようになり、

  Pic_3998a

三角形PQR は、54/5=10.8秒後 に初めて正三角形となることがわかります。

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2014年9月16日 (火)

3つと2つの帽子問題の推理法

3人で100m競争をします。白い帽子が3つ、赤い帽子が2つあることを3人に教えてから、3人の後ろから本人にはわからないように帽子をかぶせました。3人は他の2人の帽子の色はわかりますが、自分の色は見えません。自分の帽子の色が白ならスタートしてもよいことにします。ただし赤い帽子なのにスタートしたら失格です。

帽子をかぶせられた3人はしばらく考えていましたが、同時にスタートしました。どうして自分の帽子が白だとわかったのでしょうか?

1_2

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まず、2人が赤なら、もう一人はただちにスタートするはずなのに、

だれもスタートしなかったので、その可能性はありません。

自分の帽子が赤だと仮定してみます。

すると、他の2人のどちらかは、もう1人がただちにスタートしないことから、

自分の帽子は白なのだ、と気づいてスタートするはずです。

しかし、2人ともスタートしないので、

自分の帽子は白に違いない、と、3人が同時にこのことに気づいて、

一斉にスタートをきったわけです。

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角アは何度?(多摩大学目黒中学 2014年)

下の図のように2本の平行線があるとき、

角アは何度ですか。

1_2

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2_2

2本の平行線を書いてみると、

□=16°

△=30°-16°=14°

○=28° 

角ア=○+△=28°+14°=42°

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英知知恵はどんな4桁の数?(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

下の漢字1字はそれぞれ1けたの整数を表し、

同じ漢字は同じ数字を表していて、それぞれは異なる数です。

「英知知恵」の4けたの数を求めなさい。

1

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知=0です。

学=3、恵=7とすると

①算数数3×7=□数数1より、算=1

数は1、3以外なので、数=2か4

1223×7=8561 → 条件に合いません。

1443×7=10101 → 条件に合いません。

以上から、学=3、恵=7ではありません。

②学=7、恵=3とすると、

算数数7×3=□数数1より

算=1または2

(1)1数数7×3=□数数1とすると、

積の百の位=十の位=数となるのは、数=9のときだけです。
2
ここで、7×英+5の一の位が9になるとき、英=2です。

これは、条件に合います。

(2)2数数7×3=□数数1とすると積の百の位=十の位=数となるのは、

数=9のときだけです。
3
英は2、3以外なので英=1となりますが、

このとき2997×1003=3005991となり、条件に合いません。

以上から、英知知恵=2003とわかります。

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第4問ー(白陵中学 2010年)


市場から仕入れたホウレン草に売値をつけました。仕入れ値の3割増しで売値をつけたつもりが、売値の3割が利益となるように売値をつけてしまいました。その結果、売値が予定より27円高くなってしまいました。仕入れ値はいくらですか。

1

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Bandicam_20140916_083237212

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第1問ー(栄東中学、東大クラス選抜 2010年)

2つの数の積について、A~Eの5つの式が成り立ちます。このとき★に入る数を求めなさい。ただし、同じ記号には同じ数が入ります。

bandicam 2014-09-16 08-24-11-652

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Bandicam_20140916_082429369

Bandicam_20140916_082442233

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2014年9月15日 (月)

今年、2014年の東大寺学園中学、1番(1)を計算して!

□×27×37+11×12×13×14=48000

Pce022s

□に入る数は?

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

□×27×37+11×12×13×14=48000

48000は12の倍数

48000=12×2×2000

11×12×13×14=12×2×7×11×13

48000-11×12×13×14=

24×(2000-1001)=24×999

□×27×37=□×999 なので、

□=24

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斜線部分の周りの長さは?(香蘭女学校中等科 2011年)

下の図は、2種類の大きさのおうぎ形をそれぞれ2つずつと、

長方形を組み合わせたものです。

斜線部分のまわりの長さの合計何cmですか。

ただし、円周率は3.14とします。

1

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----------------------------------------------------

図の部分を矢印の部分に移動すると、

2つのおうぎ形の弧の部分と、

(10-8)×2=4cmの直線の合計になります。

2

(10×2+8×2)×3.14÷4+4=32.26cm

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2014年9月14日 (日)

にせコインはどれだ?

9枚のコインがあります。この中に1枚だけ、にせコインが混ざっています。にせコインは本物より軽いことがわかっています。はかりを2回だけ使ってどれが偽物だか見つけられますか?

1_31_31_31_31_31_31_31_3 1_3

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----------------------------------------------------

1~9までの番号をつけます。

1、2、3と4、5、6を量ります。

つりあったら、7と8を量り、軽い方が偽

つりあったら→9

1、2、3と4、5、6のどちらかが軽ければ、

その3つのうち2つを量って、軽い方が偽

つりあえば、残されたコインが偽

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この分数列の規則性は?(学習院中等科 2014年)

いま、次のように分数が並んでいます。

1/2、1/2、1/4、1/2、1/4、1/8、1/2、1/4、1/8、1/16、・・・・・・・

(1)27番目はいくつですか?

(2)1番目から27番目までの和はいくつになりますか?

Bo3

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(1)第1グループは1/2 の1つ

第2グループは1/2、とその半分の1/4 の2つ

第3グループは1/2、とその半分の1/4、とその半分の1/8 の3つ

というように増えていきます。

1+2+3+4+5+6+7=28 なので、

27番目は第7グループの6番目で、

1/2の半分の1/4の半分の1/8の半分の1/16の半分の1/32の半分の1/64です。

(2)

27番目まで1/64が2つ、

1/32が3つ、1/16が4つ、1/8が5つ、1/4が6つ、1/2が7つあります。

1/64が2つで1/32になるので、1/32が1つ増えて4つになり、

1/32が4つで1/16が2つ増えて6つになり、

1/16が6つで1/8が3つ増えて8つになり、

1/8が8つで1/4が4つ増えて10個になり、

1/4が10個で1/2が5つ増えて12個になるので、

1/2×12=6

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この6けたの整数はいくつ?(2011年算数オリンピック、トライアル問題より)

1~6の数字が1回ずつ使われた6けたの整数があり、この整数をAとします。

Aの一番上の位の数字を一番下の位に移動した数をBとします。

(例えば、Aが123456ならBは234561となります)

Bの一番上の位の数字を一番下の位に移動した数をCとします。

Cの一番上の位の数字を一番下の位に移動した数をDとします。

Dの一番上の位の数字を一番下の位に移動した数をEとします。

Eの一番上の位の数字を一番下の位に移動した数をFとします。

いま、Aが2、Bが3、Cが4、Dが5、Eが6、Fが7の倍数になりました。

このようなAを求めなさい。

ただし、6けたの整数が7の倍数であるかの判定法として、

「上3けたの整数と下3けたの整数の差が7の倍数である」があります。

例えば、987210は987-210=777なので、7の倍数です。

Hpsb1101cs

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A、C、Eが偶数なので、Aの上から2、4、6けた目が偶数だとわかります。

また、Dが5の倍数なのでAの上から3けた目が5だとわかります。

さらに、Cは4の倍数なので、

4の倍数の判定法は「下2けたが4の倍数である」ことですから、

Aの上2けたは4の倍数になります。

その場合、上の2けたとして考えられるのは12、16、32、36になります。

そして同時に、上から5けた目は1か3に決まります。

ここまでの条件からAとして可能性のある数字は、

125436、125634、165234、165432、325416、325614、365214、365412

の8通りが考えられます。

この中でFが7の倍数になるのは、

A=325416→F=632541の場合だけなので、

Aは325416とわかります。

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□にあてはまるもっとも小さな数は?(攻玉社中学 2014年)

「2014+□」という整数は7の倍数であり、

8で割ると2あまります。

□にあてはまる1以上のもっとも小さい整数はいくつですか?

Apa0107s

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2009が7の倍数なので、2009+7=2016も7の倍数です。

□にあてはまる7の倍数になる数は 2016-2014=2 から順番に・・・

9、16、23、30、37、44、51、58、・・・・ と続きます。

2008が8の倍数で、2008+8=2016も8の倍数です。

□にあてはまる8で割って2あまる数は、2016-2014+2=4 から順番に・・・

12、20、28、36、44、・・・となり、

□=44 です。 

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2014年9月13日 (土)

256はどこに?(アレセイア湘南中学校 2012年)

図のように正三角形の板を並べ、番号を入れました。

256は何段目の右からいくつ目にありますか?

1_3

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一番右の数は、

1×1=1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、・・・・ のように、

その段目×段目の数になっています。

256=16×16 なので16段目の一番右になります。

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円弧の軌跡は何c㎡?

図のように、

半径7cm、中心角が直角のおうぎ形(緑)を右に6cm移動させました。

このとき円弧ABが通った軌跡(黄)の面積は何c㎡でしょうか?

1

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全体から緑のおうぎ形を引けばいいわけですが・・・

図の白いおうぎ形を引いても同じこと!

残るのは長方形ですね!

2

6×7=42c㎡

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いくつまでかけたかな?(同志社女子中学 2012年) 

1×2×3×4×5×・・・ と順に1ずつ大きな整数をかけていきます。

この積について、次の問に答えなさい。

(1)積を2で7回割った商が初めて整数になるのは、

いくつまでかけたときですか。

(2)積を6で14回割った商が初めて整数になるのは、

いくつまでかけたときですか。

Girl307747_150

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(1)偶数について考えると、

2=2×1、4=2×2、6=2×3、8=2×2×2

となるので、まで掛けたときに、積は2で7回割り切れます。

 

(2)6=2×3 なので、

2で14回、3で14回割り切れるのがいつなのかを調べます。

まず、偶数の続きを調べると、

10=2×5、12=2×2×3、14=2×7、16=2×2×2×2

16まで掛ければ、積は2で14回割り切れます。

次に、3の倍数について調べると、

3=3×1、6=3×2、9=3×3、12=3×4、15=3×5、

18=3×3×2、21=3×7、24=3×8、27=3×3×3、30=3×10、・・・

30=3×10 までの積で、3が14回登場します。

よって、30までかければ6で14回割り切れることがわかります。

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何年たったら・・・・?(郁文館中学 2010年)

今、父親が43歳で子供が7歳です。

何年たったら子供の年齢の3倍が父親の年齢になりますか?

cfa021-s

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□年後に3倍になるとすると、

43+□=3×(7+□)

43+□=21+3×□

2×□=22

□=11

11年後です。

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操作計算問題に挑戦!(栄東中学東大クラス選抜 2010年)

下の図のa,b,c,d,eにはそれぞれ1つの整数が入ります。X,Y,Zではある操作が行われます。

106zu1

行われる操作

X:aにaより1だけ大きい数をかけて得られた数をbにする。
Y:bあるいはdの約数の個数をcにする。
Z:cがaより大きいとき,dをcと同じ数にしてYに戻す。cがaと同じ,またはaより小さいとき,eをcと同じ数にする。

aが20のとき,eに入る数を求めなさい。

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Bandicam_20140913_071440791

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この重なった部分の面積は?(ラ・サール中学 2010年)

下図は1辺が1cmの正方形16個と、同じ大きさの円4個でできた図形です。斜線(色)部分の面積は何c㎡ですか。

107zu1

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Bandicam_20140913_070705703

Bandicam_20140913_070725606

Bandicam_20140913_070738260

Bandicam_20140913_070745289

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誰がいちばん速い?(慶應義塾中等部 2010年)

ある選手は毎秒9.9mで走り、ある騎手は馬に乗って毎分0.58kmで走り、ある中学生は自転車に乗って毎時35kmで走ります。今、この3人が一緒に走っていて、同時に同じ位置を通過をしたとするとき、6秒後の先頭と最後の人の差は何mですか。

Ilm12_ab12003s_2 Ilm12_aa01008s_2 Ilm13_ac06005s_4 

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Bandicam_20140913_065554024

Bandicam_20140913_065620492

Bandicam_20140913_065634556

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2014年9月12日 (金)

大きな正方形の1辺は何cm?(啓明学園 2012年)

1辺が1cmの正方形のタイルをしきつめます。

図のように、そのタイルの頂点を結んだ線を1辺とする

大きな正方形を作りました。

この大きな正方形の1辺は何cmですか?

1_2

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2_2

図のように、大きな正方形は3×4÷=6c㎡の三角形4つと、

1c㎡の正方形1つでできていることがわかります。

面積は6×4+1=25c㎡ なので、

1辺は5cmです。

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江戸時代の算術書より(清真学園中学 2012年)

次の問題は江戸時代の算術書にある問題です。

ある人が橋を渡っていると,下の河原から話し声が聞こえてきた。どうやら盗人(ぬすっと,注1)が,盗んできた反物(たんもの,注2)の分け方を相談しているらしい。
「ひとり5反ずつ分けると3反余るが,6反ずつにすると5反たりない。どうしたものだろうか。」
さて,盗人は何人で,反物は何反あるのだろうか。

注1:どろぼろのこと。

注2:ここでいう反物とは着物を作る布のことで、

               1反〔たん〕,2反,……と数える。

この問題を次のように考えて解きました。( )に当てはまる式または数を答えなさい。

まず,反物をひとり5反ずつ全員に配ります。つぎに,余った反物をひとり1反ずつ配ると,配られた人は(ア)人で,配られなかった人は(イ)人です。
したがって,盗人の人数を求める式は(ウ)で,人数は(エ)人です。
反物が何反あるのかを求める式は(オ)で,反物は(カ)反あります。

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過不足算の基本問題です。

5反ずつ配ると3反余るので、

その3反を1反ずつ配れば(ア)=3人が6反になります。

あと5反あれば全員6反になるので、

5反のままの盗人は(イ)=5人です。

したがって、盗人の人数は(ウ)=3+5 で、(エ)=8人です。

反物は(オ)=5×8+3 で(カ)=43反 です。

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0の上手な使い方が決め手!(中学受験算数 数の性質)

1から8000までの数のうち、1が使われている個数を求めようと思います。

次の問いに答えなさい。

(1)一の位に使われている1は何個ですか。

(2)十の位に使われている1は何個ですか。

(3)百の位に使われている1は何個ですか。

(4)千の位に使われている1は何個ですか。

(5)1は全部で何個使われていますか。

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Bandicam_20140912_175604979_2

Bandicam_20140912_175655044

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3で割っても4で割っても割り切れない整数はいくつ?(早稲田中学 2014年)

1からまでの整数の中に、

3で割っても4で割っても割り切れない整数がちょうど10個あります。

にあてはまる整数をすべてあげてください。

Apf0107s_2

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----------------------------------------------------

3で割り切れる数は、

3,6,9,12,15,18,21,24,27・・・

4で割り切れる数は、

4,8,12,16,20,24・・・・

3でも4でも割り切れない数を1から数えていくと・・・

1,2,5,7,10,11,13,14,17,19,22・・・

19で10個になり、22で11個なので、

□にあてはまる整数は、19、20、21 の3個

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表面積は?(第3回算数オリンピック、団体リレー問題より)

一辺の長さが1センチメートルの立方体を、

図の様な規則で積み重ねていきます。

5段まで重ねたとき、この立体の表面積は何c㎡になりますか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

5段重ねた立体を上下左右前後、合計6つの向きのどこから見ても、

図のように同じ形に見えます。

2

この面積は1×1×15=15c㎡なので、

求める表面積は15×6=90c㎡。

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このエスカレーター、何段?(芝中学 2014年)

乗ったまま30秒で上まで上がれるエスカレーターを

1段ずつ歩いて上がったところ、

21段上がって上につきました。かかった時間は16秒でした。

このエスカレータ一は全部で何段でしょうか。

Ilm01_bb01171s

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エスカレーターの速さを、1秒間に□段進むと考えてみます。

16秒間にエスカレーターは16×□段進みました。

この間、21段上ったので、合計16×□+21段進んで上についたわけです。

したがって、16×□+21=30×□ となり、

14×□=21

□=21/14=3/2=1.5段 で、

30秒間には、1.5×30=45段 進んで上につきます。

つまり、エスカレーターは全部で45段です。

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面積変化のグラフを書いて!(逗子開成中学 2010年)

図の四角形ABCDは,ADとBCが平行,AB=3cm,BC=2㎝,CD=5㎝,DA=6㎝,角Aと角Bが直角です。点Pが,点Aを出発して秒速1cmの速さで点B,Cを通り点Dまで辺上を動きます。このとき出発してからの時間(秒)を横軸に,三角形APDの面積(c㎡)を縦軸にとり,グラフをかきなさい。

110zu1

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Bandicam_20140912_080116053

Bandicam_20140912_080120722

Bandicam_20140912_080127487

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一番小さな数は?(和洋国府台女子中学 2010年)

連続した6つの整数の和が225になりました。

 この6つの整数のうち、一番小さい数はいくつですか?

apa0307-s

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225÷6=37.5 なので、

平均が37.5になるように、連続した整数を配置していくと、

37、38

36、37、38、39

35、36、37、38、39、40 となり、

一番小さい数は 35 になります。

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2014年9月11日 (木)

子供の年齢はいくつ???

Aさんは何年かぶりに昔の知り合いに会いました。

そのBさんは、

「私には3人の子供がいる」と言うのです。

Aさんが子供の年齢を聞くと、

「3人の年齢をかけると36になる」と言います。

Aさんは「それだけじゃわからない」と言うと、

Bさんは「一人は年上だけど、まだ成人になっていない」

と答えました。

そこで、Aさんは3人の年齢がわかりました。

3人の年齢はいくつでしょうか?

Lpse0303cs

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一人だけ年上なので、下二人は双子で同じ年です。

○×○×□=36になり、

○<□の組み合わせを探すと、

1×1×36

2×2×9

年上の子はまだ成人ではないので、

2歳の双子と9歳の子です。

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150番目の音は?(カリタス女子中学 2010年)

ピアノで1オクターブを往復してひくことをくり返します。

ド レ ミ ファ ソ ラ シ ド シ ラ ソ ファ ミ レ ド レ ミ ・・・・・・

このとき、150番目の音は何でしょうか?

Ilm03_bc02022s

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最初のドにもどるまで15の音があるので、14個をセットで考えます。

150÷14=10 あまり 10 なので、

最初から数えて10番目はラになります。

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和差算+流水算の解き方(公文国際学園中等部 2010年)

ある川の上流のA地点から下流のB地点までは6kmです。太郎君の乗ったボートがA地点からB地点までを往復するのにかかる時間は4.5時間で、上りと下りにかかる時間の差は1.5時間です。上りにかかる時間は( ① )時間です。また、太郎君の乗ったボートがA地点からB地点に向かって出発すると同時に、次郎君の乗ったボートがB地点からA地点|こ向かって出発すると、A地点とB地点の真ん中で出会います。次細君の乗ったボートがA地点からB地点まで下るときのボートの速さは時速( ② )kmです。

1

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① 和が4.5で差が1.5なので、時間のかかる上りは、

(4.5+1.5)÷2=3時間 です。

② 太郎君のボートの上りの速さは、6÷3=2㎞/時

太郎君のボートの下りの速さは、6÷(4.5-3)=4㎞/時

水の流速は、(4-2)÷2=1㎞/時

条件より、次郎君のボートの上りの速さは、

太郎君のボートの下りと同じ速さとわかりますから、時速4㎞です。

したがって、次郎君の静水時の速さは、4+1=5km/時

下りの速さは、5+1=6㎞/時 です。

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折り紙の切り抜き部分の面積は?(立教池袋中学 2010年)

1辺が16cmの正方形の紙を4回折って小さい正方形にしてから、図の陰の部分か残るように切りました。
次の問いに答えなさい。
(1)陰の部分の紙を完全に広げてできる図形の面積は何c㎡ですか。
(2)陰の部分の紙を完全に広げてできる図形の辺の長さをすべてたすと、何cmですか。

111zu1

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Bandicam_20140911_122628654

Bandicam_20140911_122644928

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角アは何度?(江戸川女子中学 2014年)

図のように、円Oの円周を8等分する点をとり、その8点のうち、A、B、Cを結びました。このとき角アは何度ですか?

1

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----------------------------------------------------

2

△黄を考えると、

△黄は二等辺三角形で、頂角は180°×3/4=135°

したがって、角ア=(180-135)÷2=22.5°

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折り紙を切って広げると・・・(大阪桐蔭中学 2010年)

Pic_3992q

正方形の折り紙を上の図1のような手順で折って、

色のついた部分を切り取って広げるとき、

下の図2のア~エのどの図形になりますか。

     Pic_3993q

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折り紙を広げると、下の図3のようになり、

Pic_3994a

できる図形は【】です。

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この分数計算は?

どう計算しますか?

2

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=2×(1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56)

=2×(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8)

=2×(1/2-1/8)

=2×3/8

=6/8

=3/4

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2014年9月10日 (水)

何個買った?(共立女子中学 2011年)

300円のプリンと400円のケーキをあわせて7個買い、

100円の箱に入れてもらったところ、合計で2600円でした。

プリンは何個買いましたか。

Mpsa1201cs

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プリンとケーキで2600-100=2500円

あとはつるかめ算で、

ケーキだけなら400×7=2800円

2800-2500=300円多いので、

300÷(400-300)=3個プリンが入っていたことになります。

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この角度は?(2009年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

図で、AB=AE、DC=DEで、ABとDEは平行です。

また、角DAE=53°、角AED=106°、角CDE=42°になっています。

このとき、角EBCの大きさを求めなさい。

1

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△AEDをADを軸にして反転させ、△AFDをつくり、

問題文から角度を求めると図のようになります。

3

すると、△黄と△緑は合同な二等辺三角形になって、

EF=CE、低角は(180-42)÷2=69°になることがわかります。

また、△赤と△青も合同な二等辺三角形になり、

EF=BE 低角は(180-106)÷2=37°になります。

したがって、EF=BE=CEより、△白は二等辺三角形になります。

△白の頂角は、

360°-(106°+69°+37°)=148°なので、

求める角度は、

(180-148)÷2=16°

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できた整数の和は?(神戸海星女子学院中学 2012年)

1,2,3,4 のいずれかの数字を使って4ケタの整数を作ります。

同じ数字を何度使ってもかまいません。次の問に答えなさい。

 

(1)整数は全部で何個できますか。

(2)できたすべての整数の一の位の数の和を求めなさい。

(3)できたすべての整数の和を求めなさい。

Teacher309533_150

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(1)一の位に4通り、十の位、百の位、千の位もそれぞれ4通りあるので、

4×4×4×4=256個 の整数ができます。

 

(2)一の位が1の整数は、4×4×4=64個 あり、

一の位が2の整数、3の整数、4の整数も同様に64個なので、

一の位の数の和は、

 1×64+2×64+3×64+4×64

=(1+2+3+4)×64=10×64

640

となります。

 

(3)できたすべての整数の十の位の数の和も 640、

百の位の数の和も 640、千の位の数の和も 640 です。

足し算において、各位の和を用いて計算すると、どうなるかというと、

たとえば、74+68=142 ですが、

 一の位の和 : 4+8=12

 十の位の和 : 7+6=13

で、

 12×1+13×10=142 

という計算で求めることができます。

 

このことから、この問題のすべての整数の和は、

 640×1000+640×100+640×10+640×1

=640×(1000+100+10+1)=640×1111

711040

と求められます。

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入場券のニュートン算とは?(桐朋中学 2010年)

ある遊園地では、午前10時に入場券を売り出します。午前10時に窓口にはすでに180人が並んでいました。その後、行列には毎分3人ずつの割合で人が加わります。午前10時に1つの窓口で入場券を売り出したら、午前11時20分に行列がなくなりました。もし、午前10時に2つの窓口で入場券を売り出したら、行列は何時何分になくなりますか。

ilm13_bb10006-s

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Bandicam_20140910_081227094

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鉄を針金にした長さは?(青山学院中等部 2013年)

1立方mの鉄を断面の面積が0.4m㎡の針金にすると

長さは何kmになりますか?

ripo1

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1㎡=1000000m㎡ →0が6つ増えるので、

0.4m㎡=0.0000004㎡

1立方m÷0.0000004㎡

=10000000÷4

=2500000m

2500000m=2500km

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2014年9月 9日 (火)

男子の平均点は?(光塩女子学院中等科 2014年)

男子と女子合わせて40人のクラスで算数のテストをしたところ,

クラスの平均点は70.3点でした。

男子の平均点は女子の平均点より4点だけ高く,

男子の人数は女子の人数より6人多いです。

男子の平均点を求めなさい。

2203

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女子の人数は、(40-6)÷2=17人、男子は23人

女子の平均点を□とすると、

女子の合計点は、17×□

男子の合計点は、23×□+23×4=23×□+92

クラスの合計点は、40×70.3=2812点なので、

17×□+23×□+92=2812

40×□=2812-92=2720

□=68

男子の平均点=68+4=72点

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計算の操作(桜蔭中学 2010年)

3けたの整数nの各位の数を加え,その和が1けたになるまでその作業を続け,最後の1けたの数を[n]で表すことにします。例えば,[123]⇒1+2+3=6(作業1回)なので[123]=6,[789]⇒7+8+9=24⇒2+4=6(作業2回)なので[789]=6です。
(1)[147]を求めなさい。
(2)[n]=9となるnのうち,最も小さい数と最も大きい数を求めなさい。
(3)最も作業が多いのは,何回ですか。また,その時の整数nのうち3番目に大きい数を求めなさい。

apf0507-s

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Bandicam_20140909_103450096

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階段の上り下り(淑徳与野中学 2010年)

Aさんは長い階段の途中の段に立っています。さいころを1個ふって,奇数の目が出たら,出た目の数だけ段を上がり,偶数の目が出たら,出た目の数だけ段を下がることにします。さいころを3回ふったとき,もとの段に戻るような目の出方は何通りありますか。

114zu1

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Bandicam_20140909_102509091

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角Xは何度?(頌栄女子学院中学 2014年)

下の図の三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形です。

Xの角の大きさを求めなさい。

1

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----------------------------------------------------

2

角D=360°-130°=230°

角B=360°-(38°+34°+230°)=58°

角A=180°-58°×2=64°

角Ⅹ=64°-38°=26°

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2014年9月 8日 (月)

□はいくつ?(公文国際学園中等部 2011年)

□の中に入る同じ1けたの数はいくつですか?

(□-1)×□×(□+1)=□×35

Apf0507s

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(□-1)×□×(□+1)=□×35 ですから、

(□-1)×(□+1)=35=5×7 と分かります。

したがって, 7-1=5+1=6

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重なった3つの円の部分面積は?(暁星中学 2014年)

図のよう半径3cmの円が3つ重なっています。

3つの円はそれぞれ他の2円の中心を通っています。

色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

1

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----------------------------------------------------

水色、緑、青は中心角60°、半径3cmのおうぎ形です。

2

黄色部分を図のように等積移動すると、これも同じおうぎ形になります。

3

したがって求める面積は、中心角60°、半径3cmのおうぎ形4つ分で、

3×3×3.14×60/360×4=18.84c㎡

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2014年9月 7日 (日)

♪どちらが先にかけつくか?♪

A君とB君は100m競争をしました。A君がゴールしたとき、B君は95mのところにいました。そこでB君はA君に言いました。

「もう一度競争しよう。だけど、今度はA君はぼくの5m後ろからスタートしてほしい」

さて、2人は同時にゴールするでしょうか?

720

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こたえ

同じ時間でA君は100m、B君は95m走ります。

B君が95m走ったところで、

5m後ろから走ってきたA君と並ぶことになります。

残り5m競争です。

A君のほうが速いので、

先にゴールするのはA君です。

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方陣算の規則性を利用して解く!(カリタス女子中学 2010年)

下の図1は、大きな正方形のたてと横をそれぞれ 4つに区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものです。

        Pic_3466q

下の図2は、同じように大きな正方形のたてと横をそれぞれ区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものの一部を表したものです。

図2の一番下の段が、大きな正方形の中でも一番下の段になっている部分になっています。このとき、次の問に答えなさい。

        Pic_3467q

(1)図2のとき、大きな正方形のたてと横を何個に区切っていますか。

(2)図2のアはいくつですか。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

こたえ

(1)与えられている情報が、一番下の段と、その上の段の数

しかないということは、その2つを比べよう!ということです。

図1で、一番下の段と、その上の段の数を比べると、

下の図3のように、差が9 ですが、

最初の数【1】までたどると、差は11です。

          Pic_3468a

これと同様に、図2において、一番下の段と、

その上の段の数の差は、93 あるので、下の図4のように

       Pic_3469a

最初の数【1】のとなりの数は、95差がある【96】です。

96÷4=24 より、図2のとき、下の図5のように

       Pic_3470a_2

大きな正方形のたてと横を、24+1=25個

区切っていることがわかります。

 

(2)(1)より、一番外側には、25個の数があることがわかり、

外側から1つ内側に入ると、23個ずつの数があり、

さらに1つ内側に入ると、21個ずつの数があります。

すると、下の図6のようなうずまきで考えることができ、

 Pic_3471a

アに入る数は、96+22×4+20+3=207 です。

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この面積は?(筑波大学附属中学 2014年)

下の図の斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

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----------------------------------------------------

2

△黄と△緑は相似で、相似比は4:6=2:3

したがって、△黄の高さは4cm×2/(2+3)=1.6cm

斜線部分=△赤-△黄=4×4÷2-4×1.6÷2=4.8c㎡

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いくつからいくつまで?(第4回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から)

連続する73個の整数が、小さい順にならんでいます。

これらの整数について、次のことがわかっています。

 ●すべて10以上の整数である。

 ●7でわりきれる数が10個含まれている。

 ●11でわりきれる数が6個含まれている。

 ●一番大きい数は一番小さい数でわりきれる。

このとき、連続する整数は、いくつからいくつまでですか。

考えられる組をすべてあげてください。

Hpsb1101cs

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一番小さい数を□とすると、一番大きい数は□+72 です。

□は72を割ると割り切れる数、つまり72の約数です。

10以上で72の約数は、

12、18、24、36、72 なので、それぞれの場合を調べると、

□=12、□+72=84 のとき、

7の倍数は14~84の11個になり不適当、

□=18、□+72=90 のとき、

7の倍数は21~84の10個、11の倍数は22~88の7個になり不適当、

□=24、□+72=96 のとき、

7の倍数は28~91の10個、11の倍数は33~88の6個で条件に合う、

□=36、□+72=108 のとき、

7の倍数は42~105の10個、11の倍数は44~99の6個で条件に合う、

□=72、□+72=144 のとき、

7の倍数は77~140の10個、11の倍数は77~143の7個になり不適当、

したがって、24~96 と 36~108 の2組

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この条件に合う2つの整数は?(西大和学園中学 2013年)

2つの整数があります。

この2つの整数は、たすと 168 で、最小公倍数が 1001 です。

この2つの整数はいくつといくつ?

Mpsb1101cs

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まず、1001=7×143=7×11×13  となります。

7.11.13 は、それぞれの約数ではないので、

最小公倍数が 1001 となるには、

 (7×11 と 13) = (77 と 13) → 最小公倍数1001

 (7 と 11×13) = (7 と 143) → 最小公倍数1001

のように、組み合せで考えを進めますが、

7,11,13 を 1回しか使わない場合、足して168になりません。

 

そこで、7,11,13 を 2回使う ( 2つの整数のどちらにも

約数としてどれかが入る) ことを考えます。

 (7×11 と 7×13) = (77 と 91) → 最小公倍数1001

 (7×11 と 11×13) = (77 と 143) → 最小公倍数1001

 (7×13 と 11×13) = (91 と 143) → 最小公倍数1001

があります。この中で、足して 168 になるのは、 77 と 91

場合です。

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6と8と9で割っても5あまる数・・・(浦和実業中学 2014年)

6で割っても、8で割っても、9で割っても5あまる数のうち、

182にもっとも近い数はいくつでしょうか?

Girl307747_150

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6と8の最小公倍数は24なので、

6と8の公倍数は、

24、48、72、96、120、144、168、192、216、240、・・・

と続きます。

このうち9の倍数は各位の和が9で割り切れるので、

182の前後では、144と216です。

144+5=149 と 216+5=221 を比べると、

149のほうが182に近いので、

149となります。

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2014年9月 6日 (土)

円柱を重ねたときの表面積は?(慶應義塾中等部 2014年)

下の図1のような底面の半径が20cm、高さが2cmの円柱Aがあります。

この円柱の上の面に、同じ高さで、底面の半径を1cm短くした円柱を、

はみ出ないように重ねます。

同様に、同じ高さで、底面の半径をさらに1cm短くした円柱を

図2のように重ねます。できあがった立体の表面積は何c㎡ですか?

      Pic_3826q

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図2の表面積は、

上下から見える部分:20×20×3.14×2個分 と・・・

側面の部分:

     20×2×3.14×2

   +19×2×3.14×2

   +18×2×3.14×2

 =(20+19+18)×3.14×4

・・・の和で、

 (200+57)×3.14×4

=1028×3.14=3227.92c㎡

です。

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間違ってできた食塩水の濃度は?(奈良学園登美ヶ丘中学 2011年)

ビーカーに濃さが6%の食塩水が150g 入っています。

 

これに濃さが15%の食塩水を加えて、濃さが12%の食塩水を作ろうとしましたが、誤って濃さが15%ではなく9%の食塩水を入れてしまいました。

誤ってできた食塩水の濃さは何%ですか。

Sst055s

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6%の食塩水150g と15%の食塩水を混ぜて12%にするには

下の図1のてんびん図より、

     Pic_3990a

150×6=3×□ なので、□=300g とわかります。

6%の食塩水150g と 9%の食塩水300g を混ぜると

できる食塩水の濃度は、下の図2のてんびん図より、

     Pic_3991a

150×②=300×① となるように、6%と9%の間を

分ければよく、8%の食塩水ができることがわかります。

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どんな展開図になりますか?

図のような立方体から切り取られた三角錐の展開図は、

どんな形になりますか?

2

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図のような正方形になります。

3

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倍数の個数の数え方

1~200までの整数のうち、6または10の倍数はいくつありますか?

Cocolog_oekaki_2012_11_24_12_23

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こたえ

6と10の倍数から、重複する共通の30の倍数を引きます。

Bandicam_20121124_121647812

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2014年9月 5日 (金)

この四角形の面積は?(第9回算数オリンピック、トライアル問題より)

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たて4cm、横6cmの長方形ABCDがあります。

図のように、それぞれの辺の上に点E、F、G、Hをとり、

H、Fを結んだ線の上に点Pをとり、E、Gと結びます。

四角形AEPHの面積が5cmのとき、四角形PFCGの面積を求めなさい。

3

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三角形AEH=三角形GFC=3×2÷2=3c㎡

三角形EBF=三角形DHG=1×4÷2=2c㎡

4

長方形ABCD=4×6=24c㎡

四角形EFGH=24-(3+2)×2=14㎡

四角形EFGHは平行四辺形なので、

面積は、三角形PHE=三角形PGH 、三角形PEF=三角形PFG

したがって、

三角形PHE+三角形PFG=三角形PEF+三角形PGH=14÷2=7c㎡

四角形AEPH=5c㎡なので三角形PHE=5-3=2c㎡

三角形PFG=7-2=5c㎡

四角形PFCG=5+3=8c㎡

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道のりの比(学芸大学附属竹早中学 2010年)

Bandicam_20140905_092741998


430

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Bandicam_20140905_092624988

Bandicam_20140905_092631070

Bandicam_20140905_092639963

Bandicam_20140905_092703143

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3を80個かけると・・・・(佼成学園中学 2014年)

3を80個かけあわせると1の位はいくつ?

3×3×3×3×・・・・・・・・

Ilm06_bc02006s

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1個→3、2個→9、3個→7、4個、1、5個→1、6個→3、・・・・・・

3、9、7、1の4つの数字が繰り返されます。

したがって、

80÷4=20と割り切れるので、

80個では、4番目の1

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切り口の形は?(淑徳与野中学 2010年)

ややムズレベル

Bandicam_20140905_082238518_2

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Bandicam_20140905_082158979

Bandicam_20140905_082202851

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水槽に水を入れるニュートン算(洛星中学 2012年)

水そうがあって、何本かのじゃ口がら同じ割合で水を入れ、底からは一定の割合で水を出します。

水そうに水が入っていない状態から、じゃ口を8本使って水そうをいっぱいにするのに44分かかり、じゃ口を9本使って水そうをいっぱいにするのに38分かかります。

このとき次の問に答えなさい。

(1)じゃ口を5本使って水そうをいっぱいにするのにかかる時間は何分何秒ですか。

(2)水そうにちょうど半分の量まで水が入っているときに、じゃ口を1本だけ使って水を入れます。95分後に水そうの中にある水の量は、いっぱいのときの量の何倍ですか。

Dripping28936_640

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(1)じゃ口1本から1分間に入れる水の量を【1】とします。

水そうから1分間に出て行く水の量を<1>とします。

[9本の場合]

じゃ口9本から38分間に入った水の量は、【9】×38=【342】

[8本の場合]

じゃ口8本から44分間に入った水の量は、【8】×44=【352】なので、

[8本の場合]の方が[9本の場合]より【10】多く水が必要ということになります。

一方、38分と44分の差の6分間に水そうから出た水の量は、<6> なので、

【10】=<6> ということがわかり、

水そうから1分間に出て行く水の量は、【10/6】=【5/3】です。

[9本の場合]で考えると、38分間に水そうから出た水の量は

<38>=【10】×38/6=【190/3】 なので、1026

この水そうに入る水の量は、

【342】-【190/3】=【836/3】

とわかります。

じゃ口を5本にした場合、1分当たり、じゃ口からは【5】の水が入り、

水そうからは【5/3】が出て行くので、差し引き【10/3】の水が1分間に入ります。

よって、じゃ口を5本にした場合、水そうをいっぱいにするのにかかる時間は、

【836/3】÷【10/3】=83.6分=83分36秒

と求められます。

(2)じゃ口を1本だけ使うと、1分間に入る水の量は【1】、

水そうから出て行く水の量は【5/3】なので、

差し引き【2/3】の水が1分間に水そうから出て行きます。

95分間で出て行く水の量は、【2/3】×95=【190/3】で、

もともと水そうには【418/3】の水が入っているので、

残っている水の量は、

【418/3】-【190/3】=【228/3】=【76】で、

これは、いっぱいのときの量の

【76】÷【836/3】=3/11(倍)です。

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2014年9月 4日 (木)

秋子さんは今何歳?(浦和明の星女子中学 2012年)

Capture_2014_09_04_12_29_59_257

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Capture_2014_09_04_12_31_03_713

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どこから推理を始めますか?(那須高原海城中学 2010年)

8種類の文字A,B,C,D,E,F,G,Hには,

2,3,4,5,6,7,8,9のいずれかが入り,

同じ文字には同じ数字が入り,

8個の数字はすべていずれかの文字にあてはまります。

下の3つの式をみたすように,

それぞれの文字にあてはまる数字を答えなさい。

 

  A×B=C×D

  A×D=C×E

  C×(F-G)=G-H

Bo3

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Capture_2014_09_04_09_43_28_828

Capture_2014_09_04_09_44_00_796Capture_2014_09_04_09_44_00_796_2

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展開図に書かれた数字は?(慶應普通部 2014年)

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Aさんて、いま何歳?(吉祥女子中学 2014年)

現在、Aさんと父の年齢の比は2:5です。

8年後、Aさんと父の年齢の比は1:2になります。

Aさんは現在、何歳ですか。

Cfa021s

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A:父=②:⑤ より、

8年後は、

(②+8):(⑤+8)=1:2 になります。

1×(⑤+8)=2×(②+8)

⑤+8=④+16 なので、①=8

A=②=①×2=8×2=16歳

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この角度、何度になりますか?(明星中学 2010年)

四角形ABCDは正方形です。

図のアの角度は何度ですか。

Pic_3988q

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下の図1のように、それぞれの角度がわかります。

Pic_3989a

三角形BCF と三角形DCF は、

BC=CD、角BCF=角DCF、CF共通 なので、合同な三角形です。

67°と間違わないで!

ACを軸に折り返したと考えれば・・・・

ア=68°の方になりますね。

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2014年9月 3日 (水)

くっつく正方形の軌跡は?(灘中学 2010年)

Capture_2014_09_03_10_34_56_321

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Capture_2014_09_03_10_33_59_235

Capture_2014_09_03_10_34_11_57

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倍数が現れる周期性を見つける方法

5や5000は3で割ると2余る整数です。

1から5000までの整数の中から、3で割ると2余る整数について、

次の問いに答えなさい。

(1)2の倍数、5の倍数はそれぞれいくつありますか。

(2)2の倍数でも5の倍数でもない整数はいくつありますか。



pce022-s


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Capture_2014_09_03_10_16_16_6

Capture_2014_09_03_10_16_38_829

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工夫して面積を求めてください!(豊島岡女子学園中学 2011年)

Capture_2014_09_03_09_59_50_603

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いちばん最初に書いた数字は?(2012年算数オリンピック、ファイナル問題より)

次のようなルールで黒板に数字を書いていきます。

ルール:黒板に書いてある数字の和に、

      書いてある数字の個数を足した数字を黒板に書き加える。

例えば、最初に黒板に10を書いたとします。

すると、次に書く数字は10+1=11、

その次に書く数字は10+11+2=23 となります。

いま、黒板に数字を書いていったところ727が黒板に現れました。

このとき、黒板に一番最初に書いた整数を答えてください。

Apf0107s_2

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規則性を調べてみます。

最初が1だと、次が1+1=2、3番目が1+2+2=5、

1、2、5、11、23、47、・・・・・・

3番目からは、前の数字×2+1 になっていることがわかります。

したがって、727の前は(727-1)÷2=363、

その前は、(363-1)÷2=181、

その前は、(181-1)÷2=90

その前をこの規則性で計算すると小数になってしまうので、

整数のいちばん最初は、90-1=89 になります。

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Aの半径は?(穎明館中学 2014年)

AB=6cm、BC=5cm、CA=4cmの三角形ABCがあります。

3つの頂点を中心とする3つの円が右図のようにお互いに接しています。

このとき、Aを中心とする円の半径は何cmですか。

Capture_2014_09_03_07_47_27_381

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B+C=5cm、A+C=4cm より、Bの半径はAより1cm長いので、

B-A=1cm、A+B=6cm より、和差算で、

A=(6-1)÷2=2.5cm です。

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自転車の速さは?バスと出会うのは?(金蘭千里中学 2012年) 

A地点とB地点の間の一本道をバスが時速60kmで往復していて、このバスはA地点、B地点に着くとすぐに来た道を引き返して走ります。

いま、午前10時にバスと自転車がA地点からB地点に向かって同時に出発し、50分後にバスと自転車はA地点からAB間のキョリの3分の1の地点で出会いました。このときを、バスと自転車が出会う1回目と数えることにします。

また、自転車は一定の速さで走るものとするとき、次の問に答えなさい。

(1)自転車の速さは時速何kmですか。

(2)2回目にバスと自転車が出会うのは午前何時何分ですか。

(3)3回目にバスと自転車が出会うのはA地点から何kmの地点ですか。

Ilm13_aa08004sIlm03_ba08038s

 

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(1)1回目にバスが自転車と出会うまでの50分間に走ったキョリは、50kmで、

バスはB地点まで行ってA地点に戻るときなので、

バスと自転車の進んだキョリの比は、5:1です。

よって、自転車は50分で10km進んだことがわかり、

自転車の速さは、時速12km と求められます。

 

(2)1回目にバスと自転車が出会うところから、2回目に出会うところまで、

バスは自転車まで、10×=20km追いかけることになり、

20÷(60-12)=5/12時間=25分

かかります。

よって、2回目にバスと自転車が出会うのは、1回目の25分後の

午前11時15分 です。

 

(3)2回目にバスと自転車が出会う地点は、時速12kmの自転車で5/12時間進むので、

12×5/12=5km より、

A地点から15kmです。

 

AB間のキョリは、(1)より、30km と求められるので、

2回目にバスと自転車が出会ってから、3回目に出会うまで、

バスと自転車は合わせて(30-15)×2=30km のキョリを走ります。

これにかかる時間は、30÷(60+12)=5/12時間なので、

自転車がさらに5km進んだ、A地点から20kmのところで

3回目に出会うことがわかります。

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2014年9月 2日 (火)

長さ比から面積比を求める!(ラ・サール中学 2012年)

ややムズレベル

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手がかりはどこに?(東京学芸大学附属竹早中学 2006年)

標準レベル

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正方形がたくさん組み合わさって・・・(2014年 浦和明の星女子中学)

Capture_2014_09_02_17_58_48_397

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こたえ

下図のように線を入れて考えてみます。

2_2   

BC-AB は正方形黄色が共通なので、

赤ー青 となり、

(あ×3+い×2)ー(あ×1+い×2)=10cm

あ×2=10cm

あ=5cm

BC=あ+い×9

AB=あ×3+い×4

BC=AB+10=

(15+い×4)+10=(5+い×9)

25+い×4=5+い×9

20+い×4=い×9

20=い×5

い=4cm

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土地の面積は?(栄光学園中学 2006年)

3570㎡の正方形の土地に、

下図のように杭を等間隔に16本打ちました。

斜線部分の面積は何㎡ですか。

2

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図のように、緑部分と水色部分を移動してみると、

斜線部分は全体の1/17になることがわかります。

3

したがって、

3570÷17=210㎡

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2014年9月 1日 (月)

本箱の幅は何cm?(雙葉中学 2010年)

Capture_2014_09_01_11_34_44_608_3

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できるだけ本を並べるには、薄い順になります。

C→10冊で15cm、B→15冊で45cm

これで10+15=25冊なので、Aは1冊だけ並んだことになります。

つまり本箱は15+45+7=67cm以上、74cm未満です。

A+C→67-14×3=25cm以上、

     74-14×3=32cm未満、という条件と

A+C=23-14=9冊、という条件から、順に調べていくと、

A+C

1+8→1×7cm+8×1.5cm=19cm・・・・・×

2+7→2×7cm+7×1.5cm=24.5cm・・・×

3+6→3×7cm+6×1.5cm=30cm・・・・・○

4+5→4×7cm+5×1.5cm=35.5cm・・・×

Aは5冊で→35cmなので・・・・・×

したがって、A3冊、C6冊になりA+C=30cmです。

本箱の幅は42cm+30cm=72cm


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てんびん図を使って解いてみましょう!(洗足学園中学 2011年)

Capture_2014_09_01_10_38_55_827

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7%の食塩水が100gできたので、

4%の食塩水に加えた食塩水は90gです。

これをてんびん図で表すと下図のようになります。

1

重さの比は1:9ですから、てんびんの長さの比は逆比になって、

9:1

4%から7%までを9つ分割すると、1目盛りは1/3%です。

加えた食塩水は7と1/3%であったことがわかります。

6%の食塩水と10%の食塩水を加えて、

7と1/3%の食塩水90gを作ったと考えると、

てんびん図では下図のようになります。

2

1目盛りを1/3%ととして考えると、

てんびんの長さ比は4:8=1:2 です。

重さの比は逆比になり、2:1なので、

6%の食塩水は、90g×2/(2+1)=60g になります。

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A,B,C,Dはそれぞれいくつ?(淑徳与野中学 2014年)

1けたの4つの数A,B,C,Dがあり、次のような関係があります。

①4つの数の平均は6。

②A,B,Cの和はDより10大きい。

③AとCの和はBとDの和に等しい。

④AはCより大きく、Cの2倍より小さい。

このとき,A,B,C,Dはそれぞれいくつですか?

Pencil152713_150

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A+B+C+D=6×4=24

A+C=B+D=24÷2=12

和差算で、

D=(24-10)÷2=7

B=12-7=5

2×C>A 、C<A なので、

C=1のときAは11になり不適当、

C=2のときAは10で、これも不適当、

C=3のときAは9で、2×C<9 となり不適当、

C=4のときAは8で、2×C=8 となり不適当、

C=5のときAは7で、2×C>7 となって成り立ちます。

Cが6以上ではAが6以下になり不適当。

したがって、A=D=7、B=C=5

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小数2014位は?(駒込中学 2014年)

1/7を小数で書いたとき、

小数2014位の数はいくつでしょうか?

Ilm06_bc02006s

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1÷7=0.1428571・・・・

142857の6個の数字が繰り返されます。

2014÷6=335あまり4なので、4番目と同じで・・・

8ですね。

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分数の操作計算 (慶應義塾普通部 2012年)

ある真分数A の分子と分母を入れかえて、できた帯分数からその整数部分を引いた分数をBとし、この操作を A → B とします。

たとえば、2/7 にこの操作をすると、2/7 → 1/2 となります。

この操作を2回くり返すと、2/7 → 1/2 → 0 となります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)5/8 にこの操作を何回くり返すと 0 になりますか。

(2)この操作を2回くり返して、2/5 となる真分数を、分母が小さい順に2つ求めなさい。

Pce022s

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(1)5/8 → 8/5=1と3/5 → 3/5

    3/5 → 5/3=1と2/3 → 2/3

    2/3 → 3/2=1と1/2 → 1/2

    1/2 → 2 → 0

以上より、操作を4回くり返すと、5/8は0になります。

 

(2)【元の真分数】→【1回目の操作】→【2回目の操作】→2/5

となるので、まず【2回目の操作】について考えましょう。

 

2/5 となるには、2/5に整数1,2,3,4,・・・ と加え、さらに

分子と分母を逆にしたものが、【1回目の操作】の結果です。

すると、【1回目の操作】の結果は、

   5/7、5/12、5/17、5/22、・・・

となります。

【1回目の操作】の結果に整数を加え、分子と分母を逆にした

ものが、【元の真分数】です。

すると、【元の真分数】は、

   7/12、7/19、・・・

   12/17、12/29、・・・

   17/22、17/39、・・・

   22/27、22/49、・・・

となっていきます。これ以上は分母が大きくなっていくだけですので、

操作を2回くり返して、2/5 となる真分数は、分母が小さい順に

    7/1212/17

があります。

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