難問パズル問題に挑戦！（巣鴨中学 2012年）

ある小学校では、学年における１クラスの人数とクラス数を【１クラス３５人をこえないように、できるだけ少ないクラス数にする】と決めています。たとえば、学年の児童の人数が３５人であれば１クラスですが、３６人であれば２クラスになります。また、各クラスの人数の差が１人以下になるようにします。この小学校の６年生が４クラスあるとき、次の問に答えなさい。

（１）６年生の児童の人数は何人以上何人以下と考えられますか。

（２）６年生の男子の人数は４の倍数だったので、各クラスの男子の人数を同じにしました。また、６年生の女子の人数は男子の人数より５人少ない人数でした。男子の１クラスあたりの人数は、何人以上何人以下と考えられますか。

（３）（２）のとき、６年生の各クラス内で、次のように班分けをしました。

（ア）　１つの班の人数は４人または５人です。

（イ）　１つの班は、男子のみまたは女子のみです。

このとき、４つのクラスで男子４人の班と女子４人の班の合計は最大で何班できると考えられますか。

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（１）最も多い場合は、１クラス３５人いて、４クラスなので、

　　　　　　４×３５＝１４０人

となります。

最も少ない場合は、３クラスは３５人いて、１クラスは１人

という場合です。（３クラスとも３５人になる人数なら、４クラスには

ならないので）　このとき、

　　　　　　３×３５＋１＝１０６人

となり、児童の人数は １０６人以上１４０人以下 とわかります。

（２）男子の人数を ４×□　とすると、女子の人数は ４×□－５

となります。

男子と女子の和は、４×□＋４×□－５＝８×□－５ で、

これが、１０６人以上１４０人以下なので、

８×□は、１１１人以上１４５人以下

となります。

これを満たす□は、１１１÷８＝１３あまり７

　　　　　　　　　　　　１４５÷８＝１８あまり１

なので、□は、１４以上１８以下です。

よって、各クラスの男子の数は、１４人以上１８人以下です。

（３）男子１４～１８人のときの女子の数について調べてみましょう。

　男子１４人のとき、女子は、１４×４－５＝５１人

　男子１５人のとき、女子は、１５×４－５＝５５人

　男子１６人のとき、女子は、５９人

　男子１７人のとき、女子は、６３人

　男子１８人のとき、女子は、６７人

となるので、各クラスの男女の数は、

　①男子１４人のとき、女子は、１２人が１クラス、１３人が３クラス

　②男子１５人のとき、女子は、１３人が１クラス、１４人が３クラス

　③男子１６人のとき、女子は、１４人が１クラス、１５人が３クラス

　④男子１７人のとき、女子は、１５人が１クラス、１６人が３クラス

　⑤男子１８人のとき、女子は、１６人が１クラス、１７人が３クラス

となります。

　１２＝４＋４＋４　　　→　４人の班は３班

　１３＝４＋４＋５　　　→　４人の班は２班

　１４＝４＋５＋５　　　→　４人の班は１班

　１５＝５＋５＋５　　　→　４人の班は ０

　１６＝４＋４＋４＋４ →　４人の班は４班

　１７＝４＋４＋４＋５ →　４人の班は３班

　１８＝４＋４＋５＋５ →　４人の班は２班

より、上の①～⑤のときにできる男子４人と女子４人の班の数は

　①の場合　：　男子１×４クラス、女子３＋２×３クラス　合計１３班

　②の場合　：　男子０　　　　　　、女子２＋１×３クラス　合計　５班

　③の場合　：　男子４×４クラス、女子１＋０　　　　　　　合計１７班

　④の場合　：　男子３×４クラス、女子０＋４×３クラス　合計２４班

　⑤の場合　：　男子２×４クラス、女子４＋３×３クラス　合計２１班

となるので、４つのクラスで男子４人の班と女子４人の班の合計は

最大で ２４班 となります。

調べるのに時間がかかりますね。

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