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2014年9月10日 (水)

できた整数の和は?(神戸海星女子学院中学 2012年)

1,2,3,4 のいずれかの数字を使って4ケタの整数を作ります。

同じ数字を何度使ってもかまいません。次の問に答えなさい。

 

(1)整数は全部で何個できますか。

(2)できたすべての整数の一の位の数の和を求めなさい。

(3)できたすべての整数の和を求めなさい。

Teacher309533_150

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(1)一の位に4通り、十の位、百の位、千の位もそれぞれ4通りあるので、

4×4×4×4=256個 の整数ができます。

 

(2)一の位が1の整数は、4×4×4=64個 あり、

一の位が2の整数、3の整数、4の整数も同様に64個なので、

一の位の数の和は、

 1×64+2×64+3×64+4×64

=(1+2+3+4)×64=10×64

640

となります。

 

(3)できたすべての整数の十の位の数の和も 640、

百の位の数の和も 640、千の位の数の和も 640 です。

足し算において、各位の和を用いて計算すると、どうなるかというと、

たとえば、74+68=142 ですが、

 一の位の和 : 4+8=12

 十の位の和 : 7+6=13

で、

 12×1+13×10=142 

という計算で求めることができます。

 

このことから、この問題のすべての整数の和は、

 640×1000+640×100+640×10+640×1

=640×(1000+100+10+1)=640×1111

711040

と求められます。

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