できた整数の和は？（神戸海星女子学院中学 2012年）

１，２，３，４ のいずれかの数字を使って４ケタの整数を作ります。

同じ数字を何度使ってもかまいません。次の問に答えなさい。

（１）整数は全部で何個できますか。

（２）できたすべての整数の一の位の数の和を求めなさい。

（３）できたすべての整数の和を求めなさい。

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（１）一の位に４通り、十の位、百の位、千の位もそれぞれ４通りあるので、

４×４×４×４＝２５６個 の整数ができます。

（２）一の位が１の整数は、４×４×４＝６４個 あり、

一の位が２の整数、３の整数、４の整数も同様に６４個なので、

一の位の数の和は、

　１×６４＋２×６４＋３×６４＋４×６４

＝（１＋２＋３＋４）×６４＝１０×６４

＝６４０

となります。

（３）できたすべての整数の十の位の数の和も ６４０、

百の位の数の和も ６４０、千の位の数の和も ６４０ です。

足し算において、各位の和を用いて計算すると、どうなるかというと、

たとえば、７４＋６８＝１４２ ですが、

　一の位の和　：　４＋８＝１２

　十の位の和　：　７＋６＝１３

で、

　１２×１＋１３×１０＝１４２　

という計算で求めることができます。

このことから、この問題のすべての整数の和は、

　６４０×１０００＋６４０×１００＋６４０×１０＋６４０×１

＝６４０×（１０００＋１００＋１０＋１）＝６４０×１１１１

＝７１１０４０

と求められます。

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