分数の操作計算 （慶應義塾普通部 2012年）

ある真分数Ａ の分子と分母を入れかえて、できた帯分数からその整数部分を引いた分数をＢとし、この操作を Ａ → Ｂ とします。

たとえば、２/７ にこの操作をすると、２/７　→　１/２ となります。

この操作を２回くり返すと、２/７　→　１/２　→　０　となります。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）５/８ にこの操作を何回くり返すと ０ になりますか。

（２）この操作を２回くり返して、２/５ となる真分数を、分母が小さい順に２つ求めなさい。

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（１）５/８　→　８/５＝１と３/５　→　３/５

　　　 ３/５　→　５/３＝１と２/３　→　２/３

　　　 ２/３　→　３/２＝１と１/２　→　１/２

　　　 １/２　→　２　→　０

以上より、操作を４回くり返すと、５/８は０になります。

（２）【元の真分数】→【１回目の操作】→【２回目の操作】→２/５

となるので、まず【２回目の操作】について考えましょう。

２/５ となるには、２/５に整数１，２，３，４，・・・ と加え、さらに

分子と分母を逆にしたものが、【１回目の操作】の結果です。

すると、【１回目の操作】の結果は、

　　　５/７、５/１２、５/１７、５/２２、・・・

となります。

【１回目の操作】の結果に整数を加え、分子と分母を逆にした

ものが、【元の真分数】です。

すると、【元の真分数】は、

　　　７/１２、７/１９、・・・

　　　１２/１７、１２/２９、・・・

　　　１７/２２、１７/３９、・・・

　　　２２/２７、２２/４９、・・・

となっていきます。これ以上は分母が大きくなっていくだけですので、

操作を２回くり返して、２/５ となる真分数は、分母が小さい順に

　　　　７/１２、１２/１７

があります。

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