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2014年9月 1日 (月)

分数の操作計算 (慶應義塾普通部 2012年)

ある真分数A の分子と分母を入れかえて、できた帯分数からその整数部分を引いた分数をBとし、この操作を A → B とします。

たとえば、2/7 にこの操作をすると、2/7 → 1/2 となります。

この操作を2回くり返すと、2/7 → 1/2 → 0 となります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)5/8 にこの操作を何回くり返すと 0 になりますか。

(2)この操作を2回くり返して、2/5 となる真分数を、分母が小さい順に2つ求めなさい。

Pce022s

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(1)5/8 → 8/5=1と3/5 → 3/5

    3/5 → 5/3=1と2/3 → 2/3

    2/3 → 3/2=1と1/2 → 1/2

    1/2 → 2 → 0

以上より、操作を4回くり返すと、5/8は0になります。

 

(2)【元の真分数】→【1回目の操作】→【2回目の操作】→2/5

となるので、まず【2回目の操作】について考えましょう。

 

2/5 となるには、2/5に整数1,2,3,4,・・・ と加え、さらに

分子と分母を逆にしたものが、【1回目の操作】の結果です。

すると、【1回目の操作】の結果は、

   5/7、5/12、5/17、5/22、・・・

となります。

【1回目の操作】の結果に整数を加え、分子と分母を逆にした

ものが、【元の真分数】です。

すると、【元の真分数】は、

   7/12、7/19、・・・

   12/17、12/29、・・・

   17/22、17/39、・・・

   22/27、22/49、・・・

となっていきます。これ以上は分母が大きくなっていくだけですので、

操作を2回くり返して、2/5 となる真分数は、分母が小さい順に

    7/1212/17

があります。

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