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2014年9月17日 (水)

3点の位置関係は? (栄光学園中学 2009年)

下の図のように、1辺の長さが1cmの正三角形ABCがあります。

その周上には左回りにグルグル回る3つの点P,Q,R があり、

点Pは毎秒11/6cm、点Qは毎秒14/9cm、点Rは毎秒1cmの速さで動きます。

いま、点Pは頂点Aから、点Qは頂点Bから、点Rは頂点Cから同時にスタートしました

次の問に答えなさい。

     Pic_3995q_2

(1)3点P,Q,Rを結んでも三角形にならない場合があります。初めてそのような場合になるのは、スタートしてから何秒後ですか。

(2)スタートしてから次に3点ともはじめの頂点(点PはA,点QはB,点RはC)に戻るのは何秒後ですか。

(3)スタートしてから最初に三角形PQRが正三角形になるのは何秒後ですか。ただし、3点P,Q,Rのいずれも頂点A,B,Cにない場合とします。

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(1)3点を結んでも三角形にならないのは、3点が同じ辺上にあるときです。

Pは、 1÷11/6=6/11秒 で次の頂点に着き、

Qは、 1÷14/9=9/14秒 で次の頂点に着き、

Rは、 1秒 で次の頂点に着きます。 

それぞれの点が各頂点に何秒後に着くのかを表にすると、下の図1のようになり、

     Pic_3996a_2

黄色のところに注目すると、点Pが頂点Aに着いたとき(18/11秒後) には、

点Q、R は共に辺AB上にいることがわかります。

よって、初めてP,Q,Rを結んでも三角形を作ることができなくなるのは、

点P が頂点Aに着いた18/11=1と7/11秒後です。

 

 

(2)図1より、点Pは18/11秒ごとに点Aに戻り、

点Qは27/14秒ごとに点Bに戻り、点Rは3秒ごとに点Cに戻るということがわかります。

 

よって、求めるのは、18/11、27/14、3 の最小公倍数です。

まず、下の図2のように、18/11 と 27/14 の最小公倍数は、

        Pic_3997a

1/11×1/14×3×3×28×33=54 と求められます。

次に、3と54の最小公倍数は、54 なので、

3つの点が初めて共に最初の頂点に戻るのは、54秒後 とわかります。

 

(3)三角形PQRが正三角形になるのは、

P,Q,R がそれぞれ1cmずつ離れているときです。

点P と点R は最初2cm離れているので、点Pが点Rの1cm後方になるのは、

 1÷(11/6-1)=6/5秒後 です。

点P と点R が重なるのは、2÷(11/6-1)=12/5秒後 で、

点Pが点R の1cm前方になるのは、18/5秒後 です。

以後同様に続きます。

点Q は点R の1cm後方にいて、点Qが点Rの1cm前方になるのは、

2÷(14/9-1)=18/5秒後 です。

2回目に点Qが点Rの1cm後方になるのは、

 3÷(14/9-1)=27/5秒後です。

以後同様に続きます。

まとめると、下の図3のようになり、

  Pic_3998a

三角形PQR は、54/5=10.8秒後 に初めて正三角形となることがわかります。

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