３点の位置関係は？ （栄光学園中学 2009年）

下の図のように、１辺の長さが１ｃｍの正三角形ＡＢＣがあります。

その周上には左回りにグルグル回る３つの点Ｐ，Ｑ，Ｒ があり、

点Ｐは毎秒１１/６ｃｍ、点Ｑは毎秒１４/９ｃｍ、点Ｒは毎秒１ｃｍの速さで動きます。

いま、点Ｐは頂点Ａから、点Ｑは頂点Ｂから、点Ｒは頂点Ｃから同時にスタートしました

次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）３点Ｐ，Ｑ，Ｒを結んでも三角形にならない場合があります。初めてそのような場合になるのは、スタートしてから何秒後ですか。

（２）スタートしてから次に３点ともはじめの頂点（点ＰはＡ，点ＱはＢ，点ＲはＣ）に戻るのは何秒後ですか。

（３）スタートしてから最初に三角形ＰＱＲが正三角形になるのは何秒後ですか。ただし、３点Ｐ，Ｑ，Ｒのいずれも頂点Ａ，Ｂ，Ｃにない場合とします。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

（１）３点を結んでも三角形にならないのは、３点が同じ辺上にあるときです。

Ｐは、　１÷１１/６＝６/１１秒　で次の頂点に着き、

Ｑは、　１÷１４/９＝９/１４秒　で次の頂点に着き、

Ｒは、　１秒　で次の頂点に着きます。　

それぞれの点が各頂点に何秒後に着くのかを表にすると、下の図１のようになり、

　　　　　

黄色のところに注目すると、点Ｐが頂点Ａに着いたとき（１８/１１秒後） には、

点Ｑ、Ｒ は共に辺ＡＢ上にいることがわかります。

よって、初めてＰ，Ｑ，Ｒを結んでも三角形を作ることができなくなるのは、

点Ｐ が頂点Ａに着いた１８/１１＝１と７/１１秒後です。

（２）図１より、点Ｐは１８/１１秒ごとに点Ａに戻り、

点Ｑは２７/１４秒ごとに点Ｂに戻り、点Ｒは３秒ごとに点Ｃに戻るということがわかります。

よって、求めるのは、１８/１１、２７/１４、３　の最小公倍数です。

まず、下の図２のように、１８/１１ と ２７/１４ の最小公倍数は、

　　　　　　　　

１/１１×１/１４×３×３×２８×３３＝５４　と求められます。

次に、３と５４の最小公倍数は、５４ なので、

３つの点が初めて共に最初の頂点に戻るのは、５４秒後 とわかります。

（３）三角形ＰＱＲが正三角形になるのは、

Ｐ，Ｑ，Ｒ がそれぞれ１ｃｍずつ離れているときです。

点Ｐ と点Ｒ は最初２ｃｍ離れているので、点Ｐが点Ｒの１ｃｍ後方になるのは、

　１÷（１１/６－１）＝６/５秒後 です。

点Ｐ と点Ｒ が重なるのは、２÷（１１/６－１）＝１２/５秒後 で、

点Ｐが点Ｒ の１ｃｍ前方になるのは、１８/５秒後 です。

以後同様に続きます。

点Ｑ は点Ｒ の１ｃｍ後方にいて、点Ｑが点Ｒの１ｃｍ前方になるのは、

２÷（１４/９－１）＝１８/５秒後 です。

２回目に点Ｑが点Ｒの１ｃｍ後方になるのは、

　３÷（１４/９－１）＝２７/５秒後です。

以後同様に続きます。

まとめると、下の図３のようになり、

　　

三角形ＰＱＲ は、５４/５＝１０．８秒後 に初めて正三角形となることがわかります。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

どう解く？中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦！

全国１５０中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題！

公式、法則、受験算数の極意

分野別６６項目へ

ママだって家庭教師！

１分で解ける算数

アニメーションでイメージをつかむ解法

パズル？おもしろ算数問題

イメージでわかる中学受験算数問題