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2014年8月31日 (日)

全部で何個?(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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白と黒の同じ大きさの正方形の石が同じ数だけあります。

まず、黒石の一部をすきまなく正方形にならべ、

次にその周りを1列の白石でぐるりと囲み、

その白石の周りを残りの黒石で1列ぐるりと囲み、

最後に残った白石で黒石の周りを1列ぐるりと囲み、

ちょうどすべての石を使いきりました。(図)

白石と黒石の合計は何個ですか?

1_2

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2_2

図のように一番外側の白石のひと周りをア個、

その内側の黒石のひと周りをイ個、

さらにその内側の白石のひと周りをウ個とし、

中央部分の黒石の正方形部分をさらに最も外側のひと周りのエ個と

その内側の正方形部分のオ個に分けます。

エ=①、オ=□と置くと、

アーイ=イーウ=ウーエ=8より、

ウ=①+8、イ=①+16、ア=①+24で、

黒石の個数=白石の個数より、

イ+エ+オ=ア+ウ

①+16+①+□=①+24+①+8

②+16+□=②+32

□=32-16=16=4×4

すべての石を使ってできた正方形の1辺の個数は

4+4×2=12個です。

これにより、すべての石の合計は、12×12=144個となります。

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