面積は何倍になる？（第５回算数オリンピック、トライアル問題より）

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図のように、一辺が６ｃｍの正三角形を４つの部分に切りました。

正三角形の頂点から、１ｃｍのところから、３０°にハサミを入れて、

中央に小さな正三角形ができるようにしたものです。

斜線部分全体の面積は中央の小さな正三角形の面積の何倍ですか。

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図のように、３つの頂点に底角３０°、２辺が１ｃｍの二等辺三角形を継ぎ足します。

継ぎ足した部分の面積は下図のように、１辺が１ｃｍの正三角形と等しくなります。

また、図のように、三色の合同な二等辺三角形を頂角で合わせると、

１辺が６ｃｍの正三角形の面積に等しくなることがわかります。

つまり継ぎ足した３つの二等辺三角形の面積の和は、

中央の小さな正三角形の面積に等しくなります。

一辺が１ｃｍの正三角形の面積をＡとすると、

中央の小さな正三角形の面積は３Ａとなり、

もとの大きな正三角形は１辺が６ｃｍなので、面積は３６Ａ、

この大きな正三角形から中央の小さな正三角形をのぞいた面積は、

３６Ａ－３Ａ＝３３Ａ

したがって、小さな正三角形の面積との比は、

３３Ａ÷３Ａ＝１１で、

１１倍です。

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