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2014年8月25日 (月)

長さ比と体積比は?(開成中学 過年度)

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下の図1のような、底面の円の半径が15cmの円錐を、上から12cmの位置で底面と平行な面で切って、小さい円すいと、 円すい台に切り離したところ、小さい円すいの底面の円の半径は 5cmとなりました。このとき、次の問題に答えなさい。  

   Pic_3036q

(1)円すい台の体積は、小さい円すいの何倍になりますか?

(2)小さい円すいに水を満たし、円すい台に19杯注いだとき円すい台に満たされた水の高さは何cmになりますか?

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(1)小さい円すいと元の円すいの相似比が 1 : 3 なので、

    小さい円すいの体積 : 元の円すいの体積

 = 1×1×1 : 3×3×3  = 1 : 27

となります。

相似比 と 体積比 の関係については → こちら を参照

円すい台の体積は、元の円すいから小さい円すいの体積を引いたものなので、

小さい円すいの体積 : 円すい台の体積 = 1 : 27-1 = 1 : 26

とわかります。

よって、円すい台の体積は、小さい円すいの26倍です。

(2)元の円すいの体積は、小さい円すいの体積の27倍なので、

元の円すいには、小さい円すいで27杯の水が入ることになります。

19杯を満たしたとき、下の図2のようになります。

      Pic_3037a_2

上の「8杯」の部分は、8=2×2×2

元の円すい「27杯」は、27=3×3×3 で、

体積比 が 2×2×2 : 3×3×3 なので、

「8杯」の部分と元の円すいは、下の図3のように、

      Pic_3038a

相似比 2 : 3 であることがわかります。

小さい円すいと元の円すいの相似比が 1 : 3 で、

小さい円すいの高さが12cmなので、元の円すいの高さは、

    12×3=36cm ・・・ 図3の③ とわかり、

求める水が満たされた部分の高さは、図3の① の高さで、

    36÷3=12cm

と求められます。

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