△ＡＢＣの面積は？（２０１０年算数オリンピック、トライアル問題より）

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三角形ABCのＣＡ上にAE＝BCとなるようにＥをとります。

さらに、ECの真ん中の点をＤとしたとき、

BD＝１５ｃｍ、角DBC＝１５°、角ADB＝１３５°でした。

このとき、三角形ABCの面積を求めなさい。

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角ＢＣＤは135°－ 15° ＝120°です。

ACをのばして、BC＝CFとなるようにＦをとります。

すると、角BCF＝60°、BC＝CFより三角形BCFは正三角形となります。

さらに、AFをのばしてFG＝ＣＤとなるようにＧをとります。

すると、AE＝CFなので、三角形AEB＝三角形CFB、

ED＝DC＝FGより三角形ＥＤＢ＝三角形GFBとなります。

よって、三角形ＡＢＣ＝三角形BGDとなります。

ここで、三角形BCDと三角形BFGはBC＝BF、CD＝FG、

角BCD＝角BFGなので合同だとわかります。

つまり、角DBC＝角GBFでＢＤ＝ＢＧとなります。

角DBC＝15°なので、角DBGは90゜とわかります。

よって、三角形BGDは直角二等辺三角形とわかります。

BD＝15cmなので、

三角形BGD＝三角形ABC＝１５×１５÷２＝１１２．５ｃ㎡です。　

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