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2014年8月23日 (土)

△ABCの面積は?(2010年算数オリンピック、トライアル問題より)

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三角形ABCのCA上にAE=BCとなるようにEをとります。

さらに、ECの真ん中の点をDとしたとき、

BD=15cm、角DBC=15°、角ADB=135°でした。

このとき、三角形ABCの面積を求めなさい。

1

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2

角BCDは135°- 15° =120°です。

ACをのばして、BC=CFとなるようにFをとります。

すると、角BCF=60°、BC=CFより三角形BCFは正三角形となります。

さらに、AFをのばしてFG=CDとなるようにGをとります。

すると、AE=CFなので、三角形AEB=三角形CFB、

ED=DC=FGより三角形EDB=三角形GFBとなります。

よって、三角形ABC=三角形BGDとなります。

ここで、三角形BCDと三角形BFGはBC=BF、CD=FG、

角BCD=角BFGなので合同だとわかります。

つまり、角DBC=角GBFでBD=BGとなります。

角DBC=15°なので、角DBGは90゜とわかります。

よって、三角形BGDは直角二等辺三角形とわかります。

BD=15cmなので、

三角形BGD=三角形ABC=15×15÷2=112.5c㎡です。 

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