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2014年8月12日 (火)

12346789を使って整数を・・・(第3回算数オリンピック、決勝問題から)

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1、2、3、4、6、7、8、9の8つの数字をならべて、

1、2、3、4、6、7、8、9のどの数によっても割り切れる整数を作ります。

各数字は、必ず1度は使い、また、何度使っても構いません。

このようにして作る整数のうち、最小のものはいくつですか?

Teacher23304_150

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1、2、3、4、6、7、8、9で割り切れるには、7×8×9で割り切れればOKです。

9の倍数は、各位の数の和が9の倍数なので、

1+2+3+4+6+7+8+9=40だから、あと5を加えて45にします。

5はないので、1と4か2と3ですが1と4の方が小さい数にできるので、

1と4を使って最小の数にすると、1123446789が考えられます。

次に8の倍数であるためには、下3けたが8の倍数となるので、

下1けたを偶数の8にして、789を並べ替えると、798も978もどちらも不適当、

そこで6も加えて、下4けたの偶数を小さい順に並べると、

7698、7896、7968、7986、8796、8976、9678、9768、9786、9876
  
このうち下3けたが8の倍数となるのは、

7896、7968、8976、9768

112344÷7=16049・・・1(あまり)なので、

あまりの1を万の位に置いて、それぞれ7で割ってみると、

割り切れるのは19768なので、

最小の数は、1123449768

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