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2014年8月

2014年8月31日 (日)

拾った木の実はいくつ?

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A,B,C,Dの4人の少年が森の中で木の実を拾いました。

拾った 数はAがいちばん多く,B,C,Dの順に少なくなるように拾いました。

AとBが拾った木の実の数の和は65個,AとDとの和は61個,CとDとの和は44 個でした。

A,B,C,Dはそれぞれ何個ずつ拾いましたか。

1205zu1

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全部で何個?(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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白と黒の同じ大きさの正方形の石が同じ数だけあります。

まず、黒石の一部をすきまなく正方形にならべ、

次にその周りを1列の白石でぐるりと囲み、

その白石の周りを残りの黒石で1列ぐるりと囲み、

最後に残った白石で黒石の周りを1列ぐるりと囲み、

ちょうどすべての石を使いきりました。(図)

白石と黒石の合計は何個ですか?

1_2

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2_2

図のように一番外側の白石のひと周りをア個、

その内側の黒石のひと周りをイ個、

さらにその内側の白石のひと周りをウ個とし、

中央部分の黒石の正方形部分をさらに最も外側のひと周りのエ個と

その内側の正方形部分のオ個に分けます。

エ=①、オ=□と置くと、

アーイ=イーウ=ウーエ=8より、

ウ=①+8、イ=①+16、ア=①+24で、

黒石の個数=白石の個数より、

イ+エ+オ=ア+ウ

①+16+①+□=①+24+①+8

②+16+□=②+32

□=32-16=16=4×4

すべての石を使ってできた正方形の1辺の個数は

4+4×2=12個です。

これにより、すべての石の合計は、12×12=144個となります。

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1の目は何回出たか?(恵泉女学園中学 2010年)

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サイコロを6回投げて、出た目をすべてかけたら81になりました。

1の目は何回出たでしょうか?

Sai

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81=3×3×3×3 なので、

81=1×3×1×3×3×3 と考えれば、

1の目は2回です。

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台形を半分に分けたら・・・(女子学院中学 2013年)

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図のような台形ABCDがあります。

1

(1)Aを通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。

この直線が辺BCと交わる点をEとすると、BEの長さは何cmですか。

(2)Bを通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。

この直線が辺CDと交わる点をFとすると、CFの長さは何cmですか。

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(1)面積が△ABE=台形AECDなので、

BE=AD+EC になります。

2

BE=8+(14-BE)=22-BE

BE=11cm

(2)△ABD:△DBC=8:14 なので、

台形ABCDの面積は8+14=22になるので、

△FBC=22÷2=11です。

すると、△DBF=14-11=3 なので、

3

CDを11:3で分けると

CF=7×11/(11+3)=5.5cm

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2014年8月30日 (土)

生徒の人数は何人ですか?

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生徒の宿泊で、1室の定員を5人ずつにすると全部の部屋を使っても4人分足りなくなり、1室の定員を6人ずつにすると5人の部屋が1室でき、1室が余ります。このときの生徒の人数を求めなさい。

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円の中の円周の公式

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緑部分の周りの長さは何cmですか?

1

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6けたの整数は?(第8回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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各位の数字に1~6を1個ずつ使った6けたの整数があります。

この整数の上2けたは2の倍数、上3けたは3の倍数、上4けたは4の倍数、上5けたは5の倍数、整数全体は6の倍数となっています。

このような整数を2通り求めなさい。

Student148613_150

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上5けたは5の倍数なので、上から5けた目の数字は5と決まります。

また、上2けたは2の倍数、上4けたは4の倍数、上6けたは6の倍数より、

上から2,4,6けた目の数字は2.4.6の偶数となり、

上から1、3けた目の数字は1、3の奇数となります。

上3けた(1□3または3□1)は3の倍数より、

上3けたの各位の数字の和、4+□は3の倍数でなければならず、

□に入る候補2、4、6のうち、この条件を満たすのは2のみなので、

上から2けた目の2が決まります。

上4けたは4の倍数より、上4けたの下2けたは4の倍数でなくてはならず、

候補になる14、16、34、36のうち、14と34は除外されるため、

上から4けた目の6が決まり、

上から6けた目は残る偶数ですから4に決まります。

ここまでで、求める6けたの整数は123654、321654の2通りで

どちらも条件を満たすので、

求める答えは123654と321654となります。

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Aはいくつ?(春日部共栄中学 2014年)

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3つの数A、B、Cがあります。

A:B=3:2 、 B:C=3:5 、C-B=20のとき、

Aはいくつですか?

Apf0507s_2

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比をそろえると、

A:B=3:2=9:6

B:C=3:5=6:10

A:B:C=⑨:⑥:⑩

⑩-⑥=④=20なので、①=20÷④=5

A=⑨×5=45

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おもりは何個?(足立学園中学 2014年)

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10g、30g、50gの3種類のおもりが合わせて20個あり、

そのすべての重さは700gです。

10gと30gのおもりの数が同じであるとき、

50gのおもりは何個ありますか?

Photo



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10gと30gのおもりをセットにして考えると、

1個ずつで2個の場合40gですが、

残り700-40=660gは50gで割り切れません。

2個ずつで4個の場合も700-2×40=620gも50gで割り切れません。

同様に考えていくと、

5個ずつで10個の場合だけ、

700-5×40=500gで、500÷50=10個と割り切れます。

したがって、10g、30gが5個ずつ、50gが10個です。

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川の流れの速さは?(神戸女学院中学部 2012年)

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川の上流地点A と下流地点B までの 4.2kmの間を船が往復しています。

下流地点B を船が出ると同時に、花子さんは川沿いの道を上流地点A から下流地点B に向かって歩きはじめました。

そして10分後に船と出会い、さらにその2分後、船が上流地点A に着くのを見ました。

船は A で何分か休んだ後、最初に B を出たときから X 分後に再び B に向かって出発し、その Y分後に花子さんを追いぬきました。

このときX : Y の比は、9 : 2 でした。

(1)花子さんは A から B まで何分かかりましたか。

(2)川の流れの速さは毎分何mですか。

Ferry157517_640Ilm19_aa01022s

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(1)船がBからAへ移動するのに、12分かかっていて、

船と花子さんは船がBを出発して10分後に出会っているので、

船と花子さんが出会った地点は、全体の 10/12=5/6 の地点です。

花子さんは、全体の1/6を進むのに、10分かかっている

ことから、花子さんがAからBまで移動するのにかかる時間は

10×6=60分

です。

 

(2)花子さんの速度は、(1)より、4200÷60=70m(毎分)です。

X分間とY分間に花子さんが移動したキョリの比は、9 : 2 なので、

Y分間に船と花子さんが移動したキョリの比は、11 : 2 です。

同じ時間に移動したキョリの比=速度の比 なので、

船の下りの速度は、70÷2×11=385m(毎分) で、

船の上りの速度は、4200÷12=350m(毎分) より、

川の流れの速度は、(385-350)÷2=17.5m(毎分)

と求められます。

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2014年8月29日 (金)

何けたの整数になる?(筑波大学附属中学 2014年)

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次の計算した答えは何けたの整数になりますか?

Blonde160653_1504×5×8×25×125=

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4×25=100

8×125=1000なので、

100×1000×5=500000

6けたですね!

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賛成した人は?賛成しなかった人は?(大阪教育大学附属池田中学 2009年)

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100人の生徒が、(ア)(イ)(ウ)の3つの案について話し合いました。

 ・ (ア)の案に賛成した人は45人でした。

 ・ (イ)の案に賛成した人は45人でした。

 ・ (ウ)の案に賛成した人は55人でした。

 ・ 1つの案だけに賛成した人は全部で50人でした。

 ・ すべての案に賛成した人は全部で15人でした。

ここで問題です!

(1)2つの案だけに賛成した人は何人ですか。

(2)どの案にも賛成しなかった人は何人ですか。

Hiva0117cs

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1

 

(1)ア、イ、ウの案について、

アだけ賛成の人数(黄)+アとイに賛成の人数(赤)+アとウに賛成の人数(茶)=30人

イだけ賛成の人数(緑)+アとイに賛成の人数(赤)+イとウに賛成の人数(水)=30人

ウだけ賛成の人数(青)+アとウに賛成の人数(茶)+イとウに賛成の人数(水)=40人

ということがわかります。

この、3つの式をすべて足すと、

(アだけ賛成の人数+イだけ賛成の人数+ウだけ賛成の人数)

+(アとイに賛成の人数)×2+(アとウに賛成の人数)×2

+(イとウに賛成の人数)×2 

=30+30+40=100

50人+(アとイに賛成の人数+アとウに賛成の人数+イとウに賛成の人数)×2

=100人

となるので、2つの案だけに賛成した人数は、

 (100-50)÷2=25人

とわかります。

(2)どの案にも賛成しなかった人数は、

 100-(15+50+25)=10人

とわかります。

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色のついた部分の面積合計は?(早稲田実業学校中等部 2012年)

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図のように半径3cmの5つの円が重なっています。

・はそれぞれの円の中心です。

色のついた部分の面積の合計は何c㎡ですか。

(円周率は3.14とします)

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1

△青は1辺が3cmの正三角形なので、

図のように等積移動すると、

中心角60°半径3cmのおうぎ形が5つできます。

2

したがって、求める面積は、

3×3×3.14×60/360×5=23.55c㎡

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2014年8月28日 (木)

画用紙の面積は?(関西学院中学 2010年)

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ある画用紙の1/3を青、残りの1/3を黄色、さらに残りの6割を赤、さらに残りの1/4を緑で塗りました。このとき、黄色と緑の面積の差は160c㎡でした。画用紙の面積は何c㎡ですか。

Cocolog_oekaki_2013_01_12_10_06

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転がる円の中心が動く長さは?(甲陽学院中学 2012年)

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下の図のように、

正方形の形に並んだ12個の円で作られた図形があります。

円の半径はすべて 3cmです。

半径 3cm のもう1つの円A を、図形から離れないように、

この図形の外側を1周させるとき、

円A の中心が動く線の長さを求めなさい。

     Pic_3964q

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円A が、図形のカドの部分を通るとき、

下の図1のようにそれぞれの円の中心を線で結ぶと、

     Pic_3977a

円A が移動する角度は、

360-(60+60+90)=150°

とわかります。

 

次に、カド以外の場所を円Aが移動するときは、

下の図2のように円の中心を線で結ぶと、

     Pic_3978a

正三角形が作れて、60°移動することがわかります。

 

図1のように移動するのが 4か所、

図2のように移動するのが 8か所あるので、

円Aの中心が動く線の長さは、

 6×2×3.14×(150/360×4+60/360×8)

=12×3.14×3=36×3.14

113.04(cm)

と求められます。

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2014年8月27日 (水)

ひろしが持っているカードの数字は?(2008年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1~9の数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつあります。

今、ひろし、まさる、よしこの3人に3枚ずつ配りました。

ひろし「ぼくのカードのうち2枚の数字の積が、残り1枚の数字になってる」

まさる「ぼくのカードは2枚の和が残り1枚の数字になってる」

よしこ「私のもまさるくんと同じで、2枚の和が残り1枚の数字になってる」

ひろしの3枚のカードの数字は?

Pfa021sPfa010sPfa020s





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ひろしの3枚のカードとして考えられるのは、2、3、6か、2、4、8です。

まさるとよしこは、どちらも2枚の数字の和が残りの1枚の数字になっているので、

2人とも3枚の数字の和は偶数です。

なぜなら、A+B=C→A+B+C=2×C なので、

すると、2人のカードを合わせた6枚の数字の和も偶数になります。

9枚の数字の和は、(1+9)×9÷2=45なので、

ひろしが2,3,6のとき残りの6枚の数字の和は、

45-(2+3+6)=34 で偶数となり条件を満たしますが,

ひろしが2,4,8のとき残りの6枚の数字の和は、

45-(2+4+8)=31の奇数となり条件を満たさないので、

ひろしの3枚は2,3,6とわかります。


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6の箱に入っている玉? (浅野中学 2014年)

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1から6の番号のついた箱がそれぞれ1つずつあります。これらの箱の中に、AからF までの文字が書かれた玉を、はじめにA は1の箱に、Bは2の箱に、Cは3の箱に、Dは4の箱に、E は5の箱に、F は6の箱に1つずつ入れます。こららの箱の中の玉に対し、次の操作を行います。

【操作】

1から3の番号の箱の中の玉は、箱の番号を2倍した番号の箱へ移します。

4から6の番号の箱の中の玉は、13から箱の番号の2倍を引いた番号の箱へ移します。

この操作を3回くり返した後の、

6の箱に入っている玉に書かれている文字はなんでしょうか?

Bo4

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A : 1、 B : 2、 C : 3、 D : 4、 E : 5、 F : 6

とします。

1~6の数に対し【操作】をすると、

 1→2→4→5

 2→4→5→3

 3→6→1→2

 4→5→3→6

 5→3→6→1

 6→1→2→4

となるので、6の箱に入るのは、最初に4の箱に入っていたです。

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2つの噴水の周期は?(慶應義塾中等部 2014年)

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ある池に 2つの噴水A,Bがあります。噴水Aは、水を60秒間ふき出して、30秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。

噴水Bは、水を80秒間ふき出して、70秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。このとき、次の問に答えなさい。

(1)噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから、次に同時にふき出し始めるまでに、何分何秒かかりますか。

(2)噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから28分間で、2つの噴水が同時にふき出している時間の合計は何分何秒ですか。

Sstac032s

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(1)噴水Aは、60+30=90秒のサイクル、

噴水Bは、80+70=150秒のサイクル なので、

噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから、

次に同時にふき出し始めるまでにかかる時間は、

90と150の最小公倍数の450秒、すなわち、

7分30秒です。

 

(2)450秒間で、A,Bが同時に水をふき出している時間は、下の図1のように

 Pic_3972a

160秒間あります。

28分=28×60=1680秒 で、

1680÷450=3あまり330秒 なので、

28分間で、A,Bが同時に水をふき出している時間は、

160×3+60+50+30=620秒=10分20秒 です。

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2014年8月26日 (火)

あっちむいてホイ!(渋谷教育学園幕張中学 2006年)

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太郎君と花子さんの2人で向かい合って次のようなゲームをします。

★ じゃんけんに勝った者は、指で右か左を指す

★ じゃんけんに負けた者は、顔を右か左に向ける

じゃんけんに勝った者と負けたものが同時にこの動作をして、指をさした方向と顔を向けた方向が同じ場合に、じゃんけんに勝った者をゲームの勝者とします。その他の場合は再びじゃんけんから始めて勝者が決まるまで同じ動作をくり返します。このとき、次の問に答えなさい。

(1)1回目のじゃんけんでゲームの勝者が決まるとき、勝者の決まり方は何通りありますか。

(2)1回目のじゃんけんが引き分けではなく、2回目のじゃんけんの後、ゲームの勝者が決まるとき、勝者の決まり方は何通りありますか。

2

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残った2枚の数はいくつといくつ?(聖光学院中学 2014年)

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1から12までの番号札が1枚ずつ,全部で12枚あります。

 

5人がそれぞれ2枚ずつ番号札を取ったところ,

 

取った番号札に書かれた数の和は,4,.8,12,18,22でした。

 

このとき,残った2枚の番号札に書かれた数はいくつといくつでしょうか?

Toy3013s

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1~12までの合計は、(1+12)×12÷2=78 なので、

残った2枚のカードの和は、78-(4+8+12+18+22)=14 です。

和が14になる組み合わせは、

2-12、3-11、4-10、5-9、6-8 ですが、

4は1-3の組み合わせしかなく、

22は10-12の組み合わせしかなく、

18は6-12、7-11、8-10 のどれかですが、10も12も可能性がないので、

7-11に決まり、

8は1-7、2-6、3-5 のどれかですが、1も7も3も可能性がないので、

2-6に決まり、

以上より、14になる可能性があるのは5-9しかなくなります。

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長方形の移動と重なり(雙葉中学 2014年)

長方形A,B,C が下の図のように一直線に並んでいます。

C だけが毎分5cmの速さで直線に沿ってA,Bの上を通り、

矢印の方向に動いていきます。このとき、次の問に答えなさい。

5011

Girl307747_150

(1)C がA,Bと重なる面積が一番大きくなるのは、

C が動き始めてから何分何秒後ですか。また、そのときの面積は何c㎡ ですか。

(2)C がA,Bと重なる面積が 480c㎡ となるのは、

C が動き始めてから何分何秒後と何分何秒後ですか。

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(1)下の図1と図2のときの面積を比べると、

重なっていない部分が図1から図2に進むにつれて減っていくことがわかります。

したがって、図2が重なった部分が最大になります。

Pic_3974a

実際に面積を計算してみると、

図1のときの重なった部分の面積は、

 20×17.5+3×25=425c㎡

図2のときの重なった部分の面積は、

 8×17.5+15×25=140+375=515c㎡

なので、図2のときが面積が最も大きくなり、

C が53cm移動したときなので、

 53÷5=10.6分=10分36秒後

です。

 

 (2)図1のとき、C は41cm移動しているので、

 41÷5=8.2分後=8分12秒後

です。

 

図1から図2まで、10.6-8.2=2.4分 をかけて

面積が 425c㎡ から 515c㎡ に 90c㎡ 増えます。

480c㎡ になるには、480-425=55c㎡ 増えればよく、

図1の状態から

 2.4×55/90=44/30分=1分28秒後

なので、

 8分12秒+1分28秒=9分40秒後

に、重なっている部分の面積が 480c㎡ になります。

 

次に、下の図3の状態では、重なっている部分の面積は375c㎡ です。

  Pic_3975a

このとき、C は61cm移動しており、

 61÷5=12.2分後=12分24秒後

の状態です。

 

図2から図3になるまでの間に、480c㎡ になるときがあります。

515-375=140c㎡  が 12.2-10.6=1.6分 で減っていて、

480c㎡ になるには、35c㎡ 減ればよいので、

 1.6×35/140=0.4分

で減ります。

よって、2回目に480c㎡ になるのは、10.6+0.4=11分後

とわかります。

ゆえに、重なっている部分の面積が480c㎡ になるのは、

動きはじめてから、9分40秒後と11分後 です。

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2014年8月25日 (月)

ノートは何ページありますか?(大妻中学 2010年)

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花子さんは1冊のノートを一方からは算数用,反対側からは国語用に使いました。ある日ノートを調べると,国語は算数より4ページ分多く使っていて,まだ使っていないページは全体の3割でした。
さらに,算数用に14ページを使ったら,ノートの半分は算数用に使ったことになりました,このノートは何ページありますか。

Sst005s

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Capture_2014_08_25_10_05_54_223

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立方体とすみの三角すいのイメージをつかもう!

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立方体の8つのすみから三角すいを切り取ると

残った立体の体積はもとの立方体の体積の何分のいくつになりますか?

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Capture_2014_08_25_09_33_12_406

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この立体の最小の表面積は?(渋谷教育学園渋谷中学  2013年)

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一辺の長さが1cmの立方体を19個積み重ねて、ある立体を作ったところ、

真上から見た図と正面から見た図は下のよう|こなりました。

この立体の表面積がもっとも小さくなるとき、その表面積は何c㎡ですか。

ただし、この立体の底面には9個の立方体がすぺてしきつめられています。

1

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Bandicam_20140615_132619812

図のような立体になるので、

上下が9×2=18c㎡

前後が8×2=16c㎡

左右が26c㎡

合計18+16+26=60c㎡

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水面下の表面積は?(甲陽学院中学 2010年)

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図のように,1辺の長さが5cmの立方体の箱を水にうかべると,

一部だけが水面上に出ました。

水面から上の部分の長さを測ると,4cm,1cm,3cmでした。

この箱の表面のうち,水面から下の部分の面積を求めなさい。

 

328

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Capture_2014_08_25_08_28_40_103

Capture_2014_08_25_08_28_57_353

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長さ比と体積比は?(開成中学 過年度)

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下の図1のような、底面の円の半径が15cmの円錐を、上から12cmの位置で底面と平行な面で切って、小さい円すいと、 円すい台に切り離したところ、小さい円すいの底面の円の半径は 5cmとなりました。このとき、次の問題に答えなさい。  

   Pic_3036q

(1)円すい台の体積は、小さい円すいの何倍になりますか?

(2)小さい円すいに水を満たし、円すい台に19杯注いだとき円すい台に満たされた水の高さは何cmになりますか?

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(1)小さい円すいと元の円すいの相似比が 1 : 3 なので、

    小さい円すいの体積 : 元の円すいの体積

 = 1×1×1 : 3×3×3  = 1 : 27

となります。

相似比 と 体積比 の関係については → こちら を参照

円すい台の体積は、元の円すいから小さい円すいの体積を引いたものなので、

小さい円すいの体積 : 円すい台の体積 = 1 : 27-1 = 1 : 26

とわかります。

よって、円すい台の体積は、小さい円すいの26倍です。

(2)元の円すいの体積は、小さい円すいの体積の27倍なので、

元の円すいには、小さい円すいで27杯の水が入ることになります。

19杯を満たしたとき、下の図2のようになります。

      Pic_3037a_2

上の「8杯」の部分は、8=2×2×2

元の円すい「27杯」は、27=3×3×3 で、

体積比 が 2×2×2 : 3×3×3 なので、

「8杯」の部分と元の円すいは、下の図3のように、

      Pic_3038a

相似比 2 : 3 であることがわかります。

小さい円すいと元の円すいの相似比が 1 : 3 で、

小さい円すいの高さが12cmなので、元の円すいの高さは、

    12×3=36cm ・・・ 図3の③ とわかり、

求める水が満たされた部分の高さは、図3の① の高さで、

    36÷3=12cm

と求められます。

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2014年8月23日 (土)

なぞの箱の秘密は?(白百合学園中学 2007年)

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連続した4つの数を入れると図Aのように出てくる【なぞの箱A】があります。

(1)まずはじめに、1234を【なぞの箱A】に入れます。2回目以降は、その出てきた数を再び【なぞの箱A】に入れます。これをくり返していくと、2007回目にはどんな数が出てきますか。

次に、連続した4つの数を入れると、図Bのように出てくる【なぞの箱B】を用意しました。

(2)はじめに、1234を【なぞの箱A】に入れ、2回目は、その出てきた数を【なぞの箱B】に入れ、3回目は、その出てきた数を【なぞの箱A】に入れ、・・・と、A,Bを交互に入れていきます。2007回目にはどんな数が出てきますか。

1

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Capture_2014_08_23_10_27_19_794

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30゜、60゜、90゜の三角形の面積を求める方法

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下の二等辺三角形の面積は何c㎡ですか?

1_2

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2_2

底辺の頂点から向かい合った辺に垂線を下ろすと、

△黄は30゜、60゜、90゜の三角形になり、

これは正三角形の半分です。

したがって、赤部分の底辺は8÷2=4cm

これは二等辺三角形の高さです。

二等辺三角形の面積=8×4÷2=16c㎡

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△ABCの面積は?(2010年算数オリンピック、トライアル問題より)

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三角形ABCのCA上にAE=BCとなるようにEをとります。

さらに、ECの真ん中の点をDとしたとき、

BD=15cm、角DBC=15°、角ADB=135°でした。

このとき、三角形ABCの面積を求めなさい。

1

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2

角BCDは135°- 15° =120°です。

ACをのばして、BC=CFとなるようにFをとります。

すると、角BCF=60°、BC=CFより三角形BCFは正三角形となります。

さらに、AFをのばしてFG=CDとなるようにGをとります。

すると、AE=CFなので、三角形AEB=三角形CFB、

ED=DC=FGより三角形EDB=三角形GFBとなります。

よって、三角形ABC=三角形BGDとなります。

ここで、三角形BCDと三角形BFGはBC=BF、CD=FG、

角BCD=角BFGなので合同だとわかります。

つまり、角DBC=角GBFでBD=BGとなります。

角DBC=15°なので、角DBGは90゜とわかります。

よって、三角形BGDは直角二等辺三角形とわかります。

BD=15cmなので、

三角形BGD=三角形ABC=15×15÷2=112.5c㎡です。 

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1と3と5が入っている数字の個数は?(頌栄女子学院中学 2014年)

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1、3、5、10、11、12、13、・・・・、73、75、81、83、・・・・、134、135、136、・・・・

というように、1、3、5のいずれかの数字が入っている整数を小さい順に並べました。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)2桁の整数は全部で何個ありますか。

(2)201は1から数えて何番目に出てくる整数ですか。

(3)1から数えて2014番目に出てくる整数は何ですか。

Apf0107s_2

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順番に数えてみます。

1~9 では、1、3、5の3個

10~19 では、10個

20~29 では、3個

30~39 では、10個

40~49 では、3個

50~59 では、10個

60~69 では、3個

70~79 では、3個

80~89 では、3個

90~99 では、3個

1~99 では、3×7+10×3=51個あることがわかります。

(1)2桁の整数は、51-3=48個 です。

(2)100~199 では、百の位が1なので、100個あります。

201は199の次なので、51+100+1=152番目となります。

(3)100~999までは、百の位が1、3、5ではそれぞれ100個なので、300個

それ以外の百の位では51個ずつあるので、51×7+300=657個

1000~1999 までは千の位が1なので1000個になり、

1999まででは1657個、

あと、2014-1657=357個です。

2499までで、51+100+51+100+51=353個

あと、357-353=4個 なので、

2500、2501、2502、2503・・・・・

2503です。

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ABの長さは?(市川中学 2011年)

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図のように,ABとCDは点0で直角に交わっています。

三角形OACと三角形OBDの面積の和が30c㎡,

三角形OBEと三角形OAFの面積の和が14c㎡のとき,

ABの長さを求めなさい。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

△黄と△緑の面積比=(5+2):3=7:3

△赤と△青の面積比=(7+3):5=⑩:⑤=②:①

△黄+△赤=7+②=30c㎡

△緑+△青=3+①=14c㎡

(△緑+△青)×2=6+②=28c㎡

比の(7-6)の1は→30-28=2c㎡にあたります。

比の①は8c㎡にあたります。

したがって、△緑の面積は2c㎡×3=6c㎡なので、

AO=6×2÷3=4cm

△青の面積は①=8c㎡なので、

BO=8×2÷5=3.2cm

AB=4+3.2=7.2cm

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うずまき図形の面積と長さは?(白陵中学 2014年)

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1辺の長さが1cmの正方形をたくさんつないで、

下の図のような図形を作りました。

Pic_3957q

(1)この図形の面積を求めなさい。

(2)この図形の周の長さを求めなさい。

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(1)下の図1の赤い部分と青い部分は面積が同じです。

Pic_3958a

この赤い部分と青い部分を広げていくと、

下の図2の赤い部分と青い部分の面積が等しくなります。

Pic_3959a

赤い部分と青い部分から成るところは、たて18cm、横17cmなので、

この半分と図2の黒い部分の面積の和が求める面積で、

 18×17÷2+17×1+18×1+1×1

=153+36=189c㎡

です。

 

<別解>

下の図3のように、この図形は、1+2+3+・・・+19-1

(最後の図形の黒い部分はふくまれないことに注意)となり、

Pic_3960a

求める面積は、

 (1+19)×19÷2-1=189c㎡

となります。

 

 (2)この図形は、189個の正方形がくっついて出来たものです。

正方形が並んだ場合の周の長さは、下の図4のように、

    Pic_3961a

2個の場合は6cm、3個の場合は8cm、4個の場合は10cm・・

と、2cmずつ増えていきます。曲げてつないでも長さは同じで、

(2×個数+2)cm になっているので、この図形の周の長さは、

  2×189+2=380cm

と求められます。

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2014年8月22日 (金)

4人が取ったカードは?(神奈川大学附属中学 2010年)

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1から13までの整数をひとつずつ書いた13枚のカードがあります。A,B,C,Dの4人が,この中から1枚ずつ取り出したところ,(ア)~(ウ)であることがわかりました。

(ア)Aが取ったカードの数は,Bが取ったカードの数の3倍である。

(イ)Aが取ったカードの数と,Cが取ったカードの数の差は4である。

(ウ)Cが取ったカードの数は,Aが取ったカードの数とDが取ったカードの数の平均である。

このとき,4人が取ったカードの数の合計はいくつですか。考えられるすべての場合を答えなさい。

Toy3013s

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(ア)より,AとBの組み合わせは、

(A,B)=(3,1),(6,2),(9,3),(12,4)

の場合が考えられます。

① (A,B)=(3,1)のとき

C=3+4=7

D=7×2-3=11 ・・・で成り立ち、

A+B+C+D=3+1+7+11=22

② (A,B)=(6,2)のとき

C=6+4=10のとき、D=10×2-6=14 ・・・成り立ちません。

C=6-4=2 ・・・Bと同じになり、成り立ちません。

③ (A,B)=(9,3)のとき

C=9+4=13のとき、D=13×2-9=17・・・成り立ちません。

C=9-4=5のとき、D=5×2-9=1・・・成り立ち、

A+B+C+D=9+3+5+1=18

④ (A,B)=(12,4)のとき

C=12-4=8のとき、D=8×2-12=4・・・Bと同じになり、成り立ちません。

よって、22と18です。

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差集め算の面積図利用法

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1個180円のりんごを何個か買う予定でしたが,1個120円のみかんに変更したところ,5個余分に買えました。

(1)180円のりんごは何個買う予定でしたか。

(2)みかん代はいくらでしたか。

Ilm23_ba02001sIlm04_ab13001s

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面積図で表してみます。

1_3

面積の等しい図形の一部が重なっている場合,

重なっている部分の面積はもちろん等しく、

重なつていない部分の面積も等しくなります。

つまり、アとイの部分の面積が等しくなるということです。

2_2

イの面積は,120円×5個=600円になるので,

アの面積も600円です。

アの縦の長さは,180円-120円=60円

アの横の長さは,

600円÷60円=10個 とわかります。

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なしとりんごはいくつ?(1994年算数オリンピック団体リレー問題より)

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なしとりんごがあります。

なしは全体の3/5より17個少なく、

りんごは全体の4/7より31個少ないとき、

なしとりんごはそれぞれいくつあるでしょうか?

Ilm11_ad01020s

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小学生が解く問題ですが、連立方程式を立ててみます。

小学生では消去算。

なし=□、りんご=△ とすると、

□=(□+△)×3/5-17・・・①

△=(□+△)×4/7-31・・・②

①を変形して、

5×□=3×□+3×△-85

2×□=3×△-85・・・③

②を変形して、

7×△=4×□+4×△-217

3×△=4×□-217・・・④

③の3×△に④の3×△を代入すると、

2×□=4×□-217-85

2×□=4×□-302

2×□=302

□=151個

302=3×△-85

3×△=387

△=129個

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ちょっと難問! 何通りあるでしょうか?(2014年 麻布中学)

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決められた何種類かの整数を足し合わせて1つの整数を作る方法を考えます。

例えば,1,2,3のみを用いて5を作る方法は,

3+2,3+1+1,2+2+1,2+1+1+1,1+1+1+1+1

の5通り考えられます。ただし,足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。

2,3,5のみを用いて30を作る方法は全部で何通りありますか。

Apf0507s

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全部5の場合、5+5+5+5+5+5・・・・・1通り

全部3の場合、3+3+3+・・・・+3(3が10個)・・・・・1通り

全部2の場合、2+2+2+・・・・+2(2が15個)・・・・・1通り

2と5で30にするには、

全部2の場合の

5個分(2×5)を5+5に、

10個分(2×10)を5+5+5+5にする、・・・・・2通り

3と5で30にするには、

全部3の場合の

5個分(3×5)を5+5+5にする、・・・・・1通り

2と3で30にするには、

全部2の場合の

3個分(2×3)を3+3に、

6個分(2×6)を3+3+3+3に、

9個分(2×9)を3+3+3+3+3+3に、

12個分(2×12)を3+3+3+3+3+3+3+3にする、・・・4通り

2と3と5で30にするには、

5が1つの場合、残り25なので、(奇数なので3の個数も奇数個)

  3が1つの場合、残り22を全部2に、

  3が3つの場合、残り16を全部2に、

  3が5つの場合、残り10を全部2に、

  3が7つの場合、残り4を全部2にする、・・・・・4通り

5が2つの場合、残り20なので、(偶数なので3の個数は偶数個)

  3が2つの場合、残り14を全部2に、

  3が4つの場合、残り8を全部2に、

  3が6つの場合、残り2を2にする、・・・・・3通り

5が3つの場合、残り15なので、(奇数なので3の個数も奇数個)

  3が1つの場合、残り12を全部2に、

  3が3つの場合、残り6を全部2にする、・・・・・2通り

5が4つの場合、残り10なので、(偶数なので3の個数は偶数個)

  3が2つの場合、残り4を全部2にする、・・・・・1通り

5が5つの場合、残り5なので、(奇数なので3の個数も奇数個)

  3が1つの場合、残り2を2にする、・・・・・1通り

全部で、1+1+1+2+1+4+4+3+2+1+1=21通り

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どう工夫して計算しますか?(高槻中学 2009年)

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9682-2741+1473-4969+3525+5857-8396+7238-6114

 

時間をかけさえすれば誰にでも計算できますが、

あとの問題に時間をとっておきたいですよね。

どうスピードアップしますか?

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Capture_2014_08_22_08_40_57_943

Capture_2014_08_22_08_41_14_523

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どんな規則?(早稲田実業中等部 2008年)

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ある規則にしたがって次のように数が並んでいます。

 1段目 1
 2段目 3 5
 3段目 7 9 11
 4段目 13 15 17 19
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


ある段に並んでいるすべての数をたしたら,3375になりました。

その段は何段目ですか。

Girl305519_150

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Capture_2014_08_22_08_26_55_262

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約数の和はいくつ?(横浜共立学園中学 2012年)

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A は0でない整数とし、<A>はAの約数の和を表すものとします。

たとえば、<8>=1+2+4+8=15 です。

(1)<16>-<25>を求めなさい。

(2)<A>=24 となるA は全部で 3個あります。すべて答えなさい。

Hpsd1201cs_2

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(1)

<16>=1+2+4+8+16=31

<25>=1+5+25=31

よって、<16>-<25>= です。

 

(2)

まず、24以上の数になると、<A>=1+A 以上なので

<A>=24 になりません。よって、23までの数で考えます。

1+A=24 となる A は、A=23 で、23は他に約数がないので

A=23 が1つ決まります。

 

調べてみると、素数(1とその数しか約数がないもの)は、23だけが成立します。

次に、Aが素数の2より大きい2の倍数のものを考えると、

<A>=1+2+(A÷2)+A=24

より、(A÷2)+A=21 で、これが成り立つのは A=14 です。

確かに、<14>=1+2+7+14=24 で成り立ちます。

 

次に、同じ方法でAが3より大きい3の倍数のものを考えると、

<A>=1+3+(A÷3)+A=24

より、(A÷3)+A=20 で、これが成り立つのは A=15 です。

確かに、<15>=1+3+5+15=24 で成り立ちます。

これで3つ見つかりました。

 

以上より、<A>=24 となるのは、A=14,15,23 です。

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2014年8月21日 (木)

小さな正三角形を6個にできますか?

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マッチ棒26本を使って14個の小さな正三角形を作りました。

ここから8本のマッチ棒を取り除いて、

小さな正三角形を6個にしてください。

1

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解答例

2

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円すいを切った体積(大妻中学 2013年)

下の図1は、底面の半径20cm、高さ40cmの円すいの形の容器から、

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底面の半径10cm、高さ20cmの円すいの形の容器(図2)を取り除いたものです。

図3は、図2の容器をひっくり返して、図1の容器の中に入れたものです。

図3の容器に水を入れると、水面は AB のまん中の点M のところになりました。

入れた水は何立方cmでしたか。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

Pic_3925q

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図2の容器のうち、図3で水に入っている部分は、

下の図4の点Bと点Nの間の部分です。

    Pic_3926a

円すいの先端を点O として、

点Oから点N までの部分の小さい円すいの体積を【1】とすると、

点N は OB のまん中の点なので、相似比 1 : 2 より、図2の円すいの体積は、

2×2×2=【8】となり、

図3で水に入っている部分の体積は、【7】です。

次に、下の図5のように、点Mで図1の円すいを切ったものを考えると、

   Pic_3927a

ON : OM = 1 : 3 なので、図5の色の付いた部分の体積は、

3×3×3=【27】 です。

よって、水の体積は、【27】-(【8】+【7】)=【12】 です。

【1】=5×5×3.14×10÷3 なので、

求める水の体積は、

5×5×3.14×10÷3×12=3140立方cmです。

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2014年8月17日 (日)

定価と値引きの関係をつかむ!!(大阪星光学院中学 2013年)

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次の文章の【   】にあてはまる数を入れ、

高いか安いかを選んでください。

「定価の10%引きの10%引き」の価格は、「定価の20%引き」の

価格よりも、定価の 【 ア 】% だけ 【 高い ・ 安い 】。

また、「税込み価格から5%引き」の価格は、「税抜き価格」よりも

税抜き価格の 【 イ 】% だけ 【 高い ・ 安い 】。

ただし、消費税は5%とします。

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定価を100円とすると、定価の10%引き=90円

定価の10%引きの10%引き = 81円 です。

定価の20%引き=80円 なので、

2つの値段の差は 1円です。

1円は、定価の100円の 1% で、

これだけ 高い ことがわかります。

 

次に、定価100円の税込み価格は、105円です。

105円の5%引きの価格は、

105-(105×5/100)=99.75円 なので、

税抜き価格の100円よりも、0.25円 安い です。

0.25円は、100円の 0.25% です。・・・ 【 イ 】

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黒球の100個目は何番目?(城北中学 2013年)

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下の図のように、

白球と黒球を、ある規則に従って左から1列に並べました。 

Pic_3883q

 

このとき、黒球の100個目は、左から何番目にありますか。

Bo4

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黒球は、1+2+3+・・・ となっていて、間に1個ずつ白球が

あります。

 1+2+3+・・・+13=91

 1+2+3+・・・+14=105

なので、100個目の黒球までに、白球が14個あるので、

100個目の黒球は、左から数えて、100+14=114番目

です。

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どんな規則?(早稲田実業中等部 2008年)

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ある規則にしたがって次のように数が並んでいます。

 1段目 1
 2段目 3 5
 3段目 7 9 11
 4段目 13 15 17 19
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


ある段に並んでいるすべての数をたしたら,3375になりました。

その段は何段目ですか。

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Capture_2014_08_17_07_16_05_661

Capture_2014_08_17_07_16_15_628

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角度は?面積比は?(白百合学園中学 2003年)

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下図のような直角三角形ABCがあります。

AEを折り目として三角形を折ると、辺ABは辺ACと重なり、

CDを折り目として三角形を折ると、辺BCは辺ACと重なり、

頂点Bは点Fと重なります。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_0744q_2

(1)角①(角AHD)の大きさを求めなさい。

(2)三角形AGFの面積は、三角形ABCの面積の何倍か求めなさい。

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(1)角①=角HAC+角HCA です。

AE,CDで三角形を折り返すと、AB,BCがACと重なるので、

角EAB=角EAC、角DCA=角DCB となります。

  Pic_0745a

上の図1のように、それぞれの角度を■、▲と表すと、

角BAC+角BCA=180-角B=90度なので、

■+■+▲+▲=90度となり、■+▲=90÷2=45度と

求められます。

よって、角①は45度です。

 

(2)面積が何倍かを問われているので、面積比を求めます。

まず、BCとCFの長さは等しく4cmなので、AF=1cmです。

三角形AGFと三角形ABEは、3つの角度が等しいので相似で、

相似比はAF:AB=1:3 なので、面積比=1×1:3×3=1:9

とわかります。

次に、AEで三角形を折り返したときに頂点BがAC上にくるところを点 I とすると、

AB=AI =3cmで、C I =2cmとわかります。

すると、三角形AIEの面積:三角形CIEの面積=AI:IC=3:2

となります。

Pic_0746a_2

図2のように、三角形ABCは、

三角形ABE+三角形AIE+三角形CIE と等しくなり、

三角形ABEの面積 = 三角形AIEの面積

三角形AIEの面積 : 三角形CIEの面積 = 3 : 2で、

三角形AGFの面積 : 三角形ABEの面積 = 1 : 9 より、

三角形AGFの面積 : 三角形ABCの面積=1:9+9+6=1:24

という面積比になるので、

三角形AGFの面積は、三角形ABCの面積の24分の1倍です。

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2014年8月16日 (土)

何故そうなるのか、その理由は?(駒場東邦中学 2006年)

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下の図の三角形ABC は、角Aの大きさが30度、

辺BCの長さが 10cmで、その面積は92c㎡ です。

辺BC,CA,ABの上にある 点をそれぞれX,Y,Z とします。

また、点X の辺AB,AC に関して線対称となる点をそれぞれP,Q とします。

このとき、次の問に答えなさい。

            Pic_3159q

(1)三角形XYZの周の長さは、

     4点P,Z,Y,Qを結ぶ折れ線の長さに等しくなります。

     その理由を説明しなさい。

(2)三角形APQはどのような三角形になりますか。

    その理由も説明しなさい。

(3)三角形XYZの周の長さが最も短くなるように、

     点X,Y,Z の位置を決めたとき、その長さを求めなさい。

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(1)まず、点P,Qの位置は、下の図1のように、点X から辺AB,AC に垂線を下ろして、

交点をそれぞれ点D,E としたとき、

DX=PX、EX=QX となるように垂線を延ばしていったところになります。

     Pic_3160a

ここで、三角形ZPX、YQX について考えると、下の図2より

     Pic_3161a

点Z から 辺PX に垂線を下ろすと、辺PX が2等分されているので

三角形ZPX は二等辺三角形であるといえます。

同様に、三角形YQX も二等辺三角形であるといえます。

よって、XZ=PZ,XY=QY となるので、三角形XYZ の周の長さは

4点P,Z,Y,Q を結ぶ折れ線の長さと等しくなります。

 

(2)続いて、下の図3のように三角形APX,AQX を考えると

     Pic_3162a

(1)と同様に、頂点A から辺PX,QX に下ろした垂線は、

底辺を二等分しているので、三角形APX,AQX は二等辺三角形ということがいえます。

よって、AP=AX=AQ とわかります。

AD,AE は角の二等分線なので、下の図4のように

角XAD=■、角XAE=● とすると、■+●=30°なので

     Pic_3163a

角PAQ=60° とわかります。

ゆえに、三角形APQは、AP=AQで、角A=60°の二等辺三角形、

すなわち、正三角形 です。

(3)(1)より、三角形XYZ の周の長さは、PZ+ZY+YQ の長さに等しいので、

この長さが最短となるのは、4点P,Z,Y,Q が下の図5のように一直線に並んだときで、

Pic_3164a

この長さは正三角形APQ の1辺の長さに等しいです。

つまり、三角形AQP の1辺の長さが最も短くなるのがどんなときかを考えると、

AP=AQ=AX なので、

AX の長さが最も短くなるときです。

点X は辺BC 上の点なので、AX の長さが最も短くなるのは、

点A と辺BC のキョリが最短となる位置に点X があるときで

点X が点A から辺BC に下ろした垂線との交点にあるときです。

このとき、AX の長さは、三角形ABC の面積が92c㎡、

辺BC=10cm なので、

AX=92×2÷10=18.4cm

と求められ、三角形XYZの周の長さが最短となるとき、

その長さは、18.4cm です。

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2014年8月15日 (金)

面積は何倍になる?(第5回算数オリンピック、トライアル問題より)

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図のように、一辺が6cmの正三角形を4つの部分に切りました。

正三角形の頂点から、1cmのところから、30°にハサミを入れて、

中央に小さな正三角形ができるようにしたものです。

斜線部分全体の面積は中央の小さな正三角形の面積の何倍ですか。

1

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図のように、3つの頂点に底角30°、2辺が1cmの二等辺三角形を継ぎ足します。

2

継ぎ足した部分の面積は下図のように、1辺が1cmの正三角形と等しくなります。

3

また、図のように、三色の合同な二等辺三角形を頂角で合わせると、

1辺が6cmの正三角形の面積に等しくなることがわかります。

4

つまり継ぎ足した3つの二等辺三角形の面積の和は、

中央の小さな正三角形の面積に等しくなります。

一辺が1cmの正三角形の面積をAとすると、

中央の小さな正三角形の面積は3Aとなり、

もとの大きな正三角形は1辺が6cmなので、面積は36A、

この大きな正三角形から中央の小さな正三角形をのぞいた面積は、

36A-3A=33A

したがって、小さな正三角形の面積との比は、

33A÷3A=11で、

11倍です。

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進む時計と遅れる時計の考え方(頌栄女子学院中学 2011年)

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1時間に2分の割合でおくれる時計A と、1時間に5分の割合で進む時計B があります。午後3時にこの2つの時計を合わせました。この日、時計A が午後9時46分を指しているとき、時計B は午後何時何分を指していますか。

Imagescatko8l9 Tokei

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2つの時計は、正確な時間で1時間の間に、

A は58分、B は65分 進みます。

つまり、2つの時計の進む比は、58:65 です。

A が午後9時46分までに、6時間46分=406分

進んだとき、B は、

58 : 65 = 406 : □

より、□=65×406÷58=455分=7時間35分 進み、

時計B の指している時間は、午後10時35分 とわかります。

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真ん中より20mだけズレた地点で・・・?(田園調布学園中等部 2014年)

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P,Qの2地点からA君,B君の2人が向かい合って

それぞれ分速80m,分速78mで同時に進んで行くと,

PQ間の真ん中より20mだけQに近い地点で出会いました。

PQ間の距離は何mですか。

9221

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1_2

図のように、2人が出会ったところまで、

Aは中間点+20m

Bは中間点-20m  なので、

2人が進んだ距離は20×2=40mの差がついています。

1分間で80-78=2mの差がつくので、

40mは40÷2=20分間の差になります。

20分間にAは80×20=1600m

Bは78×20=1560m 進むので、

PQ間=1600+1560=3160m です。

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見える部分の面積は?(第4回 ジュニア算数オリンピック ファイナル問題)

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1辺8cmの立方体があります。

この立方体の上の面の各辺のまん中の点に

下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。

同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。

7個積み上げたとき、

外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何c㎡ですか。

ただし、塔の底の面積(床についている部分)は含みません。

1123

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紙テープを折ったら・・・(麻布中学 2006年)

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下の図1のような幅2cm、周の長さ 52cm の紙テープの輪があります。

それを下の図2のように折って、平らにします。

このとき四角形ABCD は横に長い長方形です。

下の図3の色の付いた部分の面積は長方形ABCD の面積の2倍になりました。

このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3967q

   Pic_3968q_2

    Pic_3969q_2

(1)長方形ABCD の周の長さは何cm ですか。

(2)AB の長さと BC の長さはそれぞれ何cm ですか。

    ただし、AB より BC の長さの方が長いものとします。

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(1)EH+HI+IL+EL=52cm で、

下の図4のEA、BH、CI、CL の4か所を除くと長方形ABCDの周の長さになります。

  Pic_3970a

52-2×4=44cm が周の長さです。

 

(2)紙テープの面積は 2×52=104c㎡  に対し、

下の図5の黄色い部分(長方形ABCDを除いた部分)の面積は

  Pic_3971a

104-(2×2÷2×4個 : 三角形AFEの面積4個分)=96c㎡

なので、長方形ABCD の面積も 96c㎡ です。 

(1)より、AB+BC=44÷2=22cm で、

AB×BC=96c㎡ です。

このようになる AB、BC を求めます。

 96=16×6

より、AB=6cm、BC=16cm と求められます。

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2014年8月14日 (木)

砂糖水の濃度は???(白百合学園中学 2007年)

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一定の割合で水を入れて砂糖水を作る機械があります。

砂糖だけが入ってた容器Aをこの機械に入れたところ、

25秒後に20%の砂糖水になりました。

さらにあと何秒たつと容器Aは4%の砂糖水になりますか。

Ilm2007_03_0072s

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仕事算を線分図で解くと・・・

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A、B、C3人で働けば10日間で仕上がる仕事があります。

もし、Cが2日休めば、その分をAとB2人が1日多く働くか、

またはB1人が4日多く働かなければ、この仕事は仕上がりません。


(1)Cが1人でこの仕事を仕上げるには、何日働けばよいですか。

(2)Aが1人でこの仕事を仕上げるには、何日働けばよいですか。

conflict-405744_150

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平均点は何点?(1994年算数オリンピック、1次問題から)

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太郎君は、算数のテストを①~⑥の6回受けたところ、平均点はA点でした。

③~⑥のテストの平均点はA点より3点高く、

①と②と⑥の3回のテストの平均点はA点より3.6点低かったそうです。

では①~⑤の平均点はA点より何点高かったか低かったか、

計算してください。

Sli068s

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③+④+⑤+⑥→3×4=12点A点より高かったわけです。

すると、①+②は逆にA点より12点低かったことになり、

①+②+⑥→3.6×3=10.8点A点より低いので、

⑥は12-10.8=1.2点A点より高かったことになるので、

①+②+③+④+⑤→は逆にA点より1.2点低かったわけで、

平均点は1.2÷5=0.24点低かったことになります。

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サイコロゲーム問題 (洛星中学 2012年)

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3個のサイコロを同時に投げ、出た目の積を得点とするゲームをします。このゲームを3回行ったところ、2回目の得点は1回目の得点の半分、3回目の得点は2回目の得点の半分になり、3回の得点の合計は210点でした。このとき、次の問に答えなさい。

(1)1回目、2回目、3回目の得点はそれぞれ何点ですか。

(2)3回とも必ず出ている目があります。その目を答えなさい。

(3)3回のゲームの中で、1回も出ていない可能性のある目をすべて答えなさい。

1_2

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(1)3回目の得点を【1】とすると、2回目の得点は【2】で、

1回目の得点は【4】です。合計【7】で210点なので、

1回目は、120点、2回目は、60点、3回目は、30点

とわかります。

 

(2)それぞれの得点を出すような目を考えます。

120=4×5×6 より、4,5,6の目しかありません。

60=2×5×6=3×4×5 より、(2,5,6)または(3,4,5)

30=1×5×6=2×3×5 より、(1,5,6)または(2,3,5)

すべてに共通しているのは、5 の目です。

 

(3)4,5,6 は120を出すために必要です。

1の目は、1回目も2回目も出ていないので、

3回目が(2,3,5)なら1回も出ないことがありえます。

2の目は、2回目が(3,4,5)、3回目が(1,5,6)ならば、

1回も出ないことがありえます。

3の目は、2回目が(2,5,6)、3回目が(1,5,6)ならば

1回も出ないことがありえます。

 

よって、1回も出ていない可能性のある目は、1,2,3 です。

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くりぬいた立方体の体積と表面積は?(神戸女学院中等部 2010年)

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1辺が1cmの立方体を積み上げて、

図のような1辺5cmの立方体を作りました。

次に、緑の部分を反対側の面までまっすぐくりぬきます。

くりぬいた後の体積と表面積を求めなさい。

1

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体積

くりぬかれた段は1つの立方体が重なっているので、

9個なくなっています。

したがって、5×5×5-9×3=98立方cm

表面積

2~4段のくりぬかれた部分の表面積は図のようになります。

上下の段でくりぬき部分の接しているところが3c㎡になり、

たてと横が重なるところが上下の面の2c㎡になります。

2段目→4×6+3×2+2=32c㎡

3段目→4×4+3×4+2=30c㎡

4段目→4×6+3×2+2=32c㎡

増えた面積→32×2+30=94c㎡

2

表面は3×4=12c㎡減るので、

合計は、5×5×6+94-12=232c㎡

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2014年8月13日 (水)

ボールはいくつ?(獨協中学)

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ある中学のテニス部で部員がボールを運びます。部員全員が10球ずつ運ぼうとすると40球残ってしまいます。そこで、16人いる1年生の部員が1人8球ずつ、上級生が1人12球ずつ持つとちょうど運べました。ボールは何個あったのでしょうか?

1_3

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1年生は16人なので10球ずつ運ぶと、
10球×16人=160球
1年生16人が8球ずつ運ぶと、
8球×16人=128球
(1年生が10球ずつ)-(1年生が8球ずつ)
=160球-128球=32球の差です。
(1年生が10球ずつ、上級生が10球ずつ運ぶ場合)は40球余り、
(1年生が8球ずつ、上級生が12球ずつ運ぶ場合)はちょうど運べるので、
(上級生が12球ずつ)-(上級生が10球ずつ)=32球+40球
=72球の差があることがわかります。
72球÷(12球-10球)=36人 が上級生の数ですから、
ボールの数は→10球×(16人+36人)+40球=560球 

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倍数算の解き方

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校庭で遊んでいる男子の数は、女子の4倍でした。新しく男子も女子も16人ずつ校庭に出てきました。すると、男子は女子の3倍になりました。はじめ校庭にいた男子と女子は、それぞれ何人だったのでしょうか。

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正六角形の性質(中央大学横浜山手女子中学 2010年)

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基本レベル

下の図の正六角形の面積は60c㎡です。

AGとGBの長さの比が1:3の時、斜線部の面積を求めなさい。

906

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何人の班ができますか??(京都産業大学附属中学 2011年) 

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生徒数が30人のクラスがあります。

以下の条件で班を作り、1年間掃除をします。

1年間の授業日数は230日とします。授業がある日は必ず掃除をします。

各班の人数は等しくします。1人あたりの掃除の回数は等しくします。

1人あたりの掃除の回数は、40回以上50回以下とします。

このとき、各班の人数は何人でしょうか? 

Lspf0103cs

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各班の人数として考えられるのは、30の約数で

1,2,3,5,6,10,15,30 です。

 

班が1人構成の場合、30日に1回掃除が回ってきて、

230÷30=7あまり20 となり、7回掃除をする人と

8回掃除をする人ができてしまいます。

(230を割り切れないといけないということです)

 

班が2人構成の場合、15日に1回掃除が回ってきて、

230÷15 → 割り切れません

 

班が3人構成の場合、10日に1回掃除が回ってきて、

230÷10=23 → 掃除の回数は40回以上50回以下

という条件に反します。

 

班が5人構成の場合、6日に1回掃除が回ってきて、

230÷6 → 割り切れません

 

班が6人構成の場合、5日に1回掃除が回ってきて

230÷5=46回 → 条件を満たします。

 

班が10人構成の場合、3日に1回掃除が回ってきて

230÷3 → 割り切れません

 

班が15人構成の場合、2日に1回掃除が回ってきて、

230÷2=115回掃除 → 条件を満たしません

 

班が30人構成の場合、毎日掃除が回ってきます。

もちろん条件を満たしません。

 

よって、班は6人です。

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いちばん小さい答えはいくつ?(攻玉社中学 2014年)

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次のア、イ、ウに、それぞれ+、×、÷の記号を入れて計算をします。

+、×、÷の記号はそれぞれ1回ずつ使います。

5 ア 4 イ 3 ウ 2 =

+、×、÷ の入れ方を変えて答えの大小を比べたときに、

もっとも小さいときの答えはいくつですか。

Student148613_150

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5+4×3÷2=11

5+4÷3×2=7と2/3

5×4+3÷2=21と1/2

5×4÷3+2=8と2/3

5÷4+3×2=7と1/4

5÷4×3+2=5と3/4

以上より、5と3/4

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2014年8月12日 (火)

注意力が必要な文章題(桜蔭中学 2014年)

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Aさんは、日曜日にバスと電車を乗りついで楽器を買いに行きました。

Aさんの自宅から楽器店までは、片道のバス料金が250円、

片道の電車賃が1190円かかります。

楽器店では、閉店セールを行っていたため、すべての楽器が半額でした。

しかし、平日に買うと、さらに3割引きになるということがわかりました。

定価が何円以上の楽器のとき、今日の楽器の代金より、

平日に出直した時の交通費と楽器代を合わせた金額の方が低くなりますか。

ただし、楽器の定価は100の倍数とします。

Girl307747_150

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半額になった価格を□とすると、

□-2×(250+1190)=0.7×□ となる□を計算すると、

0.3×□=2880

□=9600円のとき、今日と平日が同じになります。

定価はその倍の、9600×2=19200円より高い100の倍数ですから、

19300円になります。

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12346789を使って整数を・・・(第3回算数オリンピック、決勝問題から)

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1、2、3、4、6、7、8、9の8つの数字をならべて、

1、2、3、4、6、7、8、9のどの数によっても割り切れる整数を作ります。

各数字は、必ず1度は使い、また、何度使っても構いません。

このようにして作る整数のうち、最小のものはいくつですか?

Teacher23304_150

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1、2、3、4、6、7、8、9で割り切れるには、7×8×9で割り切れればOKです。

9の倍数は、各位の数の和が9の倍数なので、

1+2+3+4+6+7+8+9=40だから、あと5を加えて45にします。

5はないので、1と4か2と3ですが1と4の方が小さい数にできるので、

1と4を使って最小の数にすると、1123446789が考えられます。

次に8の倍数であるためには、下3けたが8の倍数となるので、

下1けたを偶数の8にして、789を並べ替えると、798も978もどちらも不適当、

そこで6も加えて、下4けたの偶数を小さい順に並べると、

7698、7896、7968、7986、8796、8976、9678、9768、9786、9876
  
このうち下3けたが8の倍数となるのは、

7896、7968、8976、9768

112344÷7=16049・・・1(あまり)なので、

あまりの1を万の位に置いて、それぞれ7で割ってみると、

割り切れるのは19768なので、

最小の数は、1123449768

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積み木の表面積は?(雙葉中学 2014年)

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Pic_3800q

上の図1のような直方体の積み木を9個、図2のように、たて、横、交互に積み上げました。その後、図3のようにア → イ → ウ の順に積み木を引きぬいて積み上げました。

図3の立体の表面積は何c㎡ですか。(床に接している下の部分も含みます)

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図3の立体をウの面の方向から見ると、下の図4の赤線の部分は、

積み木が重なっている部分(表面積とは言えない部分)で、

7か所あり、反対側から見たときも7か所で、

合計14か所となります。

   Pic_3801a

この重なった部分は、3cm×3cm=9c㎡ で、

積み木と積み木が重なっているとき、

上下の積み木2つ分に 9c㎡ の重なりがあるので、

1か所につき、9×2=18c㎡ の重なりがあることがわかります。

重なりは14か所あるので、14×18=252c㎡ になります。

求める表面積は、積み木 9個の表面積から、

252c㎡ を除けばよく、

(9×2+9×3+2×3)×2×9-252

=51×18-14×18=37×18

666c㎡

となります。

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カエルぴょこぴょこ(浦和明の星女子中学 2011年)

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あるところに、冬でも活動する不思議なカエルがいました。このカエ ルは、山の斜面を1回のジャンプで10cm登ることができます。このカエルは、ジャンプを始めると、ジャンプとジャンプの間に一定の時間をおきながら、続 けて20回のジャンプをします。このとき、ジャンプを始めてから最後のジャンプで着地するまで5分かかります。その後、10分間休みます。このカエルは、 このような5分間のジャンプと10分間の休みをくり返しながら山の斜面を登っていきます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)このカエルは、山の斜面でジャンプを始めてから55分後には何 m 登ったところにいますか。

(2)このカエルが山の斜面を登って行くと、氷の斜面にたどり着きました。氷の斜面では、ジャンプで着地してから次にジャンプをするまでの間に 2cm下がってしまいます。また、10分間の休みを取っている間にも 80cm下がってしまいます。

【1】この氷の斜面では、ジャンプを始めてから続けて20回のジャンプをして最後に着地するまでに、どれだけ登ることができますか。

【2】この氷の斜面は 9m 続いていました。この氷の斜面の一番下からジャンプを始めると、氷の斜面の一番上に到達するまでに、どれだけの時間がかかりますか。

2

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Capture_2014_08_12_07_51_28_528

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べん図を使うと解きやすい問題(開成中学 2005年)

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40人の生徒に対して、問題A,B の2題によるテストを行いました。得点は、2題とも正解ならば10点、A,B のどちらか1題だけが正解ならば5点、どちらも不正解ならば0点としました。その結果について、次のことがわかっています。

(ア)40人の平均点は、ちょうど6点でした。

(イ)得点が0点と5点の生徒は、合わせて30人いました。

(ウ)問題A が正解だった生徒の人数は、問題B が正解だった生徒の人数の2倍でした。

このとき、問題A が正解で、問題B が不正解だった生徒は何人か求めなさい。

Ilm07_aa02003s

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問題文より、10点の生徒は10人ということがわかります。

40人の平均点が6点なので、

点数の合計は、40×6=240点とわかり、

そこから10点の生徒の点数を引くと、

240-10×10=140点 が、5点の生徒の合計点数

ということになります。

よって、5点の生徒の人数 (AまたはBが正解だった生徒)は、

140÷5=28人 とわかります。

下の図のように、「べん図」を描くと、

 Pic_2745a

A が正解だった生徒の人数は、

B が正解だった生徒の人数の2倍で、

 【A だけが正解だった生徒数】=A

 【B だけが正解だった生徒数】=B

とすると、A+B=28人 で、A+10(人)は、B+10(人)の2倍

ということになります。

このことから、28+10+10=48人 が 2 : 1に分かれると、

Aが正解だった生徒数とBが正解だった生徒数がわかり、

それぞれ 32人 と 16人 となります。

 

よって、A だけが正解だった生徒は、32-10=22人 です。

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相似になる△はどれとどれ?(武蔵中学 2011年)

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図のように、面積が40c㎡の三角形ABCの辺の上に4つの点D,E、F、Gがあり、DEFGは長方形で、角Cは45゜、BC=10cm、DG=6cmです。このとき、三角形ADGの面積と三角形DBEの面積を求めなさい。

 

2081

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Capture_2014_08_12_06_24_57_116

Capture_2014_08_12_06_25_30_843

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2014年8月11日 (月)

遅れる時計と進む時計の時計算(開成中学 2005年)

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1時間に6分の割合で遅れる時計Aと、

1時間に6分の割合で進む時計Bがあります。

両方の時計を正しい1時の時報に合わせます。時報に合わせてから、

時計Aの長針と短針の間の角度が初めて90°になるとき、

時計Bは何時何分何秒をさしていますか。

M1b2a003csM1b2a009cs

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時計Aは正確な時計の54/60=9/10の速さなので、

時計Aの長針は1時間に360×9/10=324°進み、

1分間に324÷60=5.4°進みます。

時計Aの短針は1時間に30°×9/10=27°進み、

1分間に27÷60=0.45°進みます。

1時から長針と短針が90°になるには、

長針が30°+90°=120°の差を短針につける時間です。

120÷(5.4-0.45)=800/33=24と8/33 分です。

これは正確な時間なので、

時計Bはこの時間よりも、66/60=11/10進んだ時刻をさしています。

したがって、800/33×11/10=80/3=26と2/3分

1時26分40秒をさしています。

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A、B、Cはいくつ?(2006年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題から)

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図の中の数字はある決まりに従っています。

A、B,Cはいくつですか?

1

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2円が重なった部分は、その2円が重なっていない数字の平均です。

したがって、

A=18×2-10=26

B=25×2-26=24

C=(24+12)÷2=18

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カードに書かれた数の推理(女子学院中学 2014)

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9枚のカードに漢数字の一から九までを1つずつ書き,その裏に算用数字の1から9までを表の漢数字とは無関係に1つずつ書きました。カードの両面の数の和は9枚ともすべて異なっていて,最も小さい和は3,最も大きい和は15でした。また,六のカードの裏の数字は8でした。下の図は,9枚のカードを適当に並べたものです。

1

Apf0507s

(1)一の裏はいくつですか。

(2)三の裏はいくつですか。

(3)五の裏はいくつですか。

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2

六の裏は8、

15になる組み合わせは、6-9、7-8 ですが、

7-八、七ー8、9-六が考えられますが、すでに六と8は決まっているので、

7の裏は八です。

3になる組み合わせは、1-2ですが、

二ー1も1-二もないので、2の裏は一に決まります。

残る漢数字は三と九ですが、9-九はありえないので、

9の裏が三で、1の裏が九になります。

和が10と12は決まったので、七の裏は4か6になります。

七ー4の場合、6-二しかなく、五ー3となり、5-四で決まり、

五の裏は3になります。

七ー6の場合、五と四の裏が同時に5か4ではありえず、どちらかに3になります。

四ー3だと、5は二、五のどちらの裏にもなりえません。

したがって五の裏は3になり、

二ー4、四ー5が決まります。

七がいずれの場合も、五の裏は3になります。

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円と直角三角形の重なり(西大和学園中学 2012年)

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図のように点Oを中心とする円と、

 

点Oを通る線分BCを一辺とする直角三角形ABCがあります。

 

このとき、線分CPの長さは何cmですか。

1

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Capture_2014_08_11_08_12_39_775

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おもちゃの列車の速さは?(早稲田大学高等学院中等部 2012年)

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おもちゃの列車を走らせるために,図のような周回できるレールを敷きました。このレールの上を列車が一定の速さで,次の条件をみたしながら走っています。

・列車が鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに18.6秒かかる。
・列車が鉄橋の下を通過するのに15秒かかる。
・列車が鉄橋の下を通過し終わってから,初めて鉄橋にさしかかるまでに88秒かかる。
・列車が鉄橋を渡り終わってから,初めて鉄橋の下を通過し終わるまでに103.4秒かかる。

鉄橋の長さは43.2cmで,鉄橋の幅は考えないものとします。この列車の速さは毎秒①cm,列車の長さは②cmです。また,レール1周の長さは③cmです。

1

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3段つるかめ算の解き方

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二輪車と三輪車と四輪車がそれぞれ何台かあります。車輪の数は全部で50輪あります。1台に1人ずつ乗ると、18人乗るのに2人分たりません。三輪車の台数は四輪車の台数よりも3台少ないといいます。二輪車と三輪車と四輪車はそれぞれ何台ありますか。

2 3_2 4


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2014年8月10日 (日)

工夫しないと難問ですよ!(豊島岡女子学園中学 2014年)

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下の図の四角形ABCDはAB=AD、AC=10cmです。

角ACBは15°で、角ABCの大きさと角ADCの大きさの和は180°です。

このとき,四角形ABCDの面積は何c㎡ですか。

0

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図のように、△ACDをAを中心に回転させ、ABとADが重なるまで移動します。

回転移動したのが△AC'D' です。

1

角ABC+角AD'C'=180°なので、C'Cは直線になります。

AC'=AC=10cmなので、△AC'Cは二等辺三角形で、角AC'C=15°です。

求める面積は△AC'Cですが、

AからC'Cに垂線を下ろすと、△AC'Cは二等分され、

△AECと線対称な△EFCを考えると、面積は△AC'C=△AFCなので、

△AFCの面積を求めればよいことになります。

AからFCに垂線を下ろすと、

△黄は90°60°30°の直角三角形で、正三角形の半分です。

AG=10÷2=5cm なので、

面積は、10×5÷2=25c㎡ となります。

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うるう年を考える日暦算(麻布中学 2013年)

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満月から次の満月まで 29.53日かかるものとします。ある【うるう年】の 9月30日が満月であるとき、次の満月を1回目として、100回目の満月となるのは何年後の何月何日ですか。ただし、【うるう年】は4年に1度、必ずあるものとします。

Mssc0108cs


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100回目の満月まで、

    29.53×100=2953日

かかります。これが、何年何ヶ月何日後かというと、

    2953÷365=8あまり33

で、8年の間に【うるう年】は2回あるので、8年31日後です。

 

9月30日から31日後を考えると、10月は31日まであるので

100回目の満月は 8年後の10月31日 とわかります。

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ご石並べの規則性は?→今年の問題から! (学習院女子中等科 2014年)

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下の図のように、ある規則に従って、白と黒のご石を並べていくとき、

26番目は、白黒それぞれ何個のご石がありますか。

 Pic_3882q

Mpsb1201cs

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白、黒、それぞれの石の総数を数えて規則性を調べます。

 

 1番目 ・・・ 1個

 2番目 ・・・ 1個

 3番目 ・・・ 1+8=9個(3×3)

 4番目 ・・・ 9個

 5番目 ・・・ 9+4×4=25個(5×5)

 6番目 ・・・ 25個

 

 1番目 ・・・ 0個

 2番目 ・・・ 4個(2×2)

 3番目 ・・・ 4個

 4番目 ・・・ 4+3×4=16個(4×4)

 5番目 ・・・ 16個

 6番目 ・・・ 16+5×4=36個(6×6)

 

以上より、26番目では、黒石の個数は26×26=676個

白石の個数は、25×25=625個 になることがわかります。

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どこに補助線を引きますか?(武蔵中学 2009年)

ややムズレベル

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直角二等辺三角形ABCの各頂点が、

図のように平行な線①、②、③の上にあります。

このとき①と②の間は5cm、②と③の間は3cmでした。

線②とACの交点をDとしたとき、三角形ABCの面積を求めなさい。

 

Mon

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2014年8月 9日 (土)

アに入る数字は?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

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たて、横、ななめに並ぶ3個の数字の和がすべて等しくなるとき、

アはいくつになりますか?

1_4

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8+11+下段左=12+下段真ん中+下段左 なので、

19+下段左=(12+下段真ん中)+下段左 となって、

19=12+下段真ん中

下段真ん中=19-12=7

2_3

中段真ん中をはさむ数字の和は、8+12=20 なので、

上段真ん中=20-7=13

中段右=20-11=9

3_2

8+13+ア=8+11+下段左 なので、

下段左=ア+2

4

ア+ア+2=20 より、

ア=18÷2=9

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難しそうな記号ですが、どんな規則?(鎌倉学園中学 2009年)

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①、②のように記号を決めると、例のように計算ができます。

1_4

では、

2

を計算した答えはいくつになるでしょう?

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Capture_2014_08_09_10_15_45_702

Capture_2014_08_09_10_15_55_289

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正六角形が3つも重なって・・・(早稲田中学 2014年)

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図のような3つの正六角形 あ、い、う があります。

あ、い、う の辺の長さの比は1:2:3です。

また、直線アイは  の対称の中心と  の対称の中心を通っていて、

 の対称の中心は  の頂点になっています。

正六角形  の面積が9c㎡のとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1_2

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図のように正六角形の中心を通る直線は、

△黄が合同になるので、その面積を2等分します。

2_2

また、中心に重なる頂点は、その角度が120°なので、

△黄が合同になり、

正六角形の面積を1/3と2/3に分割します。

3

辺の長さが、あ:い:う=1:2:3 なので、

面積比は、あ:い:う=1×1:2×2:3×3=1:4:9

あ=9c㎡ なので、

い=9×4=36c㎡ 、 う=9×9=81c㎡

うの半分は、81÷2=40.5c㎡

あの半分は、9÷2=4.5c㎡

いの1/3は、36÷3=12c㎡

斜線部分=40.5-4.5-12=24c㎡

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おうぎ形の中心角は何度?(洛南高等学校附属中学 2010年 改題)

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下の図のおうぎ形、O-ACBDの中心角は236°です。

(弧ABの長さ):(弧CDの長さ)=7:5 で、

角BOC=28°のとき、

角アは何度になるでしょうか?

1

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----------------------------------------------------

2

おうぎ形緑の中心角をイ とすると、

ア+イ=236°-28°=208°

(イ+28°)+(ア+28°)=ア+イ+56°=264°

(角イ+28°):(角ア+28°)=7:5 なので、

(角ア+28°)=264°×5/(7+5)=110°

角ア=110°-28°=82°

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2014年8月 8日 (金)

容器が10個もある食塩水の濃さは?

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Bandicam_20121029_111858828_3

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N進法の基本イメージをつかむ!(学習院女子中等科 2012年)

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5個並んだマスに黒色をぬって整数を表すことにします。黒色をぬる場所によって、

1

とします。このようにすると、

2

と表せます。

では、

(1)3 はいくつを表しますか。

(2)このぬり方で13を表してください。

(3)このぬり方で、0からいくつまでの整数をを表すことができますか。

(4)同じように並んだマスを用いて、0から129の整数を表すには、最低いくつのマスを並べる必要がありますか。

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(1)21

7

(2)

4

(3)31

5

(4)8つ

8

129→6

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積まれた立体の表面積を求めるには!(筑波大附属中学 2010年)

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1辺3cmの立方体を下の写真のように1cm間隔で積み上げて立体を作ります。積み上げられた立体が4段になったときのできる立体の表面積を求めなさい。

813

1cm間隔に並べた立方体    3段に積まれた立体

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Capture_2014_08_08_10_23_26_81

 

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普連土りんご農園の収穫期→仕事算(普連土学園中学 2011年)

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普連土りんご農園に収穫期がやってきました。10人ですると16日で収穫を終え,15人ですると8日で収穫を終えます。10日で収穫を終えるには,何人ですればよいですか。ただし,りんごは毎日同じ数だけ実が熟すものとします。

2191


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Capture_2014_08_08_10_14_41_401
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家族の年齢を考えてみてください!(愛光中学 2010年)

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父,母,兄,妹の4人家族がいます。兄は妹より4歳年上です。現在,母の年齢は兄の年齢の3倍で,8年後には父の年齢は妹の年齢の3倍になります。父は母より[①]歳年上です。また,現在の4人の年齢を足すと96歳です。現在,母の年齢は[②]歳,妹の年齢は[③]歳です。

Ilm08_cc01025s

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4人のテストの点数は?(麹町学園女子中学 2014年 改題)

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A、B、C、Dの4人が算数のテストを受けました。

BはDより23点高く、

CはDより8点高く、

AはBより10点高く、

4人の平均は78点でした。

4人はそれぞれ何点だったでしょうか?

2203

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線分図で書き表すと、下の図のようになります。

1

4人の得点合計は、78×4=312点なので、

D={312-(8×3+15×2+10)}÷4=62点

C=62+8=70点

B=70+15=85点

A=85+10=95点

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見ることができる面は何面?(大阪星光学院中学 2014年)

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下の図はテーブルの上にサイコロを下段から9個、5個、1個と

すきまなく積み上げて固定したものです。

サイコロの向かい合う面の合計は7です。

(1)見ることのできる面は全部で何面ありますか。

(2)見ることのできる面の数の和が最小になるときはいくつになりますか。

Capture_2014_08_08_07_47_52_156

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(1)

下段の四隅は3面×4=12面

辺は1面×4=4面

中段は4面×4=16面

上段は5面

合計、12+4+16+5=37面

(2)

下段の四隅は1と2と3の面にすれば、

(1+2+3)×4=24

下段の辺は1になり、

1×4=4

中段は上と辺が1と2、向かい合う面は7で

(1+2+7)×4=40

上段は、1+2+3+4+5=15

合計、24+4+40+15=83

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2014年8月 7日 (木)

6になる2けたの整数は何個?(洗足学園中学 2009年)

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下の例のように、ある整数のすべての位の数をかけ合わせて、

その答えが1けたの数になるまで繰り返します。

例 67→6×7=42→4×2=8

最後の答えが6になる2けたの整数は何個あるでしょうか?

Hpsa1101cs

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6=2×3または1×6 なので、

23、32、16、61 の4つと・・・

32=4×8 なので、

48、84 の2つと・・・

48=6×8 なので、

68、86 の2つと・・・

16=2×8または4×4 なので、

28、82、44 の3つと・・・

28=4×7 なので、

47、74 の2つで・・・

4+2+2+3+2=13個

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この台形、三角形に近いようですが・・・(中央大学附属横浜中学 2014年)

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下の図において、台形ABCD はADの長さが4cm、

BCの長さが28cmです。

PQはAD と平行で、台形ABCD の面積を二等分しています。

このとき、PQの長さを求めなさい。

 Pic_3962q

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下の図1のように、BA とCD を延ばし、交点をR とすると、

  Pic_3963a

三角形RAD と三角形RBC は相似で、相似比は、1 : 7 です。

相似比が 1 : 7 のとき、面積比は、1×1 : 7×7 = 1 : 49

となるので、三角形RAD の面積を【1】とすると、台形ABCD

の面積は 【48】 となります。

 

PQは台形ABCD の面積を二等分しているので、台形APQD

の面積は 【24】 となり、三角形RPQ の面積は 【25】 です。

 

三角形RAD と三角形RPQ は相似で、面積比が 1 : 25 です。

面積比が 1 : 25(5×5) なので、相似比は 1 : 5 とわかります。

つまり、AD : PQ = 1 : 5 で、AD=4cm より、

 PQ=4×5=20cm

と求められます。

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単位分数の和に表す方法

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Ejitani

方法と答え

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考え方と解法例

1_2

2_2

3

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規則性のある植木算・・・(3)は難問ですよ!(巣鴨中学)

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図のように木を植えていきます。大きな木から始めて、大きい木と木の間に小さな木を植えます。小さな木は、初めは1本、次は2本、その次は4本、・・・というように2倍ずつ増やしていきます。大きな木と小さな木の間を3.25m、小さな木どうしの間は1.25mとし、木の太さは考えないことにして、次の各問に答えなさい。

(1)初めから数えて、大きな木の3本目と4本目の間の距離は、大きな木の2本目と3本目の間の距離より何m長いか求めなさい。

(2)初めから数えて、大きな木の5本目と6本目の間の距離を求めなさい。

(3)初めの大きな木から測って100mのところまでに大小合わせて何本の木があるか答えなさい。

1

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Capture_2014_08_07_07_00_37_814Capture_2014_08_07_07_01_03_310

Capture_2014_08_07_07_01_03_310_2

Capture_2014_08_07_07_02_25_783

100mを超えます。

Capture_2014_08_07_07_03_20_55

Capture_2014_08_07_07_04_28_577

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2014年8月 6日 (水)

?はいくつ?(芝浦工業大学柏中学 2011年)

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図のように、ある決まりにしたがって整数を表しました。

「?」はいくつでしょうか?

1

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いちばん右が1、次が1×3=3、次が3×3=9、いちばん左が9×3=27、

これは3倍ずつ位が上がる3進法です。

?=27×1+9×2+3×2+1=52

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難問ですがエレガントな名作です!(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を

一直線に結んだときです。

  Pic_3099a

 また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、

この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で

できていると考えることができます。

  Pic_3100a

立体の表面積が48c㎡ なので、

正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡

ということがわかります。

 

また、下の図3のように、

  Pic_3101a_2

AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。

(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)

 

HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。

 

下の図4のように、三角形OHPに注目します。

三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、

角BOH=(180-150)÷2=15度 です。

Pic_3102a

同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度

となります。

 

ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように

  Pic_3104a

正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は8c㎡ です。

 

OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺

三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、

   □×□÷2=8

より、□=4cm とわかります。

 

よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm

ということがわかります。

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2014年8月 5日 (火)

何通りの置き方ができるか?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の正方形ABCDの中の3×3のマス目に石を3個置きます。

ただし、石は1マスに1個までしか置けず、上下左右の隣り合ったマスに

2個並べて置くことはできません。

全部で何通りの置き方がありますか。

1

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各段の置き方は、(1個、1個、1個)か(0個、1個、2個)の場合だけです。

(1個、1個、1個)のとき、

最初の1個はどこにでも置けるので3通り、

次はその下(上)以外の2通り、

次もその下(上)以外の2通りなので、

3×2×2=12通りです。

(0個、1個、2個)のとき、

0個の段がまん中の場合、

3

1個の段は3通り置けるので、

1個と2個の段を入れ替えれば、3×2=6通りです。

0個の段が上下にある場合、

2

1個と2個の段が入れ替えられるので、2通り、

0個が上下で、2×2=4通りです。

したがって、全部で12+6+4=22通りになります。

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余りはいくつ?(鴎友学園女子中学 2014年)

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3を2014回かけた数を30で割ったら余りはいくつ?

(3×3×3×3×・・・・・・・・×3×3)÷30=□・・・?

Apf0107s

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3を連続してかけていくと、1の位は3、9、7、1、3、9、7、1、・・・・と、

4つの数字が繰り返されます。

3を1つ約分して、10で割っていくと・・・

3÷30=1÷10=0・・・1

3×3÷30=3÷10=0・・・3

3×3×3÷30=3×3÷10=0・・・9

3×3×3×3÷30=3×3×3÷10=2・・・7

3×3×3×3×3÷30=3×3×3×3÷10=8・・・1

余りも1、3、9、7、・・・・が繰り返されます。

2014÷4=503・・・2 なので、2番目の余りになり、

3です。

↑とやると間違い!(ご指摘いただきました!m(_ _)m)

30で割っているので、

3÷30=0・・・3

3×3÷30=0・・・9

3×3×3÷30=0・・・27

3×3×3×3÷30=2・・・21

と、余りは3、9、27、21の繰り返しになります。

2014÷4=503・・・2 

なので2番目の9が正解です。

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比を統一して比較する方法

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図のような平行四辺形ABCDでE,F,GはADの4等分,

点H,I,J,K,LはBCの6等分点です。

三角形PEDの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか。

Tobunten

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こたえ

1_2

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上手なポイントの使い方は?(浦和明の星女子中学 2014年)

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ある店で買い物をすると、現金で払った金額の5%がポイントとしてもらえます。ただし、金額の5%が小数になるときは、小数点以下を切り捨ててポイントにします。このポイントは次の日から1ポイント1円として使うことができます。星子さんは、この店のポイントを850ポイント持っていました。ある日、星子さんが9800円のデジタルカメラと1050円のカメラケースを買いに行ったところ、2日後に全てのポイントが使えなくなることを知りました。そこで、その日はデジタルカメラだけを買い、次の日にポイントだけでカメラケースを買い、ポイントを使いきることを考えました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)デジタルカメラを買うときに、ポイントを使わずに買ったときと、1ポイントだけ使って買ったとき、次回から使えるポイントは、それぞれ何ポイントになりますか。

(2)デジタルカメラを買うときに、使うポイントを1,2,3,…と増やしていくことを考えます。このとき、現金で払った金額の5%が、初めて小数点以下が切り捨てにならずにポイントとしてもらえるのは、何ポイント使うときですか。

(3)次の日にポイントだけでカメラケースを買い、ポイントを使いきるためには、星子さんは何ポイントを使ってデジタルカメラを買えばよいですか。

Pfa020s

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(1)9800円の5%は、9800×5/100=490ポイントとなり、

次回使えるポイントは、850+490=1340ポイントです。

1ポイントを使うと、現金で 9799円を払うので、

9799円の5%は、9799×5/100=489.95で、

小数の部分は切り捨てなので、489ポイント となり、

次回使えるポイントは、

850-1+489=1338ポイントです。

(2)1ポイントを使うと、0.95ポイントが切り捨てられます。

初めて切り捨てがなくなるのは、489ポイントちょうどのときで、

□円の5%が489円、つまり、□×5/100=489のときが、切り捨てがなく、

□=489×100/5=9780円のときです。

このとき使ったポイントは、9800-9780=20ポイントです。

(3)(2)の場合、20ポイントを使い、9780円の5%の489ポイントを得るので、

カメラケース用のポイントは

850-20+489=1321ポイントです。

20ポイントごとに、デジタルカメラを買って得るポイントは1ポイントずつ減ります。

カメラケース用のポイントは、

 850-(1から20ポイントまで)+489=1338から1319

 850-(21から40ポイントまで)+488=1317から1298

 850-(41から60ポイントまで)+487=1296から1277

 ・・・・

となります。

1338→1317→1296→ ・・・ と21ずつ減っているので、

1050ポイントになるのは、

(1338-1050)÷21=13あまり15 より、

850-(261から280ポイントまで)+476 のところの、

850+476-1050=276ポイント

を使ったときとわかります。

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2014年8月 4日 (月)

□の中にあてはまる数は?(筑波大学附属中学 2011年)

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合計が10となる、0でない3つの整数があります。

次の式の□の中には、これらの整数か1つずつ入ります。

この式の値が最も小さくなるとき、式の値はいくつですか。

ただし、3つの整数のうち、2つは同じ数でもよいものとします。

1

Apf0507s

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□×□×□ が最大になる場合が、

分数の分母が最大になり、分数が最小になります。

和が10で、積が最大になるのは、3、3、4の場合なので、

5/17×4/4×3/3×2/3

=5/17×2/3

=10/51

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集合算はべん図を使って!(四天王寺中学 2012年)

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75人の子供に2つの品物 X、Y を持っているかどうかについて調べたところ、

X を持っている人は21人でした。

また、X だけを持っている人は、Y だけを持っている人の半分で、

どちらも持っていない人は、両方とも持っている人の3倍でした。

このとき次の問に答えなさい。

(1)両方とも持っている人は何人ですか。

(2)Y を持っている人は何人ですか。

Pog006s

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(1)X だけを持っている人数を【1】、両方持っている人数を①とすると、

Y だけを持っている人数は【2】、どちらも持っていない人数は③で、

下の図1のような【べん図】を描くことができます。

    Pic_3956a

【1】+①=21人 で、【2】+②=42人 です。

図1では、【1】+①+【2】+③=75人 なので、

①=75-(21+42)=12人 とわかります。

よって、両方とも持っている人は、12人です。

 

(2)(1)より、【1】=21-12=9人 なので、

Y を持っている人数は、

9×2+12=30人

とわかります。

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2014年8月 3日 (日)

流れるプールの流水算(滝中学 2010年)

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A、Bの2人は1周270mの流れるプールで泳ぎました。プールの流れの速さが毎分25mのとき、Aは流れに逆らって100mを2分で泳ぎました。次の問いに答えなきい。

(1)Aは、流れのない状態で100mを何分何秒で泳ぎますか。

(2)このプールの流れの速さが変わったとき、2人は同じ地点から同時lこ、Aは流れと同じ方向に、Bは流れと反対の方向に泳ぎました。Bは、流れのない状態では毎分60mの速さで泳ぎます。2人が出会ったとき、AはBよりも154m多く泳いでいました。このときプールの流れの速さは毎分何mですか。

1

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解法例

(1)Aは1分間に100÷2=50m泳ぎました。

流れがなければ、毎分 50+25=75mの速さで泳ぐので、

100mなら、100÷75=4/3分→1分20秒で泳ぎます。

(2)変わった流れの速さを毎分□mとすると、

Aの速さは毎分75+□m

Bの速さは毎分60-□m

2人が出会うまでの時間は、

270÷{(75+□)+(60-□)}

□が消えてしまうので、流れがないときと同じです。

270÷(75+60)=2分

Aは出会うまで、(270+154)÷2=212m泳いだので、

毎分212÷2=106mの速さです。

流れの速さは、106-75=31m です。

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A、B、C、Dはいくつ?

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A、B、C、Dは連続する2けたの整数で、

A×A×A+B×B×B+C×C×C+D×D×D=20×20×20

                             =8000 です。

A、B、C、Dはそれぞれいくつでしょうか?

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Mpsd1301cs

11×11×11+12×12×12+13×13×13+14×14×14

=20×20×20

=8000

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重なった直角三角形の部分面積は?(フェリス女学院中学 2013年)

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底辺が6cm、高さが8cmの同じ形の直角三角形が

図のように重なっています。

黄色い部分の面積は何c㎡でしょうか。

1

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交点Oから辺AB、BCに垂線を下ろすと、

2

2つの△緑は合同で、元の直角三角形と相似です。

相似比は8:6=4:3 なので、

④=6cm×4/7=24/7cm

△赤=2×24/7÷2=24/7c㎡

求める面積=6×8÷2-24/7=20と4/7c㎡

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2014年8月 2日 (土)

暗証番号はいくつ?(2007年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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3桁の暗証番号があります。その暗証番号は・・・・・・

A:11で割ったら7余る。

B:13で割った余りと12で割った余りは等しい。

C:5で割っても、7で割っても余りは4.

D:各位の数字の和が13。

E:各位の数字のうち最大のものと最小のものの差は3で、最大の数字は百の位。

F:各位の数字の積は72。

さて、暗証番号はいくつ?

Bo4

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DとEより、

9□6・・・・・・×

8□5・・・・・・×

7□4・・・・・・×

6□3・・・・・・○

5□2・・・・・・×

4□1・・・・・・×

3□0・・・・・・×

となるので、643 か 634 のどちらかです。

Aより、

643÷11=58あまり5

634÷11=57あまり7 なので

634

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あてはまる整数は?(桜美林中学 2014年)

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下の図の○の中に入る整数を考えて、

ア~ウにあてはまる整数を答えてください。

1_2

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40-4=36

ア=36÷3=12

イ=36÷2=18

(12-1)÷1=3・・・×

(12-2)÷2=3・・・×

(12-3)÷3=3・・・○

(12-4)÷4=3・・・×

(12-5)÷5=3・・・×

(12-6)÷6=3・・・×

(12-7)÷7=3・・・×

(12-8)÷8=3・・・×

(12-9)÷9=3・・・×

(12-10)÷10=3・・・×

ウ=3

(12-11)÷11=3・・・×

(12-12)÷12=3・・・×

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長さ比と面積比をどう活用する?(ラ・サール中学 2014年)

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下の図で黄色い三角形はすべて面積が等しく、BC:CD=3:2です。

三角形ABCの面積が72c㎡のとき、

(1)CE:EH を求めなさい。

(2)三角形BFGの面積は何c㎡ですか。

(3)三角形BDGの面積は何c㎡ですか。

1

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BC:CD=3:2より、面積比も△CDE:△BCE=②:③

2

面積比が △赤:△(黄+緑)=3:2 なので、

長さ比 BF:FH=3:2

すると、△BEFと△FEHの面積比は③:② になり、

△BEH:△BCE=(③+②):③=⑤:③ となって、

CE:EH=3:5

GHを結び、△緑と△青に注目すると、

対頂角Fをはさんで2辺の比が2:3と等しいので、相似になることがわかります。

3

すると、赤太線と青太線は平行になり、

△AGHと△ABEも相似比2:3の相似になります。

AH:AE=2:3 なのでEHを5とすると、AHは10になり、

△ABHの面積比は⑩なので、四角形AGFHは⑩-②=⑧です。

△ABC=⑱=72c㎡ なので、

△BFG=②=72×②/⑱=8c㎡

△BDG=⑩=72×⑩/⑱=40c㎡

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