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Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人の少年が森の中で木の実を拾いました。
拾った 数はＡがいちばん多く，Ｂ，Ｃ，Ｄの順に少なくなるように拾いました。
ＡとＢが拾った木の実の数の和は65個，ＡとＤとの和は61個，ＣとＤとの和は44 個でした。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄはそれぞれ何個ずつ拾いましたか。
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白と黒の同じ大きさの正方形の石が同じ数だけあります。
まず、黒石の一部をすきまなく正方形にならべ、
次にその周りを１列の白石でぐるりと囲み、
その白石の周りを残りの黒石で１列ぐるりと囲み、
最後に残った白石で黒石の周りを１列ぐるりと囲み、
ちょうどすべての石を使いきりました。（図）
白石と黒石の合計は何個ですか？
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図のように一番外側の白石のひと周りをア個、
その内側の黒石のひと周りをイ個、
さらにその内側の白石のひと周りをウ個とし、
中央部分の黒石の正方形部分をさらに最も外側のひと周りのエ個と
その内側の正方形部分のオ個に分けます。
エ＝①、オ＝□と置くと、
アーイ＝イーウ＝ウーエ＝8より、
ウ＝①＋8、イ＝①＋16、ア＝①＋24で、
黒石の個数＝白石の個数より、
イ＋エ＋オ＝ア＋ウ
①＋１６＋①＋□＝①＋２４＋①＋８
②＋１６＋□＝②＋３２
□＝３２－１６＝１６＝４×４
すべての石を使ってできた正方形の１辺の個数は
４＋４×２＝１２個です。
これにより、すべての石の合計は、１２×１２＝１４４個となります。
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サイコロを６回投げて、出た目をすべてかけたら８１になりました。
１の目は何回出たでしょうか？
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８１＝３×３×３×３ なので、
８１＝１×３×１×３×３×３ と考えれば、
１の目は２回です。
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図のような台形ＡＢＣＤがあります。
（１）Ａを通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。
この直線が辺ＢＣと交わる点をＥとすると、ＢＥの長さは何ｃｍですか。
（２）Ｂを通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。
この直線が辺ＣＤと交わる点をＦとすると、ＣＦの長さは何ｃｍですか。
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（１）面積が△ＡＢＥ＝台形ＡＥＣＤなので、
ＢＥ＝ＡＤ＋ＥＣ になります。
ＢＥ＝８＋（１４－ＢＥ）＝２２－ＢＥ
ＢＥ＝１１ｃｍ
（２）△ＡＢＤ：△ＤＢＣ＝８：１４ なので、
台形ＡＢＣＤの面積は８＋１４＝２２になるので、
△ＦＢＣ＝２２÷２＝１１です。
すると、△ＤＢＦ＝１４－１１＝３ なので、
ＣＤを１１：３で分けると
ＣＦ＝７×１１/（１１＋３）＝５．５ｃｍ
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生徒の宿泊で、１室の定員を５人ずつにすると全部の部屋を使っても４人分足りなくなり、１室の定員を６人ずつにすると５人の部屋が１室でき、１室が余ります。このときの生徒の人数を求めなさい。
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緑部分の周りの長さは何ｃｍですか？
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各位の数字に１～６を１個ずつ使った６けたの整数があります。
この整数の上２けたは２の倍数、上３けたは３の倍数、上４けたは４の倍数、上５けたは５の倍数、整数全体は６の倍数となっています｡
このような整数を２通り求めなさい。
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上５けたは５の倍数なので、上から５けた目の数字は５と決まります。
また、上２けたは２の倍数、上４けたは４の倍数、上６けたは６の倍数より、
上から２，４，６けた目の数字は２．４．６の偶数となり、
上から１、３けた目の数字は１、３の奇数となります。
上３けた（１□３または３□１）は３の倍数より、
上３けたの各位の数字の和、４＋□は３の倍数でなければならず、
□に入る候補２、４、６のうち、この条件を満たすのは２のみなので、
上から２けた目の２が決まります。
上４けたは４の倍数より、上４けたの下２けたは４の倍数でなくてはならず、
候補になる１４、１６、３４、３６のうち、１４と３４は除外されるため、
上から４けた目の６が決まり、
上から６けた目は残る偶数ですから４に決まります｡
ここまでで、求める６けたの整数は１２３６５４、３２１６５４の２通りで
どちらも条件を満たすので、
求める答えは１２３６５４と３２１６５４となります。
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３つの数Ａ、Ｂ、Ｃがあります。
Ａ：Ｂ＝３：２ 、 Ｂ：Ｃ＝３：５ 、Ｃ－Ｂ＝２０のとき、
Ａはいくつですか？
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比をそろえると、
Ａ：Ｂ＝３：２＝９：６
Ｂ：Ｃ＝３：５＝６：１０
Ａ：Ｂ：Ｃ＝⑨：⑥：⑩
⑩－⑥＝④＝２０なので、①＝２０÷④＝５
Ａ＝⑨×５＝４５
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１０ｇ、３０ｇ、５０ｇの３種類のおもりが合わせて２０個あり、
そのすべての重さは７００gです。
１０ｇと３０ｇのおもりの数が同じであるとき、
５０ｇのおもりは何個ありますか？
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１０ｇと３０ｇのおもりをセットにして考えると、
１個ずつで２個の場合４０ｇですが、
残り７００－４０＝６６０ｇは５０ｇで割り切れません。
２個ずつで４個の場合も７００－２×４０＝６２０ｇも５０ｇで割り切れません。
同様に考えていくと、
５個ずつで１０個の場合だけ、
７００－５×４０＝５００ｇで、５００÷５０＝１０個と割り切れます。
したがって、１０ｇ、３０ｇが５個ずつ、５０ｇが１０個です。
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川の上流地点Ａ と下流地点Ｂ までの ４．２ｋｍの間を船が往復しています。
下流地点Ｂ を船が出ると同時に、花子さんは川沿いの道を上流地点Ａ から下流地点Ｂ に向かって歩きはじめました。
そして１０分後に船と出会い、さらにその２分後、船が上流地点Ａ に着くのを見ました。
船は Ａ で何分か休んだ後、最初に Ｂ を出たときから Ｘ 分後に再び Ｂ に向かって出発し、その Ｙ分後に花子さんを追いぬきました。
このときＸ ： Ｙ の比は、９ ： ２ でした。
（１）花子さんは Ａ から Ｂ まで何分かかりましたか。
（２）川の流れの速さは毎分何ｍですか。
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（１）船がＢからＡへ移動するのに、１２分かかっていて、
船と花子さんは船がＢを出発して１０分後に出会っているので、
船と花子さんが出会った地点は、全体の １０/１２＝５/６ の地点です。
花子さんは、全体の１/６を進むのに、１０分かかっている
ことから、花子さんがＡからＢまで移動するのにかかる時間は
１０×６＝６０分
です。
（２）花子さんの速度は、（１）より、４２００÷６０＝７０ｍ（毎分）です。
Ｘ分間とＹ分間に花子さんが移動したキョリの比は、９ ： ２ なので、
Ｙ分間に船と花子さんが移動したキョリの比は、１１ ： ２ です。
同じ時間に移動したキョリの比＝速度の比 なので、
船の下りの速度は、７０÷２×１１＝３８５ｍ（毎分） で、
船の上りの速度は、４２００÷１２＝３５０ｍ（毎分） より、
川の流れの速度は、（３８５－３５０）÷２＝１７．５ｍ（毎分）
と求められます。
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次の計算した答えは何けたの整数になりますか？
４×５×８×２５×１２５＝
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４×２５＝１００
８×１２５＝１０００なので、
１００×１０００×５＝５０００００
６けたですね！
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１００人の生徒が、（ア）（イ）（ウ）の３つの案について話し合いました。
・ （ア）の案に賛成した人は４５人でした。
・ （イ）の案に賛成した人は４５人でした。
・ （ウ）の案に賛成した人は５５人でした。
・ １つの案だけに賛成した人は全部で５０人でした。
・ すべての案に賛成した人は全部で１５人でした。
ここで問題です！
（１）２つの案だけに賛成した人は何人ですか。
（２）どの案にも賛成しなかった人は何人ですか。
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（１）ア、イ、ウの案について、
アだけ賛成の人数（黄）＋アとイに賛成の人数（赤）＋アとウに賛成の人数（茶）＝３０人
イだけ賛成の人数（緑）＋アとイに賛成の人数（赤）＋イとウに賛成の人数（水）＝３０人
ウだけ賛成の人数（青）＋アとウに賛成の人数（茶）＋イとウに賛成の人数（水）＝４０人
ということがわかります。
この、３つの式をすべて足すと、
（アだけ賛成の人数＋イだけ賛成の人数＋ウだけ賛成の人数）
＋（アとイに賛成の人数）×２＋（アとウに賛成の人数）×２
＋（イとウに賛成の人数）×２
＝３０＋３０＋４０＝１００
５０人＋（アとイに賛成の人数＋アとウに賛成の人数＋イとウに賛成の人数）×２
＝１００人
となるので、２つの案だけに賛成した人数は、
（１００－５０）÷２＝２５人
とわかります。
（２）どの案にも賛成しなかった人数は、
１００－（１５＋５０＋２５）＝１０人
とわかります。
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図のように半径３ｃｍの５つの円が重なっています。
・はそれぞれの円の中心です。
色のついた部分の面積の合計は何ｃ㎡ですか。
（円周率は３．１４とします）
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△青は１辺が３ｃｍの正三角形なので、
図のように等積移動すると、
中心角６０°半径３ｃｍのおうぎ形が５つできます。
したがって、求める面積は、
３×３×３．１４×６０/３６０×５＝２３．５５ｃ㎡
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ある画用紙の１/３を青、残りの１/３を黄色、さらに残りの６割を赤、さらに残りの１/４を緑で塗りました。このとき、黄色と緑の面積の差は１６０ｃ㎡でした。画用紙の面積は何ｃ㎡ですか。
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下の図のように、
正方形の形に並んだ１２個の円で作られた図形があります。
円の半径はすべて ３ｃｍです。
半径 ３ｃｍ のもう１つの円Ａ を、図形から離れないように、
この図形の外側を１周させるとき、
円Ａ の中心が動く線の長さを求めなさい。
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円Ａ が、図形のカドの部分を通るとき、
下の図１のようにそれぞれの円の中心を線で結ぶと、
円Ａ が移動する角度は、
３６０－（６０＋６０＋９０）＝１５０°
とわかります。
次に、カド以外の場所を円Ａが移動するときは、
下の図２のように円の中心を線で結ぶと、
正三角形が作れて、６０°移動することがわかります。
図１のように移動するのが ４か所、
図２のように移動するのが ８か所あるので、
円Ａの中心が動く線の長さは、
６×２×３．１４×（１５０/３６０×４＋６０/３６０×８）
＝１２×３．１４×３＝３６×３．１４
＝１１３．０４（ｃｍ）
と求められます。
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１～９の数字が１つずつ書かれたカードが１枚ずつあります。
今、ひろし、まさる、よしこの３人に３枚ずつ配りました。
ひろし「ぼくのカードのうち２枚の数字の積が、残り１枚の数字になってる」
まさる「ぼくのカードは２枚の和が残り１枚の数字になってる」
よしこ「私のもまさるくんと同じで、２枚の和が残り１枚の数字になってる」
ひろしの３枚のカードの数字は？
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ひろしの３枚のカードとして考えられるのは、2、3、6か、2、4、8です。
まさるとよしこは、どちらも２枚の数字の和が残りの１枚の数字になっているので、
２人とも３枚の数字の和は偶数です。
なぜなら、Ａ＋Ｂ＝Ｃ→Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２×Ｃ なので、
すると、２人のカードを合わせた６枚の数字の和も偶数になります。
９枚の数字の和は、（１＋９）×９÷２＝４５なので、
ひろしが２，３，６のとき残りの６枚の数字の和は、
４５－（２＋３＋６）＝３４ で偶数となり条件を満たしますが，
ひろしが２，４，８のとき残りの６枚の数字の和は、
４５－（２＋４＋８）＝３１の奇数となり条件を満たさないので、
ひろしの３枚は２，３，６とわかります。
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１から６の番号のついた箱がそれぞれ１つずつあります。これらの箱の中に、ＡからＦ までの文字が書かれた玉を、はじめにＡ は１の箱に、Ｂは２の箱に、Ｃは３の箱に、Ｄは４の箱に、Ｅ は５の箱に、Ｆ は６の箱に１つずつ入れます。こららの箱の中の玉に対し、次の操作を行います。
【操作】
１から３の番号の箱の中の玉は、箱の番号を２倍した番号の箱へ移します。
４から６の番号の箱の中の玉は、１３から箱の番号の２倍を引いた番号の箱へ移します。
この操作を３回くり返した後の、
６の箱に入っている玉に書かれている文字はなんでしょうか？
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Ａ ： １、 Ｂ ： ２、 Ｃ ： ３、 Ｄ ： ４、 Ｅ ： ５、 Ｆ ： ６
とします。
１～６の数に対し【操作】をすると、
１→２→４→５
２→４→５→３
３→６→１→２
４→５→３→６
５→３→６→１
６→１→２→４
となるので、６の箱に入るのは、最初に４の箱に入っていたＤです。
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ある池に ２つの噴水Ａ，Ｂがあります。噴水Ａは、水を６０秒間ふき出して、３０秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。
噴水Ｂは、水を８０秒間ふき出して、７０秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。このとき、次の問に答えなさい。
（１）噴水Ａ，Ｂが同時に水をふき出し始めてから、次に同時にふき出し始めるまでに、何分何秒かかりますか。
（２）噴水Ａ，Ｂが同時に水をふき出し始めてから２８分間で、２つの噴水が同時にふき出している時間の合計は何分何秒ですか。
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（１）噴水Ａは、６０＋３０＝９０秒のサイクル、
噴水Ｂは、８０＋７０＝１５０秒のサイクル なので、
噴水Ａ，Ｂが同時に水をふき出し始めてから、
次に同時にふき出し始めるまでにかかる時間は、
９０と１５０の最小公倍数の４５０秒、すなわち、
７分３０秒です。
（２）４５０秒間で、Ａ，Ｂが同時に水をふき出している時間は、下の図１のように
１６０秒間あります。
２８分＝２８×６０＝１６８０秒 で、
１６８０÷４５０＝３あまり３３０秒 なので、
２８分間で、Ａ，Ｂが同時に水をふき出している時間は、
１６０×３＋６０＋５０＋３０＝６２０秒＝１０分２０秒 です。
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太郎君と花子さんの２人で向かい合って次のようなゲームをします。
★ じゃんけんに勝った者は、指で右か左を指す
★ じゃんけんに負けた者は、顔を右か左に向ける
じゃんけんに勝った者と負けたものが同時にこの動作をして、指をさした方向と顔を向けた方向が同じ場合に、じゃんけんに勝った者をゲームの勝者とします。その他の場合は再びじゃんけんから始めて勝者が決まるまで同じ動作をくり返します。このとき、次の問に答えなさい。
（１）１回目のじゃんけんでゲームの勝者が決まるとき、勝者の決まり方は何通りありますか。
（２）１回目のじゃんけんが引き分けではなく、２回目のじゃんけんの後、ゲームの勝者が決まるとき、勝者の決まり方は何通りありますか。
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１から12までの番号札が１枚ずつ，全部で12枚あります。
５人がそれぞれ２枚ずつ番号札を取ったところ，
取った番号札に書かれた数の和は，4，.8，12，18，22でした。
このとき，残った２枚の番号札に書かれた数はいくつといくつでしょうか？
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１～１２までの合計は、（１＋１２）×１２÷２＝７８ なので、
残った２枚のカードの和は、７８－（４＋８＋１２＋１８＋２２）＝１４ です。
和が１４になる組み合わせは、
２－１２、３－１１、４－１０、５－９、６－８ ですが、
４は１－３の組み合わせしかなく、
２２は１０－１２の組み合わせしかなく、
１８は６－１２、７－１１、８－１０ のどれかですが、１０も１２も可能性がないので、
７－１１に決まり、
８は１－７、２－６、３－５ のどれかですが、１も７も３も可能性がないので、
２－６に決まり、
以上より、１４になる可能性があるのは５－９しかなくなります。
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長方形Ａ，Ｂ，Ｃ が下の図のように一直線に並んでいます。
Ｃ だけが毎分５ｃｍの速さで直線に沿ってＡ，Ｂの上を通り、
矢印の方向に動いていきます。このとき、次の問に答えなさい。
（１）Ｃ がＡ，Ｂと重なる面積が一番大きくなるのは、
Ｃ が動き始めてから何分何秒後ですか。また、そのときの面積は何ｃ㎡ ですか。
（２）Ｃ がＡ，Ｂと重なる面積が ４８０ｃ㎡ となるのは、
Ｃ が動き始めてから何分何秒後と何分何秒後ですか。
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（１）下の図１と図２のときの面積を比べると、
重なっていない部分が図１から図２に進むにつれて減っていくことがわかります。
したがって、図２が重なった部分が最大になります。
実際に面積を計算してみると、
図１のときの重なった部分の面積は、
２０×１７．５＋３×２５＝４２５ｃ㎡
図２のときの重なった部分の面積は、
８×１７．５＋１５×２５＝１４０＋３７５＝５１５ｃ㎡
なので、図２のときが面積が最も大きくなり、
Ｃ が５３ｃｍ移動したときなので、
５３÷５＝１０．６分＝１０分３６秒後
です。
（２）図１のとき、Ｃ は４１ｃｍ移動しているので、
４１÷５＝８．２分後＝８分１２秒後
です。
図１から図２まで、１０．６－８．２＝２．４分 をかけて
面積が ４２５ｃ㎡ から ５１５ｃ㎡ に ９０ｃ㎡ 増えます。
４８０ｃ㎡ になるには、４８０－４２５＝５５ｃ㎡ 増えればよく、
図１の状態から
２．４×５５/９０＝４４/３０分＝１分２８秒後
なので、
８分１２秒＋１分２８秒＝９分４０秒後
に、重なっている部分の面積が ４８０ｃ㎡ になります。
次に、下の図３の状態では、重なっている部分の面積は３７５ｃ㎡ です。
このとき、Ｃ は６１ｃｍ移動しており、
６１÷５＝１２．２分後＝１２分２４秒後
の状態です。
図２から図３になるまでの間に、４８０ｃ㎡ になるときがあります。
５１５－３７５＝１４０ｃ㎡ が １２．２－１０．６＝１．６分 で減っていて、
４８０ｃ㎡ になるには、３５ｃ㎡ 減ればよいので、
１．６×３５/１４０＝０．４分
で減ります。
よって、２回目に４８０ｃ㎡ になるのは、１０．６＋０．４＝１１分後
とわかります。
ゆえに、重なっている部分の面積が４８０ｃ㎡ になるのは、
動きはじめてから、９分４０秒後と１１分後 です。
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花子さんは１冊のノートを一方からは算数用，反対側からは国語用に使いました。ある日ノートを調べると，国語は算数より４ページ分多く使っていて，まだ使っていないページは全体の３割でした。
さらに，算数用に14ページを使ったら，ノートの半分は算数用に使ったことになりました，このノートは何ページありますか。
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立方体の８つのすみから三角すいを切り取ると
残った立体の体積はもとの立方体の体積の何分のいくつになりますか？
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一辺の長さが１ｃｍの立方体を１９個積み重ねて、ある立体を作ったところ、
真上から見た図と正面から見た図は下のよう|こなりました。
この立体の表面積がもっとも小さくなるとき、その表面積は何ｃ㎡ですか。
ただし、この立体の底面には９個の立方体がすぺてしきつめられています。
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図のような立体になるので、
上下が９×２＝１８ｃ㎡
前後が８×２＝１６ｃ㎡
左右が２６ｃ㎡
合計１８＋１６＋２６＝６０ｃ㎡
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図のように，１辺の長さが５ｃｍの立方体の箱を水にうかべると，
一部だけが水面上に出ました。
水面から上の部分の長さを測ると，４ｃｍ，１ｃｍ，３ｃｍでした。
この箱の表面のうち，水面から下の部分の面積を求めなさい。
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下の図１のような、底面の円の半径が１５ｃｍの円錐を、上から１２ｃｍの位置で底面と平行な面で切って、小さい円すいと、 円すい台に切り離したところ、小さい円すいの底面の円の半径は ５ｃｍとなりました。このとき、次の問題に答えなさい。
（１）円すい台の体積は、小さい円すいの何倍になりますか？
（２）小さい円すいに水を満たし、円すい台に１９杯注いだとき円すい台に満たされた水の高さは何ｃｍになりますか？
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（１）小さい円すいと元の円すいの相似比が １ ： ３ なので、
小さい円すいの体積 ： 元の円すいの体積
＝ １×１×１ ： ３×３×３ ＝ １ ： ２７
となります。
相似比 と 体積比 の関係については → こちら を参照
円すい台の体積は、元の円すいから小さい円すいの体積を引いたものなので、
小さい円すいの体積 ： 円すい台の体積 ＝ １ ： ２７-１ ＝ １ ： ２６
とわかります。
よって、円すい台の体積は、小さい円すいの２６倍です。
（２）元の円すいの体積は、小さい円すいの体積の２７倍なので、
元の円すいには、小さい円すいで２７杯の水が入ることになります。
１９杯を満たしたとき、下の図２のようになります。
上の「８杯」の部分は、８＝２×２×２
元の円すい「２７杯」は、２７＝３×３×３ で、
体積比 が ２×２×２ ： ３×３×３ なので、
「８杯」の部分と元の円すいは、下の図３のように、
相似比 ２ ： ３ であることがわかります。
小さい円すいと元の円すいの相似比が １ ： ３ で、
小さい円すいの高さが１２ｃｍなので、元の円すいの高さは、
１２×３＝３６ｃｍ ・・・ 図３の③ とわかり、
求める水が満たされた部分の高さは、図３の① の高さで、
３６÷３＝１２ｃｍ
と求められます。
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連続した４つの数を入れると図Ａのように出てくる【なぞの箱Ａ】があります。
（１）まずはじめに、１２３４を【なぞの箱Ａ】に入れます。２回目以降は、その出てきた数を再び【なぞの箱Ａ】に入れます。これをくり返していくと、２００７回目にはどんな数が出てきますか。
次に、連続した４つの数を入れると、図Ｂのように出てくる【なぞの箱Ｂ】を用意しました。
（２）はじめに、１２３４を【なぞの箱Ａ】に入れ、２回目は、その出てきた数を【なぞの箱Ｂ】に入れ、３回目は、その出てきた数を【なぞの箱Ａ】に入れ、・・・と、Ａ，Ｂを交互に入れていきます。２００７回目にはどんな数が出てきますか。
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下の二等辺三角形の面積は何ｃ㎡ですか？
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底辺の頂点から向かい合った辺に垂線を下ろすと、
△黄は３０゜、６０゜、９０゜の三角形になり、
これは正三角形の半分です。
したがって、赤部分の底辺は８÷２＝４ｃｍ
これは二等辺三角形の高さです。
二等辺三角形の面積＝８×４÷２＝１６ｃ㎡
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三角形ABCのＣＡ上にAE＝BCとなるようにＥをとります。
さらに、ECの真ん中の点をＤとしたとき、
BD＝１５ｃｍ、角DBC＝１５°、角ADB＝１３５°でした。
このとき、三角形ABCの面積を求めなさい。
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角ＢＣＤは135°－ 15° ＝120°です。
ACをのばして、BC＝CFとなるようにＦをとります。
すると、角BCF＝60°、BC＝CFより三角形BCFは正三角形となります。
さらに、AFをのばしてFG＝ＣＤとなるようにＧをとります。
すると、AE＝CFなので、三角形AEB＝三角形CFB、
ED＝DC＝FGより三角形ＥＤＢ＝三角形GFBとなります。
よって、三角形ＡＢＣ＝三角形BGDとなります。
ここで、三角形BCDと三角形BFGはBC＝BF、CD＝FG、
角BCD＝角BFGなので合同だとわかります。
つまり、角DBC＝角GBFでＢＤ＝ＢＧとなります。
角DBC＝15°なので、角DBGは90゜とわかります。
よって、三角形BGDは直角二等辺三角形とわかります。
BD＝15cmなので、
三角形BGD＝三角形ABC＝１５×１５÷２＝１１２．５ｃ㎡です。
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１、３、５、１０、１１、１２、１３、・・・・、７３、７５、８１、８３、・・・・、１３４、１３５、１３６、・・・・
というように、１、３、５のいずれかの数字が入っている整数を小さい順に並べました。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）２桁の整数は全部で何個ありますか。
（２）２０１は１から数えて何番目に出てくる整数ですか。
（３）１から数えて２０１４番目に出てくる整数は何ですか。
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順番に数えてみます。
１～９ では、１、３、５の３個
１０～１９ では、１０個
２０～２９ では、３個
３０～３９ では、１０個
４０～４９ では、３個
５０～５９ では、１０個
６０～６９ では、３個
７０～７９ では、３個
８０～８９ では、３個
９０～９９ では、３個
１～９９ では、３×７＋１０×３＝５１個あることがわかります。
（１）２桁の整数は、５１－３＝４８個 です。
（２）１００～１９９ では、百の位が１なので、１００個あります。
２０１は１９９の次なので、５１＋１００＋１＝１５２番目となります。
（３）１００～９９９までは、百の位が１、３、５ではそれぞれ１００個なので、３００個
それ以外の百の位では５１個ずつあるので、５１×７＋３００＝６５７個
１０００～１９９９ までは千の位が１なので１０００個になり、
１９９９まででは１６５７個、
あと、２０１４－１６５７＝３５７個です。
２４９９までで、５１＋１００＋５１＋１００＋５１＝３５３個
あと、３５７－３５３＝４個 なので、
２５００、２５０１、２５０２、２５０３・・・・・
２５０３です。
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図のように，ＡＢとＣＤは点０で直角に交わっています。
三角形ＯＡＣと三角形ＯＢＤの面積の和が３０ｃ㎡，
三角形ＯＢＥと三角形ＯＡＦの面積の和が１４ｃ㎡のとき，
ＡＢの長さを求めなさい。
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△黄と△緑の面積比＝（５＋２）：３＝７：３
△赤と△青の面積比＝（７＋３）：５＝⑩：⑤＝②：①
△黄＋△赤＝７＋②＝３０ｃ㎡
△緑＋△青＝３＋①＝１４ｃ㎡
（△緑＋△青）×２＝６＋②＝２８ｃ㎡
比の（７－６）の１は→３０－２８＝２ｃ㎡にあたります。
比の①は８ｃ㎡にあたります。
したがって、△緑の面積は２ｃ㎡×３＝６ｃ㎡なので、
AO＝６×２÷３＝４ｃｍ
△青の面積は①＝８ｃ㎡なので、
BO＝８×２÷５＝３．２ｃｍ
AB=４＋３．２＝７．２ｃｍ
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１辺の長さが１ｃｍの正方形をたくさんつないで、
下の図のような図形を作りました。
（１）この図形の面積を求めなさい。
（２）この図形の周の長さを求めなさい。
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（１）下の図１の赤い部分と青い部分は面積が同じです。
この赤い部分と青い部分を広げていくと、
下の図２の赤い部分と青い部分の面積が等しくなります。
赤い部分と青い部分から成るところは、たて１８ｃｍ、横１７ｃｍなので、
この半分と図２の黒い部分の面積の和が求める面積で、
１８×１７÷２＋１７×１＋１８×１＋１×１
＝１５３＋３６＝１８９ｃ㎡
です。
＜別解＞
下の図３のように、この図形は、１＋２＋３＋・・・＋１９－１
（最後の図形の黒い部分はふくまれないことに注意）となり、
求める面積は、
（１＋１９）×１９÷２－１＝１８９ｃ㎡
となります。
（２）この図形は、１８９個の正方形がくっついて出来たものです。
正方形が並んだ場合の周の長さは、下の図４のように、
２個の場合は６ｃｍ、３個の場合は８ｃｍ、４個の場合は１０ｃｍ・・
と、２ｃｍずつ増えていきます。曲げてつないでも長さは同じで、
（２×個数＋２）ｃｍ になっているので、この図形の周の長さは、
２×１８９＋２＝３８０ｃｍ
と求められます。
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１から13までの整数をひとつずつ書いた13枚のカードがあります。A，B，C，Dの４人が，この中から１枚ずつ取り出したところ，（ア）～（ウ）であることがわかりました。
（ア）Ａが取ったカードの数は，Ｂが取ったカーﾄﾞの数の３倍である。
（イ）Ａが取ったカードの数と，Ｃが取ったカードの数の差は４である。
（ウ）Ｃが取ったカードの数は，Ａが取ったカードの数とＤが取ったカードの数の平均である。
このとき，４人が取ったカードの数の合計はいくつですか。考えられるすべての場合を答えなさい。
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(ア)より，AとBの組み合わせは、
(Ａ，Ｂ)＝（３，１），（６，２），（９，３），（１２，４）
の場合が考えられます。
① (Ａ，Ｂ)＝（３，１）のとき
Ｃ＝３＋４＝７
Ｄ＝７×２－３＝１１ ・・・で成り立ち、
A＋B＋C＋D＝３＋１＋７＋１１＝２２
② (Ａ，Ｂ)＝（６，２）のとき
Ｃ＝６＋４＝１０のとき、Ｄ＝１０×２－６＝１４ ・・・成り立ちません。
Ｃ＝６－４＝２ ・・・Bと同じになり、成り立ちません。
③ (Ａ，Ｂ)＝（９，３）のとき
Ｃ＝９＋４＝１３のとき、Ｄ＝１３×２－９＝１７・・・成り立ちません。
Ｃ＝９－４＝５のとき、Ｄ＝５×２－９＝１・・・成り立ち、
A＋B＋C＋D＝９＋３＋５＋１＝１８
④ (Ａ，Ｂ)＝（１２，４）のとき
Ｃ＝１２－４＝８のとき、Ｄ＝８×２－１２＝４・・・Bと同じになり、成り立ちません。
よって、２２と１８です。
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１個180円のりんごを何個か買う予定でしたが，１個120円のみかんに変更したところ，５個余分に買えました。
（１）180円のりんごは何個買う予定でしたか。
（２）みかん代はいくらでしたか。
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面積図で表してみます。
面積の等しい図形の一部が重なっている場合，
重なっている部分の面積はもちろん等しく、
重なつていない部分の面積も等しくなります。
つまり、アとイの部分の面積が等しくなるということです。
イの面積は，120円×５個＝600円になるので，
アの面積も600円です。
アの縦の長さは，180円－120円＝60円
アの横の長さは，
600円÷60円＝10個 とわかります。
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なしとりんごがあります。
なしは全体の３/５より１７個少なく、
りんごは全体の４/７より３１個少ないとき、
なしとりんごはそれぞれいくつあるでしょうか？
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小学生が解く問題ですが、連立方程式を立ててみます。
小学生では消去算。
なし＝□、りんご＝△ とすると、
□＝（□＋△）×３/５－１７・・・①
△＝（□＋△）×４/７－３１・・・②
①を変形して、
５×□＝３×□＋３×△－８５
２×□＝３×△－８５・・・③
②を変形して、
７×△＝４×□＋４×△－２１７
３×△＝４×□－２１７・・・④
③の３×△に④の３×△を代入すると、
２×□＝４×□－２１７－８５
２×□＝４×□－３０２
２×□＝３０２
□＝１５１個
３０２＝３×△－８５
３×△＝３８７
△＝１２９個
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決められた何種類かの整数を足し合わせて１つの整数を作る方法を考えます。
例えば，１，２，３のみを用いて５を作る方法は，
３＋２，３＋１＋１，２＋２＋１，２＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１
の５通り考えられます。ただし,足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。
２，３，５のみを用いて３０を作る方法は全部で何通りありますか。
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全部５の場合、5＋5＋5＋5＋5＋5・・・・・1通り
全部３の場合、3＋3＋3＋・・・・＋3（３が10個）・・・・・1通り
全部２の場合、2＋2＋2＋・・・・＋2（２が15個）・・・・・1通り
２と５で３０にするには、
全部２の場合の
５個分（２×５）を５＋５に、
１０個分（２×１０）を５＋５＋５＋５にする、・・・・・２通り
３と５で３０にするには、
全部３の場合の
５個分（３×５）を５＋５＋５にする、・・・・・1通り
２と３で３０にするには、
全部２の場合の
３個分（２×３）を３＋３に、
６個分（２×６）を３＋３＋３＋３に、
９個分（２×９）を３＋３＋３＋３＋３＋３に、
１２個分（２×１２）を３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３にする、・・・４通り
２と３と５で３０にするには、
５が1つの場合、残り２５なので、（奇数なので３の個数も奇数個）
３が１つの場合、残り２２を全部２に、
３が３つの場合、残り１６を全部２に、
３が５つの場合、残り１０を全部２に、
３が７つの場合、残り４を全部２にする、・・・・・４通り
５が２つの場合、残り２０なので、（偶数なので３の個数は偶数個）
３が２つの場合、残り１４を全部２に、
３が４つの場合、残り８を全部２に、
３が６つの場合、残り２を２にする、・・・・・３通り
５が３つの場合、残り１５なので、（奇数なので３の個数も奇数個）
３が１つの場合、残り１２を全部２に、
３が３つの場合、残り６を全部２にする、・・・・・２通り
５が４つの場合、残り１０なので、（偶数なので３の個数は偶数個）
３が２つの場合、残り４を全部２にする、・・・・・1通り
５が５つの場合、残り５なので、（奇数なので３の個数も奇数個）
３が１つの場合、残り２を２にする、・・・・・1通り
全部で、１＋１＋１＋２＋１＋４＋４＋３＋２＋１＋１＝２１通り
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9682－2741＋1473－4969＋3525＋5857－8396＋7238－6114
時間をかけさえすれば誰にでも計算できますが、
あとの問題に時間をとっておきたいですよね。
どうスピードアップしますか？
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ある規則にしたがって次のように数が並んでいます。
１段目 １
２段目 ３ ５
３段目 ７ ９ 11
４段目 13 15 17 19
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ある段に並んでいるすべての数をたしたら，3375になりました。
その段は何段目ですか。
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Ａ は０でない整数とし、＜Ａ＞はＡの約数の和を表すものとします。
たとえば、＜８＞＝１＋２＋４＋８＝１５ です。
（１）＜１６＞－＜２５＞を求めなさい。
（２）＜Ａ＞＝２４ となるＡ は全部で ３個あります。すべて答えなさい。
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（１）
＜１６＞＝１＋２＋４＋８＋１６＝３１
＜２５＞＝１＋５＋２５＝３１
よって、＜１６＞－＜２５＞＝０ です。
（２）
まず、２４以上の数になると、＜Ａ＞＝１＋Ａ 以上なので
＜Ａ＞＝２４ になりません。よって、２３までの数で考えます。
１＋Ａ＝２４ となる Ａ は、Ａ＝２３ で、２３は他に約数がないので
Ａ＝２３ が１つ決まります。
調べてみると、素数（１とその数しか約数がないもの）は、２３だけが成立します。
次に、Ａが素数の２より大きい２の倍数のものを考えると、
＜Ａ＞＝１＋２＋（Ａ÷２）＋Ａ＝２４
より、（Ａ÷２）＋Ａ＝２１ で、これが成り立つのは Ａ＝１４ です。
確かに、＜１４＞＝１＋２＋７＋１４＝２４ で成り立ちます。
次に、同じ方法でＡが３より大きい３の倍数のものを考えると、
＜Ａ＞＝１＋３＋（Ａ÷３）＋Ａ＝２４
より、（Ａ÷３）＋Ａ＝２０ で、これが成り立つのは Ａ＝１５ です。
確かに、＜１５＞＝１＋３＋５＋１５＝２４ で成り立ちます。
これで３つ見つかりました。
以上より、＜Ａ＞＝２４ となるのは、Ａ＝１４，１５，２３ です。
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マッチ棒２６本を使って１４個の小さな正三角形を作りました。
ここから８本のマッチ棒を取り除いて、
小さな正三角形を６個にしてください。
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解答例
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下の図１は、底面の半径２０ｃｍ、高さ４０ｃｍの円すいの形の容器から、
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底面の半径１０ｃｍ、高さ２０ｃｍの円すいの形の容器（図２）を取り除いたものです。
図３は、図２の容器をひっくり返して、図１の容器の中に入れたものです。
図３の容器に水を入れると、水面は ＡＢ のまん中の点Ｍ のところになりました。
入れた水は何立方ｃｍでしたか。ただし、容器の厚さは考えないものとします。
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図２の容器のうち、図３で水に入っている部分は、
下の図４の点Ｂと点Ｎの間の部分です。
円すいの先端を点Ｏ として、
点Ｏから点Ｎ までの部分の小さい円すいの体積を【１】とすると、
点Ｎ は ＯＢ のまん中の点なので、相似比 １ ： ２ より、図２の円すいの体積は、
２×２×２＝【８】となり、
図３で水に入っている部分の体積は、【７】です。
次に、下の図５のように、点Ｍで図１の円すいを切ったものを考えると、
ＯＮ ： ＯＭ ＝ １ ： ３ なので、図５の色の付いた部分の体積は、
３×３×３＝【２７】 です。
よって、水の体積は、【２７】－（【８】＋【７】）＝【１２】 です。
【１】＝５×５×３．１４×１０÷３ なので、
求める水の体積は、
５×５×３．１４×１０÷３×１２＝３１４０立方ｃｍです。
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次の文章の【 】にあてはまる数を入れ、
高いか安いかを選んでください。
「定価の１０％引きの１０％引き」の価格は、「定価の２０％引き」の
価格よりも、定価の 【 ア 】％ だけ 【 高い ・ 安い 】。
また、「税込み価格から５％引き」の価格は、「税抜き価格」よりも
税抜き価格の 【 イ 】％ だけ 【 高い ・ 安い 】。
ただし、消費税は５％とします。
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定価を１００円とすると、定価の１０％引き＝９０円
定価の１０％引きの１０％引き ＝ ８１円 です。
定価の２０％引き＝８０円 なので、
２つの値段の差は １円です。
１円は、定価の１００円の １％ で、
これだけ 高い ことがわかります。
次に、定価１００円の税込み価格は、１０５円です。
１０５円の５％引きの価格は、
１０５－（１０５×５/１００）＝９９．７５円 なので、
税抜き価格の１００円よりも、０．２５円 安い です。
０．２５円は、１００円の ０．２５％ です。・・・ 【 イ 】
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下の図のように、
白球と黒球を、ある規則に従って左から１列に並べました。
このとき、黒球の１００個目は、左から何番目にありますか。
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黒球は、１＋２＋３＋・・・ となっていて、間に１個ずつ白球が
あります。
１＋２＋３＋・・・＋１３＝９１
１＋２＋３＋・・・＋１４＝１０５
なので、１００個目の黒球までに、白球が１４個あるので、
１００個目の黒球は、左から数えて、１００＋１４＝１１４番目
です。
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ある規則にしたがって次のように数が並んでいます。
１段目 １
２段目 ３ ５
３段目 ７ ９ 11
４段目 13 15 17 19
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ある段に並んでいるすべての数をたしたら，3375になりました。
その段は何段目ですか。
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下図のような直角三角形ＡＢＣがあります。
ＡＥを折り目として三角形を折ると、辺ＡＢは辺ＡＣと重なり、
ＣＤを折り目として三角形を折ると、辺ＢＣは辺ＡＣと重なり、
頂点Ｂは点Ｆと重なります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）角①（角ＡＨＤ）の大きさを求めなさい。
（２）三角形ＡＧＦの面積は、三角形ＡＢＣの面積の何倍か求めなさい。
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（１）角①＝角ＨＡＣ＋角ＨＣＡ です。
ＡＥ，ＣＤで三角形を折り返すと、ＡＢ，ＢＣがＡＣと重なるので、
角ＥＡＢ＝角ＥＡＣ、角ＤＣＡ＝角ＤＣＢ となります。
上の図１のように、それぞれの角度を■、▲と表すと、
角ＢＡＣ＋角ＢＣＡ＝１８０－角Ｂ＝９０度なので、
■＋■＋▲＋▲＝９０度となり、■＋▲＝９０÷２＝４５度と
求められます。
よって、角①は４５度です。
（２）面積が何倍かを問われているので、面積比を求めます。
まず、ＢＣとＣＦの長さは等しく４ｃｍなので、ＡＦ＝１ｃｍです。
三角形ＡＧＦと三角形ＡＢＥは、３つの角度が等しいので相似で、
相似比はＡＦ：ＡＢ＝１：３ なので、面積比＝１×１：３×３＝１：９
とわかります。
次に、ＡＥで三角形を折り返したときに頂点ＢがＡＣ上にくるところを点 Ｉ とすると、
ＡＢ＝ＡＩ ＝３ｃｍで、Ｃ I ＝２ｃｍとわかります。
すると、三角形ＡＩＥの面積：三角形ＣＩＥの面積＝ＡＩ：ＩＣ＝３：２
となります。
図２のように、三角形ＡＢＣは、
三角形ＡＢＥ＋三角形ＡＩＥ＋三角形ＣＩＥ と等しくなり、
三角形ＡＢＥの面積 ＝ 三角形ＡＩＥの面積、
三角形ＡＩＥの面積 ： 三角形ＣＩＥの面積 ＝ ３ ： ２で、
三角形ＡＧＦの面積 ： 三角形ＡＢＥの面積 ＝ １ ： ９ より、
三角形ＡＧＦの面積 ： 三角形ＡＢＣの面積＝１：９＋９＋６＝１：２４
という面積比になるので、
三角形ＡＧＦの面積は、三角形ＡＢＣの面積の２４分の１倍です。
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下の図の三角形ＡＢＣ は、角Ａの大きさが３０度、
辺ＢＣの長さが １０ｃｍで、その面積は９２ｃ㎡ です。
辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの上にある 点をそれぞれＸ，Ｙ，Ｚ とします。
また、点Ｘ の辺ＡＢ，ＡＣ に関して線対称となる点をそれぞれＰ，Ｑ とします。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）三角形ＸＹＺの周の長さは、
４点Ｐ，Ｚ，Ｙ，Ｑを結ぶ折れ線の長さに等しくなります。
その理由を説明しなさい。
（２）三角形ＡＰＱはどのような三角形になりますか。
その理由も説明しなさい。
（３）三角形ＸＹＺの周の長さが最も短くなるように、
点Ｘ，Ｙ，Ｚ の位置を決めたとき、その長さを求めなさい。
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（１）まず、点Ｐ，Ｑの位置は、下の図１のように、点Ｘ から辺ＡＢ，ＡＣ に垂線を下ろして、
交点をそれぞれ点Ｄ，Ｅ としたとき、
ＤＸ＝ＰＸ、ＥＸ＝ＱＸ となるように垂線を延ばしていったところになります。
ここで、三角形ＺＰＸ、ＹＱＸ について考えると、下の図２より
点Ｚ から 辺ＰＸ に垂線を下ろすと、辺ＰＸ が２等分されているので
三角形ＺＰＸ は二等辺三角形であるといえます。
同様に、三角形ＹＱＸ も二等辺三角形であるといえます。
よって、ＸＺ＝ＰＺ，ＸＹ＝ＱＹ となるので、三角形ＸＹＺ の周の長さは
４点Ｐ，Ｚ，Ｙ，Ｑ を結ぶ折れ線の長さと等しくなります。
（２）続いて、下の図３のように三角形ＡＰＸ，ＡＱＸ を考えると
（１）と同様に、頂点Ａ から辺ＰＸ，ＱＸ に下ろした垂線は、
底辺を二等分しているので、三角形ＡＰＸ，ＡＱＸ は二等辺三角形ということがいえます。
よって、ＡＰ＝ＡＸ＝ＡＱ とわかります。
ＡＤ，ＡＥ は角の二等分線なので、下の図４のように
角ＸＡＤ＝■、角ＸＡＥ＝● とすると、■＋●＝３０°なので
角ＰＡＱ＝６０° とわかります。
ゆえに、三角形ＡＰＱは、ＡＰ＝ＡＱで、角Ａ＝６０°の二等辺三角形、
すなわち、正三角形 です。
（３）（１）より、三角形ＸＹＺ の周の長さは、ＰＺ＋ＺＹ＋ＹＱ の長さに等しいので、
この長さが最短となるのは、４点Ｐ，Ｚ，Ｙ，Ｑ が下の図５のように一直線に並んだときで、
この長さは正三角形ＡＰＱ の１辺の長さに等しいです。
つまり、三角形ＡＱＰ の１辺の長さが最も短くなるのがどんなときかを考えると、
ＡＰ＝ＡＱ＝ＡＸ なので、
ＡＸ の長さが最も短くなるときです。
点Ｘ は辺ＢＣ 上の点なので、ＡＸ の長さが最も短くなるのは、
点Ａ と辺ＢＣ のキョリが最短となる位置に点Ｘ があるときで
点Ｘ が点Ａ から辺ＢＣ に下ろした垂線との交点にあるときです。
このとき、ＡＸ の長さは、三角形ＡＢＣ の面積が９２ｃ㎡、
辺ＢＣ＝１０ｃｍ なので、
ＡＸ＝９２×２÷１０＝１８．４ｃｍ
と求められ、三角形ＸＹＺの周の長さが最短となるとき、
その長さは、１８．４ｃｍ です。
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図のように、一辺が６ｃｍの正三角形を４つの部分に切りました。
正三角形の頂点から、１ｃｍのところから、３０°にハサミを入れて、
中央に小さな正三角形ができるようにしたものです。
斜線部分全体の面積は中央の小さな正三角形の面積の何倍ですか。
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図のように、３つの頂点に底角３０°、２辺が１ｃｍの二等辺三角形を継ぎ足します。
継ぎ足した部分の面積は下図のように、１辺が１ｃｍの正三角形と等しくなります。
また、図のように、三色の合同な二等辺三角形を頂角で合わせると、
１辺が６ｃｍの正三角形の面積に等しくなることがわかります。
つまり継ぎ足した３つの二等辺三角形の面積の和は、
中央の小さな正三角形の面積に等しくなります。
一辺が１ｃｍの正三角形の面積をＡとすると、
中央の小さな正三角形の面積は３Ａとなり、
もとの大きな正三角形は１辺が６ｃｍなので、面積は３６Ａ、
この大きな正三角形から中央の小さな正三角形をのぞいた面積は、
３６Ａ－３Ａ＝３３Ａ
したがって、小さな正三角形の面積との比は、
３３Ａ÷３Ａ＝１１で、
１１倍です。
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１時間に２分の割合でおくれる時計A と、１時間に５分の割合で進む時計B があります。午後３時にこの２つの時計を合わせました。この日、時計A が午後９時４６分を指しているとき、時計B は午後何時何分を指していますか。
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２つの時計は、正確な時間で１時間の間に、
A は５８分、B は６５分 進みます。
つまり、２つの時計の進む比は、５８：６５ です。
A が午後９時４６分までに、６時間４６分＝４０６分
進んだとき、B は、
５８ ： ６５ ＝ ４０６ ： □
より、□＝６５×４０６÷５８＝４５５分＝７時間３５分 進み、
時計B の指している時間は、午後１０時３５分 とわかります。
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Ｐ，Ｑの2地点からＡ君，Ｂ君の2人が向かい合って
それぞれ分速８０m，分速７８mで同時に進んで行くと，
ＰＱ間の真ん中より２０ｍだけＱに近い地点で出会いました。
ＰＱ間の距離は何ｍですか。
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図のように、２人が出会ったところまで、
Ａは中間点＋２０ｍ
Ｂは中間点－２０ｍ なので、
２人が進んだ距離は２０×２＝４０ｍの差がついています。
１分間で８０－７８＝２ｍの差がつくので、
４０ｍは４０÷２＝２０分間の差になります。
２０分間にＡは８０×２０＝１６００ｍ
Ｂは７８×２０＝１５６０ｍ 進むので、
ＰＱ間＝１６００＋１５６０＝３１６０ｍ です。
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１辺８ｃｍの立方体があります。
この立方体の上の面の各辺のまん中の点に
下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。
同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。
７個積み上げたとき、
外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何ｃ㎡ですか。
ただし、塔の底の面積（床についている部分）は含みません。
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下の図１のような幅２ｃｍ、周の長さ ５２ｃｍ の紙テープの輪があります。
それを下の図２のように折って、平らにします。
このとき四角形ＡＢＣＤ は横に長い長方形です。
下の図３の色の付いた部分の面積は長方形ＡＢＣＤ の面積の２倍になりました。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）長方形ＡＢＣＤ の周の長さは何ｃｍ ですか。
（２）ＡＢ の長さと ＢＣ の長さはそれぞれ何ｃｍ ですか。
ただし、ＡＢ より ＢＣ の長さの方が長いものとします。
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（１）ＥＨ＋ＨＩ＋ＩＬ＋ＥＬ＝５２ｃｍ で、
下の図４のＥＡ、ＢＨ、ＣＩ、ＣＬ の４か所を除くと長方形ＡＢＣＤの周の長さになります。
５２－２×４＝４４ｃｍ が周の長さです。
（２）紙テープの面積は ２×５２＝１０４ｃ㎡ に対し、
下の図５の黄色い部分（長方形ＡＢＣＤを除いた部分）の面積は
１０４－（２×２÷２×４個 ： 三角形ＡＦＥの面積４個分）＝９６ｃ㎡
なので、長方形ＡＢＣＤ の面積も ９６ｃ㎡ です。
（１）より、ＡＢ＋ＢＣ＝４４÷２＝２２ｃｍ で、
ＡＢ×ＢＣ＝９６ｃ㎡ です。
このようになる ＡＢ、ＢＣ を求めます。
９６＝１６×６
より、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝１６ｃｍ と求められます。
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一定の割合で水を入れて砂糖水を作る機械があります。
砂糖だけが入ってた容器Ａをこの機械に入れたところ、
２５秒後に２０％の砂糖水になりました。
さらにあと何秒たつと容器Ａは４％の砂糖水になりますか。
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Ａ、Ｂ、Ｃ３人で働けば10日間で仕上がる仕事があります。
もし、Ｃが２日休めば、その分をＡとＢ２人が１日多く働くか、
またはＢ１人が４日多く働かなければ、この仕事は仕上がりません。
（１）Ｃが１人でこの仕事を仕上げるには、何日働けばよいですか。
（２）Ａが１人でこの仕事を仕上げるには、何日働けばよいですか。
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太郎君は、算数のテストを①～⑥の６回受けたところ、平均点はＡ点でした。
③～⑥のテストの平均点はＡ点より３点高く、
①と②と⑥の３回のテストの平均点はＡ点より３．６点低かったそうです。
では①～⑤の平均点はＡ点より何点高かったか低かったか、
計算してください。
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③＋④＋⑤＋⑥→３×４＝１２点Ａ点より高かったわけです。
すると、①＋②は逆にＡ点より１２点低かったことになり、
①＋②＋⑥→３．６×３＝１０．８点Ａ点より低いので、
⑥は１２－１０．８＝１．２点Ａ点より高かったことになるので、
①＋②＋③＋④＋⑤→は逆にＡ点より１．２点低かったわけで、
平均点は１．２÷５＝０．２４点低かったことになります。
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３個のサイコロを同時に投げ、出た目の積を得点とするゲームをします。このゲームを３回行ったところ、２回目の得点は１回目の得点の半分、３回目の得点は２回目の得点の半分になり、３回の得点の合計は２１０点でした。このとき、次の問に答えなさい。
（１）１回目、２回目、３回目の得点はそれぞれ何点ですか。
（２）３回とも必ず出ている目があります。その目を答えなさい。
（３）３回のゲームの中で、１回も出ていない可能性のある目をすべて答えなさい。
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（１）３回目の得点を【１】とすると、２回目の得点は【２】で、
１回目の得点は【４】です。合計【７】で２１０点なので、
１回目は、１２０点、２回目は、６０点、３回目は、３０点
とわかります。
（２）それぞれの得点を出すような目を考えます。
１２０＝４×５×６ より、４，５，６の目しかありません。
６０＝２×５×６＝３×４×５ より、（２，５，６）または（３，４，５）
３０＝１×５×６＝２×３×５ より、（１，５，６）または（２，３，５）
すべてに共通しているのは、５ の目です。
（３）４，５，６ は１２０を出すために必要です。
１の目は、１回目も２回目も出ていないので、
３回目が（２，３，５）なら１回も出ないことがありえます。
２の目は、２回目が（３，４，５）、３回目が（１，５，６）ならば、
１回も出ないことがありえます。
３の目は、２回目が（２，５，６）、３回目が（１，５，６）ならば
１回も出ないことがありえます。
よって、１回も出ていない可能性のある目は、１，２，３ です。
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１辺が１ｃｍの立方体を積み上げて、
図のような１辺５ｃｍの立方体を作りました。
次に、緑の部分を反対側の面までまっすぐくりぬきます。
くりぬいた後の体積と表面積を求めなさい。
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体積
くりぬかれた段は１つの立方体が重なっているので、
９個なくなっています。
したがって、５×５×５－９×３＝９８立方ｃｍ
表面積
２～４段のくりぬかれた部分の表面積は図のようになります。
上下の段でくりぬき部分の接しているところが３ｃ㎡になり、
たてと横が重なるところが上下の面の２ｃ㎡になります。
２段目→４×６＋３×２＋２＝３２ｃ㎡
３段目→４×４＋３×４＋２＝３０ｃ㎡
４段目→４×６＋３×２＋２＝３２ｃ㎡
増えた面積→３２×２＋３０＝９４ｃ㎡
表面は３×４＝１２ｃ㎡減るので、
合計は、５×５×６＋９４－１２＝２３２ｃ㎡
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ある中学のテニス部で部員がボールを運びます。部員全員が10球ずつ運ぼうとすると40球残ってしまいます。そこで、16人いる1年生の部員が1人8球ずつ、上級生が1人12球ずつ持つとちょうど運べました。ボールは何個あったのでしょうか？
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１年生は16人なので10球ずつ運ぶと、
10球×16人＝160球
1年生16人が8球ずつ運ぶと、
8球×16人＝128球
（1年生が10球ずつ）－（1年生が8球ずつ）
＝160球－128球＝32球の差です。
（1年生が10球ずつ、上級生が10球ずつ運ぶ場合）は40球余り、
（1年生が8球ずつ、上級生が12球ずつ運ぶ場合）はちょうど運べるので、
（上級生が12球ずつ）－（上級生が10球ずつ）＝32球＋40球
＝72球の差があることがわかります。
72球÷(12球－10球)＝36人 が上級生の数ですから、
ボールの数は→10球×(16人＋36人)＋40球＝560球
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校庭で遊んでいる男子の数は、女子の４倍でした。新しく男子も女子も１６人ずつ校庭に出てきました。すると、男子は女子の３倍になりました。はじめ校庭にいた男子と女子は、それぞれ何人だったのでしょうか。
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基本レベル
下の図の正六角形の面積は６０ｃ㎡です。
ＡＧとＧＢの長さの比が１：３の時、斜線部の面積を求めなさい。
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生徒数が３０人のクラスがあります。
以下の条件で班を作り、１年間掃除をします。
１年間の授業日数は２３０日とします。授業がある日は必ず掃除をします。
各班の人数は等しくします。１人あたりの掃除の回数は等しくします。
１人あたりの掃除の回数は、４０回以上５０回以下とします。
このとき、各班の人数は何人でしょうか？
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各班の人数として考えられるのは、３０の約数で
１，２，３，５，６，１０，１５，３０ です。
班が１人構成の場合、３０日に１回掃除が回ってきて、
２３０÷３０＝７あまり２０ となり、７回掃除をする人と
８回掃除をする人ができてしまいます。
（２３０を割り切れないといけないということです）
班が２人構成の場合、１５日に１回掃除が回ってきて、
２３０÷１５ → 割り切れません
班が３人構成の場合、１０日に１回掃除が回ってきて、
２３０÷１０＝２３ → 掃除の回数は４０回以上５０回以下
という条件に反します。
班が５人構成の場合、６日に１回掃除が回ってきて、
２３０÷６ → 割り切れません
班が６人構成の場合、５日に１回掃除が回ってきて
２３０÷５＝４６回 → 条件を満たします。
班が１０人構成の場合、３日に１回掃除が回ってきて
２３０÷３ → 割り切れません
班が１５人構成の場合、２日に１回掃除が回ってきて、
２３０÷２＝１１５回掃除 → 条件を満たしません
班が３０人構成の場合、毎日掃除が回ってきます。
もちろん条件を満たしません。
よって、班は６人です。
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次のア、イ、ウに、それぞれ＋、×、÷の記号を入れて計算をします。
＋、×、÷の記号はそれぞれ１回ずつ使います。
５ ア ４ イ ３ ウ ２ ＝
＋、×、÷ の入れ方を変えて答えの大小を比べたときに、
もっとも小さいときの答えはいくつですか。
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５＋４×３÷２＝１１
５＋４÷３×２＝７と２/３
５×４＋３÷２＝２１と１/２
５×４÷３＋２＝８と２/3
５÷４＋３×２＝７と１/４
５÷４×３＋２＝５と３/４
以上より、５と３/４
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Aさんは、日曜日にバスと電車を乗りついで楽器を買いに行きました。
Ａさんの自宅から楽器店までは、片道のバス料金が250円、
片道の電車賃が1190円かかります。
楽器店では、閉店セールを行っていたため、すべての楽器が半額でした。
しかし、平日に買うと、さらに３割引きになるということがわかりました。
定価が何円以上の楽器のとき、今日の楽器の代金より、
平日に出直した時の交通費と楽器代を合わせた金額の方が低くなりますか。
ただし、楽器の定価は100の倍数とします。
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半額になった価格を□とすると、
□－２×（２５０＋１１９０）＝０．７×□ となる□を計算すると、
０．３×□＝２８８０
□＝９６００円のとき、今日と平日が同じになります。
定価はその倍の、９６００×２＝１９２００円より高い１００の倍数ですから、
１９３００円になります。
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１、２、３、４、６、７、８、９の８つの数字をならべて、
１、２、３、４、６、７、８、９のどの数によっても割り切れる整数を作ります。
各数字は、必ず１度は使い、また、何度使っても構いません。
このようにして作る整数のうち、最小のものはいくつですか？
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１、２、３、４、６、７、８、９で割り切れるには、７×８×９で割り切れればＯＫです。
９の倍数は、各位の数の和が９の倍数なので、
１＋２＋３＋４＋６＋７＋８＋９＝４０だから、あと５を加えて４５にします。
５はないので、１と４か２と３ですが１と４の方が小さい数にできるので、
１と４を使って最小の数にすると、１１２３４４６７８９が考えられます。
次に８の倍数であるためには、下３けたが８の倍数となるので、
下１けたを偶数の８にして、７８９を並べ替えると、７９８も９７８もどちらも不適当、
そこで６も加えて、下４けたの偶数を小さい順に並べると、
7698、7896、7968、7986、8796、8976、9678、9768、9786、9876
このうち下３けたが８の倍数となるのは、
７８９６、７９６８、８９７６、９７６８
１１２３４４÷７＝１６０４９・・・１（あまり）なので、
あまりの１を万の位に置いて、それぞれ７で割ってみると、
割り切れるのは１９７６８なので、
最小の数は、１１２３４４９７６８
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上の図１のような直方体の積み木を９個、図２のように、たて、横、交互に積み上げました。その後、図３のようにア → イ → ウ の順に積み木を引きぬいて積み上げました。
図３の立体の表面積は何ｃ㎡ですか。（床に接している下の部分も含みます）
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図３の立体をウの面の方向から見ると、下の図４の赤線の部分は、
積み木が重なっている部分（表面積とは言えない部分）で、
７か所あり、反対側から見たときも７か所で、
合計１４か所となります。
この重なった部分は、３ｃｍ×３ｃｍ＝９ｃ㎡ で、
積み木と積み木が重なっているとき、
上下の積み木２つ分に ９ｃ㎡ の重なりがあるので、
１か所につき、９×２＝１８ｃ㎡ の重なりがあることがわかります。
重なりは１４か所あるので、１４×１８＝２５２ｃ㎡ になります。
求める表面積は、積み木 ９個の表面積から、
２５２ｃ㎡ を除けばよく、
（９×２＋９×３＋２×３）×２×９－２５２
＝５１×１８－１４×１８＝３７×１８
＝６６６ｃ㎡
となります。
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あるところに、冬でも活動する不思議なカエルがいました。このカエ
ルは、山の斜面を１回のジャンプで１０ｃｍ登ることができます。このカエルは、ジャンプを始めると、ジャンプとジャンプの間に一定の時間をおきながら、続
けて２０回のジャンプをします。このとき、ジャンプを始めてから最後のジャンプで着地するまで５分かかります。その後、１０分間休みます。このカエルは、
このような５分間のジャンプと１０分間の休みをくり返しながら山の斜面を登っていきます。このとき、次の問に答えなさい。
（１）このカエルは、山の斜面でジャンプを始めてから５５分後には何 ｍ 登ったところにいますか。
（２）このカエルが山の斜面を登って行くと、氷の斜面にたどり着きました。氷の斜面では、ジャンプで着地してから次にジャンプをするまでの間に ２ｃｍ下がってしまいます。また、１０分間の休みを取っている間にも ８０ｃｍ下がってしまいます。
【１】この氷の斜面では、ジャンプを始めてから続けて２０回のジャンプをして最後に着地するまでに、どれだけ登ることができますか。
【２】この氷の斜面は ９ｍ 続いていました。この氷の斜面の一番下からジャンプを始めると、氷の斜面の一番上に到達するまでに、どれだけの時間がかかりますか。
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４０人の生徒に対して、問題Ａ，Ｂ の２題によるテストを行いました。得点は、２題とも正解ならば１０点、Ａ，Ｂ のどちらか１題だけが正解ならば５点、どちらも不正解ならば０点としました。その結果について、次のことがわかっています。
（ア）４０人の平均点は、ちょうど６点でした。
（イ）得点が０点と５点の生徒は、合わせて３０人いました。
（ウ）問題Ａ が正解だった生徒の人数は、問題Ｂ が正解だった生徒の人数の２倍でした。
このとき、問題Ａ が正解で、問題Ｂ が不正解だった生徒は何人か求めなさい。
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問題文より、１０点の生徒は１０人ということがわかります。
４０人の平均点が６点なので、
点数の合計は、４０×６＝２４０点とわかり、
そこから１０点の生徒の点数を引くと、
２４０－１０×１０＝１４０点 が、５点の生徒の合計点数
ということになります。
よって、５点の生徒の人数 （ＡまたはＢが正解だった生徒）は、
１４０÷５＝２８人 とわかります。
下の図のように、「べん図」を描くと、
Ａ が正解だった生徒の人数は、
Ｂ が正解だった生徒の人数の２倍で、
【Ａ だけが正解だった生徒数】＝Ａ
【Ｂ だけが正解だった生徒数】＝Ｂ
とすると、Ａ＋Ｂ＝２８人 で、Ａ＋１０（人）は、Ｂ＋１０（人）の２倍
ということになります。
このことから、２８＋１０＋１０＝４８人 が ２ ： １に分かれると、
Ａが正解だった生徒数とＢが正解だった生徒数がわかり、
それぞれ ３２人 と １６人 となります。
よって、Ａ だけが正解だった生徒は、３２－１０＝２２人 です。
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図のように、面積が４０ｃ㎡の三角形ＡＢＣの辺の上に４つの点Ｄ，Ｅ、Ｆ、Ｇがあり、ＤＥＦＧは長方形で、角Ｃは４５゜、ＢＣ＝１０ｃｍ、ＤＧ＝６ｃｍです。このとき、三角形ＡＤＧの面積と三角形ＤＢＥの面積を求めなさい。
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１時間に６分の割合で遅れる時計Ａと、
１時間に６分の割合で進む時計Ｂがあります。
両方の時計を正しい１時の時報に合わせます。時報に合わせてから、
時計Ａの長針と短針の間の角度が初めて90°になるとき、
時計Ｂは何時何分何秒をさしていますか。
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時計Ａは正確な時計の５４/６０＝９/１０の速さなので、
時計Ａの長針は１時間に３６０×９/１０＝３２４°進み、
１分間に３２４÷６０＝５．４°進みます。
時計Ａの短針は１時間に３０°×９/１０＝２７°進み、
１分間に２７÷６０＝０．４５°進みます。
１時から長針と短針が９０°になるには、
長針が３０°＋９０°＝１２０°の差を短針につける時間です。
１２０÷（５．４－０．４５）＝８００/３３＝２４と８/３３ 分です。
これは正確な時間なので、
時計Ｂはこの時間よりも、６６/６０＝１１/１０進んだ時刻をさしています。
したがって、８００/３３×１１/１０＝８０/３＝２６と２/３分
１時２６分４０秒をさしています。
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図の中の数字はある決まりに従っています。
Ａ、Ｂ，Ｃはいくつですか？
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２円が重なった部分は、その２円が重なっていない数字の平均です。
したがって、
Ａ＝１８×２－１０＝２６
Ｂ＝２５×２－２６＝２４
Ｃ＝（２４＋１２）÷２＝１８
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９枚のカードに漢数字の一から九までを１つずつ書き，その裏に算用数字の１から９までを表の漢数字とは無関係に１つずつ書きました。カードの両面の数の和は９枚ともすべて異なっていて，最も小さい和は3，最も大きい和は15でした。また，六のカードの裏の数字は８でした。下の図は，９枚のカードを適当に並べたものです。
（１）一の裏はいくつですか。
（２）三の裏はいくつですか。
（３）五の裏はいくつですか。
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六の裏は８、
１５になる組み合わせは、６－９、７－８ ですが、
７－八、七ー８、９－六が考えられますが、すでに六と８は決まっているので、
７の裏は八です。
３になる組み合わせは、１－２ですが、
二ー１も１－二もないので、２の裏は一に決まります。
残る漢数字は三と九ですが、９－九はありえないので、
９の裏が三で、１の裏が九になります。
和が１０と１２は決まったので、七の裏は４か６になります。
七ー４の場合、６－二しかなく、五ー３となり、５－四で決まり、
五の裏は３になります。
七ー６の場合、五と四の裏が同時に５か４ではありえず、どちらかに３になります。
四ー３だと、５は二、五のどちらの裏にもなりえません。
したがって五の裏は３になり、
二ー４、四ー５が決まります。
七がいずれの場合も、五の裏は３になります。
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図のように点Ｏを中心とする円と、
点Ｏを通る線分BCを一辺とする直角三角形ＡＢＣがあります。
このとき、線分CPの長さは何ｃｍですか。
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おもちゃの列車を走らせるために，図のような周回できるレールを敷きました。このレールの上を列車が一定の速さで，次の条件をみたしながら走っています。
・列車が鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに18.6秒かかる。
・列車が鉄橋の下を通過するのに15秒かかる。
・列車が鉄橋の下を通過し終わってから，初めて鉄橋にさしかかるまでに88秒かかる。
・列車が鉄橋を渡り終わってから，初めて鉄橋の下を通過し終わるまでに103.4秒かかる。
鉄橋の長さは43.2cmで，鉄橋の幅は考えないものとします。この列車の速さは毎秒①cm，列車の長さは②cmです。また，レール１周の長さは③cmです。
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二輪車と三輪車と四輪車がそれぞれ何台かあります。車輪の数は全部で50輪あります。１台に１人ずつ乗ると、18人乗るのに２人分たりません。三輪車の台数は四輪車の台数よりも３台少ないといいます。二輪車と三輪車と四輪車はそれぞれ何台ありますか。
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下の図の四角形ABCDはAB＝AD、AC＝１０ｃｍです。
角ACBは15°で、角ABCの大きさと角ADCの大きさの和は180°です。
このとき，四角形ABCDの面積は何ｃ㎡ですか。
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図のように、△ACDをAを中心に回転させ、ABとADが重なるまで移動します。
回転移動したのが△AC'D' です。
角ABC＋角AD'C'＝１８０°なので、C'Cは直線になります。
AC'＝AC＝１０ｃｍなので、△AC'Cは二等辺三角形で、角AC'C＝１５°です。
求める面積は△AC'Cですが、
AからC'Cに垂線を下ろすと、△AC'Cは二等分され、
△AECと線対称な△EFCを考えると、面積は△AC'C＝△AFCなので、
△AFCの面積を求めればよいことになります。
AからFCに垂線を下ろすと、
△黄は９０°６０°３０°の直角三角形で、正三角形の半分です。
AG＝１０÷２＝５ｃｍ なので、
面積は、１０×５÷２＝２５ｃ㎡ となります。
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満月から次の満月まで ２９．５３日かかるものとします。ある【うるう年】の ９月３０日が満月であるとき、次の満月を１回目として、１００回目の満月となるのは何年後の何月何日ですか。ただし、【うるう年】は４年に１度、必ずあるものとします。
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１００回目の満月まで、
２９．５３×１００＝２９５３日
かかります。これが、何年何ヶ月何日後かというと、
２９５３÷３６５＝８あまり３３
で、８年の間に【うるう年】は２回あるので、８年３１日後です。
９月３０日から３１日後を考えると、１０月は３１日まであるので
１００回目の満月は ８年後の１０月３１日 とわかります。
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下の図のように、ある規則に従って、白と黒のご石を並べていくとき、
２６番目は、白黒それぞれ何個のご石がありますか。
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白、黒、それぞれの石の総数を数えて規則性を調べます。
白
１番目 ・・・ １個
２番目 ・・・ １個
３番目 ・・・ １＋８＝９個（３×３）
４番目 ・・・ ９個
５番目 ・・・ ９＋４×４＝２５個（５×５）
６番目 ・・・ ２５個
黒
１番目 ・・・ ０個
２番目 ・・・ ４個（２×２）
３番目 ・・・ ４個
４番目 ・・・ ４＋３×４＝１６個（４×４）
５番目 ・・・ １６個
６番目 ・・・ １６＋５×４＝３６個（６×６）
以上より、２６番目では、黒石の個数は２６×２６＝６７６個
白石の個数は、２５×２５＝６２５個 になることがわかります。
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ややムズレベル
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直角二等辺三角形ＡＢＣの各頂点が、
図のように平行な線①、②、③の上にあります。
このとき①と②の間は５ｃｍ、②と③の間は３ｃｍでした。
線②とＡＣの交点をＤとしたとき、三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。
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たて、横、ななめに並ぶ３個の数字の和がすべて等しくなるとき、
アはいくつになりますか？
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８＋１１＋下段左＝１２＋下段真ん中＋下段左 なので、
１９＋下段左＝（１２＋下段真ん中）＋下段左 となって、
１９＝１２＋下段真ん中
下段真ん中＝１９－１２＝７
中段真ん中をはさむ数字の和は、８＋１２＝２０ なので、
上段真ん中＝２０－７＝１３
中段右＝２０－１１＝９
８＋１３＋ア＝８＋１１＋下段左 なので、
下段左＝ア＋２
ア＋ア＋２＝２０ より、
ア＝１８÷２＝９
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①、②のように記号を決めると、例のように計算ができます。
では、
を計算した答えはいくつになるでしょう？
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図のような３つの正六角形 あ、い、う があります。
あ、い、う の辺の長さの比は１：２：３です。
また、直線アイは あ の対称の中心と う の対称の中心を通っていて、
い の対称の中心は う の頂点になっています。
正六角形 あ の面積が９c㎡のとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。
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図のように正六角形の中心を通る直線は、
△黄が合同になるので、その面積を２等分します。
また、中心に重なる頂点は、その角度が１２０°なので、
△黄が合同になり、
正六角形の面積を１/３と２/３に分割します。
辺の長さが、あ：い：う＝１：２：３ なので、
面積比は、あ：い：う＝１×１：２×２：３×３＝１：４：９
あ＝９ｃ㎡ なので、
い＝９×４＝３６ｃ㎡ 、 う＝９×９＝８１ｃ㎡
うの半分は、８１÷２＝４０．５ｃ㎡
あの半分は、９÷２＝４．５ｃ㎡
いの１/３は、３６÷３＝１２ｃ㎡
斜線部分＝４０．５－４．５－１２＝２４ｃ㎡
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下の図のおうぎ形、O－ACBDの中心角は２３６°です。
（弧ABの長さ）：（弧CDの長さ）＝７：５ で、
角BOC＝２８°のとき、
角アは何度になるでしょうか？
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おうぎ形緑の中心角をイ とすると、
ア＋イ＝２３６°－２８°＝２０８°
（イ＋２８°）＋（ア＋２８°）＝ア＋イ＋５６°＝２６４°
（角イ＋２８°）：（角ア＋２８°）＝７：５ なので、
（角ア＋２８°）＝２６４°×５/（７＋５）＝１１０°
角ア＝１１０°－２８°＝８２°
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５個並んだマスに黒色をぬって整数を表すことにします。黒色をぬる場所によって、
とします。このようにすると、
と表せます。
では、
（１）
はいくつを表しますか。
（２）このぬり方で１３を表してください。
（３）このぬり方で、０からいくつまでの整数をを表すことができますか。
（４）同じように並んだマスを用いて、０から１２９の整数を表すには、最低いくつのマスを並べる必要がありますか。
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（１）２１
（２）
（３）３１
（４）８つ
１２９→
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１辺３ｃｍの立方体を下の写真のように１ｃｍ間隔で積み上げて立体を作ります。積み上げられた立体が4段になったときのできる立体の表面積を求めなさい。
１ｃｍ間隔に並べた立方体 3段に積まれた立体
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普連土りんご農園に収穫期がやってきました。10人ですると16日で収穫を終え，15人ですると８日で収穫を終えます。10日で収穫を終えるには，何人ですればよいですか。ただし，りんごは毎日同じ数だけ実が熟すものとします。
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父,母,兄,妹の４人家族がいます。兄は妹より4歳年上です｡現在,母の年齢は兄の年齢の３倍で,８年後には父の年齢は妹の年齢の３倍になります｡父は母より[①]歳年上です｡また，現在の４人の年齢を足すと96歳です｡現在,母の年齢は[②]歳,妹の年齢は[③]歳です。
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A、B、C、Dの４人が算数のテストを受けました。
BはDより２３点高く、
CはDより８点高く、
AはBより１０点高く、
４人の平均は７８点でした。
４人はそれぞれ何点だったでしょうか？
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線分図で書き表すと、下の図のようになります。
４人の得点合計は、７８×４＝３１２点なので、
D＝｛３１２－（８×３＋１５×２＋１０）｝÷４＝６２点
C＝６２＋８＝７０点
B＝７０＋１５＝８５点
A＝８５＋１０＝９５点
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下の図はテーブルの上にサイコロを下段から９個、５個、１個と
すきまなく積み上げて固定したものです。
サイコロの向かい合う面の合計は７です。
（１）見ることのできる面は全部で何面ありますか。
（２）見ることのできる面の数の和が最小になるときはいくつになりますか。
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(１）
下段の四隅は３面×４＝１２面
辺は１面×４＝４面
中段は４面×４＝１６面
上段は５面
合計、１２＋４＋１６＋５＝３７面
（２）
下段の四隅は１と２と３の面にすれば、
（１＋２＋３）×４＝２４
下段の辺は１になり、
１×４＝４
中段は上と辺が１と２、向かい合う面は７で
（１＋２＋７）×４＝４０
上段は、１＋２＋３＋４＋５＝１５
合計、２４＋４＋４０＋１５＝８３
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下の例のように､ある整数のすべての位の数をかけ合わせて、
その答えが１けたの数になるまで繰り返します。
例 ６７→６×７＝４２→４×２＝８
最後の答えが６になる２けたの整数は何個あるでしょうか？
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６＝２×３または１×６ なので、
２３、３２、１６、６１ の４つと・・・
３２＝４×８ なので、
４８、８４ の２つと・・・
４８＝６×８ なので、
６８、８６ の２つと・・・
１６＝２×８または４×４ なので、
２８、８２、４４ の３つと・・・
２８＝４×７ なので、
４７、７４ の２つで・・・
４＋２＋２＋３＋２＝１３個
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下の図において、台形ＡＢＣＤ はＡＤの長さが４ｃｍ、
ＢＣの長さが２８ｃｍです。
ＰＱはＡＤ と平行で、台形ＡＢＣＤ の面積を二等分しています。
このとき、ＰＱの長さを求めなさい。
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下の図１のように、ＢＡ とＣＤ を延ばし、交点をＲ とすると、
三角形ＲＡＤ と三角形ＲＢＣ は相似で、相似比は、１ ： ７ です。
相似比が １ ： ７ のとき、面積比は、１×１ ： ７×７ ＝ １ ： ４９
となるので、三角形ＲＡＤ の面積を【１】とすると、台形ＡＢＣＤ
の面積は 【４８】 となります。
ＰＱは台形ＡＢＣＤ の面積を二等分しているので、台形ＡＰＱＤ
の面積は 【２４】 となり、三角形ＲＰＱ の面積は 【２５】 です。
三角形ＲＡＤ と三角形ＲＰＱ は相似で、面積比が １ ： ２５ です。
面積比が １ ： ２５（５×５） なので、相似比は １ ： ５ とわかります。
つまり、ＡＤ ： ＰＱ ＝ １ ： ５ で、ＡＤ＝４ｃｍ より、
ＰＱ＝４×５＝２０ｃｍ
と求められます。
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考え方と解法例
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図のように木を植えていきます。大きな木から始めて、大きい木と木の間に小さな木を植えます。小さな木は、初めは１本、次は２本、その次は４本、・・・というように２倍ずつ増やしていきます。大きな木と小さな木の間を３．２５ｍ、小さな木どうしの間は１．２５ｍとし、木の太さは考えないことにして、次の各問に答えなさい。
（１）初めから数えて、大きな木の３本目と４本目の間の距離は、大きな木の２本目と３本目の間の距離より何ｍ長いか求めなさい。
（２）初めから数えて、大きな木の５本目と６本目の間の距離を求めなさい。
（３）初めの大きな木から測って１００ｍのところまでに大小合わせて何本の木があるか答えなさい。
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１００ｍを超えます。
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図のように、ある決まりにしたがって整数を表しました。
「？」はいくつでしょうか？
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いちばん右が１、次が１×３＝３、次が３×３＝９、いちばん左が９×３＝２７、
これは３倍ずつ位が上がる３進法です。
？＝２７×１＋９×２＋３×２＋１＝５２
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下の図の正六角柱ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬ は底面が正六角形で
側面は正方形でできています。
図のように、この正六角柱の頂点Ｈ から
辺ＢＣ上の点Ｍ，辺ＥＦ上の点Ｎを通って頂点Ｋまで
長さが最も短くなるようにひもを張ります。
この正六角柱の表面積が４８ｃ㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。
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正六角柱の展開図を描くと下の図１のようになるので、
ひもの長さが最短となるのは、図１のように頂点Ｈ と頂点Ｋ を
一直線に結んだときです。
また、正六角形は、６個の正三角形から成るので、下の図２のように、
この展開図は、６個の正方形と１２個の正三角形で
できていると考えることができます。
立体の表面積が４８ｃ㎡ なので、
正方形１個と正三角形２個の面積の合計が８ｃ㎡
ということがわかります。
また、下の図３のように、
ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ の交点Ｏは、ＨＫ上にあり、ちょうどまん中の点です。
（三角形ＯＢＨと三角形ＯＥＫが合同なので、ＯＨ＝ＯＫ）
ＨＫの長さを求めるには、ＯＨの長さを求めればよいことになります。
下の図４のように、三角形ＯＨＰに注目します。
三角形ＯＢＨは二等辺三角形で、角ＯＢＨ＝１５０度なので、
角ＢＯＨ＝（１８０－１５０）÷２＝１５度 です。
同様に角ＡＯＰ＝１５度なので、角ＨＯＰ＝６０＋１５＋１５＝９０度
となります。
ここで、三角形ＯＢＨの面積は下の図５のように等積変形すると、
正方形の４分の１の面積に等しいことがわかります。
このことから、三角形ＯＨＰの面積は下の図６のように
正方形１個 と 正三角形２個分の面積の和に等しいことがわかり、
面積は８ｃ㎡ です。
ＯＨの長さとＯＰの長さは等しいので、三角形ＯＨＰは直角二等辺
三角形で、面積が８ｃ㎡ より、ＯＨの長さを□ｃｍとすると、
□×□÷２＝８
より、□＝４ｃｍ とわかります。
よって、最短となるひもの長さ ： ＨＫの長さは、４×２＝８ｃｍ
ということがわかります。
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下の正方形ABCDの中の３×３のマス目に石を３個置きます。
ただし、石は１マスに１個までしか置けず、上下左右の隣り合ったマスに
２個並べて置くことはできません。
全部で何通りの置き方がありますか。
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各段の置き方は、（１個、１個、１個）か（０個、１個、２個）の場合だけです。
（１個、１個、１個）のとき、
最初の１個はどこにでも置けるので３通り、
次はその下（上）以外の２通り、
次もその下（上）以外の２通りなので、
３×２×２＝１２通りです。
（０個、１個、２個）のとき、
０個の段がまん中の場合、
１個の段は３通り置けるので、
１個と２個の段を入れ替えれば、３×２＝６通りです。
０個の段が上下にある場合、
１個と２個の段が入れ替えられるので、２通り、
０個が上下で、２×２＝４通りです。
したがって、全部で１２＋６＋４＝２２通りになります。
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３を２０１４回かけた数を３０で割ったら余りはいくつ？
（３×３×３×３×・・・・・・・・×３×３）÷３０＝□・・・？
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３を連続してかけていくと、１の位は３、９、７、１、３、９、７、１、・・・・と、
４つの数字が繰り返されます。
３を１つ約分して、１０で割っていくと・・・
３÷３０＝１÷１０＝０・・・１
３×３÷３０＝３÷１０＝０・・・３
３×３×３÷３０＝３×３÷１０＝０・・・９
３×３×３×３÷３０＝３×３×３÷１０＝２・・・７
３×３×３×３×３÷３０＝３×３×３×３÷１０＝８・・・１
余りも１、３、９、７、・・・・が繰り返されます。
２０１４÷４＝５０３・・・２ なので、２番目の余りになり、
３です。
↑とやると間違い！（ご指摘いただきました！m(_ _)m）
３０で割っているので、
３÷３０＝０・・・３
３×３÷３０＝０・・・９
３×３×３÷３０＝０・・・２７
３×３×３×３÷３０＝２・・・２１
と、余りは３、９、２７、２１の繰り返しになります。
２０１４÷４＝５０３・・・２
なので２番目の９が正解です。
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図のような平行四辺形ＡBCＤでE，Ｆ，ＧはＡＤの４等分，
点Ｈ，I，Ｊ，Ｋ，ＬはBＣの６等分点です。
三角形ＰＥＤの面積は平行四辺形ＡBＣＤの面積の何倍ですか。
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こたえ
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ある店で買い物をすると、現金で払った金額の５％がポイントとしてもらえます。ただし、金額の５％が小数になるときは、小数点以下を切り捨ててポイントにします。このポイントは次の日から１ポイント１円として使うことができます。星子さんは、この店のポイントを８５０ポイント持っていました。ある日、星子さんが９８００円のデジタルカメラと１０５０円のカメラケースを買いに行ったところ、２日後に全てのポイントが使えなくなることを知りました。そこで、その日はデジタルカメラだけを買い、次の日にポイントだけでカメラケースを買い、ポイントを使いきることを考えました。このとき、次の問に答えなさい。
（１）デジタルカメラを買うときに、ポイントを使わずに買ったときと、１ポイントだけ使って買ったとき、次回から使えるポイントは、それぞれ何ポイントになりますか。
（２）デジタルカメラを買うときに、使うポイントを１，２，３，…と増やしていくことを考えます。このとき、現金で払った金額の５％が、初めて小数点以下が切り捨てにならずにポイントとしてもらえるのは、何ポイント使うときですか。
（３）次の日にポイントだけでカメラケースを買い、ポイントを使いきるためには、星子さんは何ポイントを使ってデジタルカメラを買えばよいですか。
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（１）９８００円の５％は、９８００×５/１００＝４９０ポイントとなり、
次回使えるポイントは、８５０＋４９０＝１３４０ポイントです。
１ポイントを使うと、現金で ９７９９円を払うので、
９７９９円の５％は、９７９９×５/１００＝４８９．９５で、
小数の部分は切り捨てなので、４８９ポイント となり、
次回使えるポイントは、
８５０－１＋４８９＝１３３８ポイントです。
（２）１ポイントを使うと、０．９５ポイントが切り捨てられます。
初めて切り捨てがなくなるのは、４８９ポイントちょうどのときで、
□円の５％が４８９円、つまり、□×５/１００＝４８９のときが、切り捨てがなく、
□＝４８９×１００/５＝９７８０円のときです。
このとき使ったポイントは、９８００－９７８０＝２０ポイントです。
（３）（２）の場合、２０ポイントを使い、９７８０円の５％の４８９ポイントを得るので、
カメラケース用のポイントは
８５０－２０＋４８９＝１３２１ポイントです。
２０ポイントごとに、デジタルカメラを買って得るポイントは１ポイントずつ減ります。
カメラケース用のポイントは、
８５０－（１から２０ポイントまで）＋４８９＝１３３８から１３１９
８５０－（２１から４０ポイントまで）＋４８８＝１３１７から１２９８
８５０－（４１から６０ポイントまで）＋４８７＝１２９６から１２７７
・・・・
となります。
１３３８→１３１７→１２９６→ ・・・ と２１ずつ減っているので、
１０５０ポイントになるのは、
（１３３８－１０５０）÷２１＝１３あまり１５ より、
８５０－（２６１から２８０ポイントまで）＋４７６ のところの、
８５０＋４７６－１０５０＝２７６ポイント
を使ったときとわかります。
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合計が10となる、０でない３つの整数があります。
次の式の□の中には、これらの整数か１つずつ入ります。
この式の値が最も小さくなるとき、式の値はいくつですか。
ただし、３つの整数のうち、２つは同じ数でもよいものとします。
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□×□×□ が最大になる場合が、
分数の分母が最大になり、分数が最小になります。
和が１０で、積が最大になるのは、３、３、４の場合なので、
５/１７×４/４×３/３×２/３
＝５/１７×２/３
＝１０/５１
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７５人の子供に２つの品物 Ｘ、Ｙ を持っているかどうかについて調べたところ、
Ｘ を持っている人は２１人でした。
また、Ｘ だけを持っている人は、Ｙ だけを持っている人の半分で、
どちらも持っていない人は、両方とも持っている人の３倍でした。
このとき次の問に答えなさい。
（１）両方とも持っている人は何人ですか。
（２）Ｙ を持っている人は何人ですか。
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（１）Ｘ だけを持っている人数を【１】、両方持っている人数を①とすると、
Ｙ だけを持っている人数は【２】、どちらも持っていない人数は③で、
下の図１のような【べん図】を描くことができます。
【１】＋①＝２１人 で、【２】＋②＝４２人 です。
図１では、【１】＋①＋【２】＋③＝７５人 なので、
①＝７５－（２１＋４２）＝１２人 とわかります。
よって、両方とも持っている人は、１２人です。
（２）（１）より、【１】＝２１－１２＝９人 なので、
Ｙ を持っている人数は、
９×２＋１２＝３０人
とわかります。
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Ａ、Ｂの２人は１周２７０ｍの流れるプールで泳ぎました。プールの流れの速さが毎分２５ｍのとき、Ａは流れに逆らって１００ｍを２分で泳ぎました。次の問いに答えなきい。
（１）Aは、流れのない状態で１００ｍを何分何秒で泳ぎますか｡
（２）このプールの流れの速さが変わったとき、２人は同じ地点から同時lこ、Ａは流れと同じ方向に、Bは流れと反対の方向に泳ぎました。Bは、流れのない状態では毎分６０ｍの速さで泳ぎます。２人が出会ったとき、AはBよりも１５４ｍ多く泳いでいました。このときプールの流れの速さは毎分何ｍですか。
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解法例
（１）Aは１分間に１００÷２＝５０ｍ泳ぎました。
流れがなければ、毎分 ５０＋２５＝７５ｍの速さで泳ぐので、
１００ｍなら、１００÷７５＝４/３分→１分２０秒で泳ぎます。
（２）変わった流れの速さを毎分□ｍとすると、
Aの速さは毎分７５＋□ｍ
Bの速さは毎分６０－□ｍ
２人が出会うまでの時間は、
２７０÷｛（７５＋□）＋（６０－□）｝
□が消えてしまうので、流れがないときと同じです。
２７０÷（７５＋６０）＝２分
Aは出会うまで、（２７０＋１５４）÷２＝２１２ｍ泳いだので、
毎分２１２÷２＝１０６ｍの速さです。
流れの速さは、１０６－７５＝３１ｍ です。
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A、B、C、Dは連続する２けたの整数で、
A×A×A＋B×B×B＋C×C×C＋D×D×D＝２０×２０×２０
＝８０００ です。
A、B、C、Dはそれぞれいくつでしょうか？
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１１×１１×１１＋１２×１２×１２＋１３×１３×１３＋１４×１４×１４
＝２０×２０×２０
＝８０００
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底辺が６ｃｍ、高さが８ｃｍの同じ形の直角三角形が
図のように重なっています。
黄色い部分の面積は何ｃ㎡でしょうか。
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交点Oから辺AB、BCに垂線を下ろすと、
２つの△緑は合同で、元の直角三角形と相似です。
相似比は８：６＝４：３ なので、
④＝６ｃｍ×４/７＝２４/７ｃｍ
△赤＝２×２４/７÷２＝２４/７ｃ㎡
求める面積＝６×８÷２－２４/７＝２０と４/７ｃ㎡
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３桁の暗証番号があります。その暗証番号は・・・・・・
A：１１で割ったら７余る。
B：１３で割った余りと１２で割った余りは等しい。
C：５で割っても、７で割っても余りは４．
D：各位の数字の和が１３。
E：各位の数字のうち最大のものと最小のものの差は３で、最大の数字は百の位。
F：各位の数字の積は７２。
さて、暗証番号はいくつ？
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DとEより、
９□６・・・・・・×
８□５・・・・・・×
７□４・・・・・・×
６□３・・・・・・○
５□２・・・・・・×
４□１・・・・・・×
３□０・・・・・・×
となるので、６４３ か ６３４ のどちらかです。
Aより、
６４３÷１１＝５８あまり５
６３４÷１１＝５７あまり７ なので
６３４
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下の図の○の中に入る整数を考えて、
ア～ウにあてはまる整数を答えてください。
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４０－４＝３６
ア＝３６÷３＝１２
イ＝３６÷２＝１８
（１２－１)÷１＝３・・・×
（１２－２)÷２＝３・・・×
（１２－３)÷３＝３・・・○
（１２－４)÷４＝３・・・×
（１２－５)÷５＝３・・・×
（１２－６)÷６＝３・・・×
（１２－７)÷７＝３・・・×
（１２－８)÷８＝３・・・×
（１２－９)÷９＝３・・・×
（１２－１０)÷１０＝３・・・×
ウ＝３
（１２－１１)÷１１＝３・・・×
（１２－１２)÷１２＝３・・・×
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下の図で黄色い三角形はすべて面積が等しく、BC：CD＝３：２です。
三角形ABCの面積が７２ｃ㎡のとき、
（１）CE：EH を求めなさい。
（２）三角形BFGの面積は何ｃ㎡ですか。
（３）三角形BDGの面積は何ｃ㎡ですか。
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BC：CD＝３：２より、面積比も△CDE：△BCE＝②：③
面積比が △赤：△（黄＋緑）＝３：２ なので、
長さ比 BF：FH＝３：２
すると、△BEFと△FEHの面積比は③：② になり、
△BEH：△BCE＝（③＋②）：③＝⑤：③ となって、
CE：EH＝３：５
GHを結び、△緑と△青に注目すると、
対頂角Fをはさんで２辺の比が２：３と等しいので、相似になることがわかります。
すると、赤太線と青太線は平行になり、
△AGHと△ABEも相似比２：３の相似になります。
AH：AE＝２：３ なのでEHを５とすると、AHは１０になり、
△ABHの面積比は⑩なので、四角形AGFHは⑩－②＝⑧です。
△ABC＝⑱＝７２ｃ㎡ なので、
△BFG＝②＝７２×②/⑱＝８ｃ㎡
△BDG＝⑩＝７２×⑩/⑱＝４０ｃ㎡
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