何故そうなるのか、その理由は?(駒場東邦中学 2006年)
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下の図の三角形ABC は、角Aの大きさが30度、
辺BCの長さが 10cmで、その面積は92c㎡ です。
辺BC,CA,ABの上にある 点をそれぞれX,Y,Z とします。
また、点X の辺AB,AC に関して線対称となる点をそれぞれP,Q とします。
このとき、次の問に答えなさい。
(1)三角形XYZの周の長さは、
4点P,Z,Y,Qを結ぶ折れ線の長さに等しくなります。
その理由を説明しなさい。
(2)三角形APQはどのような三角形になりますか。
その理由も説明しなさい。
(3)三角形XYZの周の長さが最も短くなるように、
点X,Y,Z の位置を決めたとき、その長さを求めなさい。
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(1)まず、点P,Qの位置は、下の図1のように、点X から辺AB,AC に垂線を下ろして、
交点をそれぞれ点D,E としたとき、
DX=PX、EX=QX となるように垂線を延ばしていったところになります。
ここで、三角形ZPX、YQX について考えると、下の図2より
点Z から 辺PX に垂線を下ろすと、辺PX が2等分されているので
三角形ZPX は二等辺三角形であるといえます。
同様に、三角形YQX も二等辺三角形であるといえます。
よって、XZ=PZ,XY=QY となるので、三角形XYZ の周の長さは
4点P,Z,Y,Q を結ぶ折れ線の長さと等しくなります。
(2)続いて、下の図3のように三角形APX,AQX を考えると
(1)と同様に、頂点A から辺PX,QX に下ろした垂線は、
底辺を二等分しているので、三角形APX,AQX は二等辺三角形ということがいえます。
よって、AP=AX=AQ とわかります。
AD,AE は角の二等分線なので、下の図4のように
角XAD=■、角XAE=● とすると、■+●=30°なので
角PAQ=60° とわかります。
ゆえに、三角形APQは、AP=AQで、角A=60°の二等辺三角形、
すなわち、正三角形 です。
(3)(1)より、三角形XYZ の周の長さは、PZ+ZY+YQ の長さに等しいので、
この長さが最短となるのは、4点P,Z,Y,Q が下の図5のように一直線に並んだときで、
この長さは正三角形APQ の1辺の長さに等しいです。
つまり、三角形AQP の1辺の長さが最も短くなるのがどんなときかを考えると、
AP=AQ=AX なので、
AX の長さが最も短くなるときです。
点X は辺BC 上の点なので、AX の長さが最も短くなるのは、
点A と辺BC のキョリが最短となる位置に点X があるときで
点X が点A から辺BC に下ろした垂線との交点にあるときです。
このとき、AX の長さは、三角形ABC の面積が92c㎡、
辺BC=10cm なので、
AX=92×2÷10=18.4cm
と求められ、三角形XYZの周の長さが最短となるとき、
その長さは、18.4cm です。
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