何故そうなるのか、その理由は？（駒場東邦中学 2006年）

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下の図の三角形ＡＢＣ は、角Ａの大きさが３０度、

辺ＢＣの長さが １０ｃｍで、その面積は９２ｃ㎡ です。

辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの上にある 点をそれぞれＸ，Ｙ，Ｚ とします。

また、点Ｘ の辺ＡＢ，ＡＣ に関して線対称となる点をそれぞれＰ，Ｑ とします。

このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　　　　　　

（１）三角形ＸＹＺの周の長さは、

     ４点Ｐ，Ｚ，Ｙ，Ｑを結ぶ折れ線の長さに等しくなります。

     その理由を説明しなさい。

（２）三角形ＡＰＱはどのような三角形になりますか。

    その理由も説明しなさい。

（３）三角形ＸＹＺの周の長さが最も短くなるように、

     点Ｘ，Ｙ，Ｚ の位置を決めたとき、その長さを求めなさい。

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（１）まず、点Ｐ，Ｑの位置は、下の図１のように、点Ｘ から辺ＡＢ，ＡＣ に垂線を下ろして、

交点をそれぞれ点Ｄ，Ｅ としたとき、

ＤＸ＝ＰＸ、ＥＸ＝ＱＸ となるように垂線を延ばしていったところになります。

　　　　　

ここで、三角形ＺＰＸ、ＹＱＸ について考えると、下の図２より

　　　　　

点Ｚ から 辺ＰＸ に垂線を下ろすと、辺ＰＸ が２等分されているので

三角形ＺＰＸ は二等辺三角形であるといえます。

同様に、三角形ＹＱＸ も二等辺三角形であるといえます。

よって、ＸＺ＝ＰＺ，ＸＹ＝ＱＹ となるので、三角形ＸＹＺ の周の長さは

４点Ｐ，Ｚ，Ｙ，Ｑ を結ぶ折れ線の長さと等しくなります。

（２）続いて、下の図３のように三角形ＡＰＸ，ＡＱＸ を考えると

　　　　　

（１）と同様に、頂点Ａ から辺ＰＸ，ＱＸ に下ろした垂線は、

底辺を二等分しているので、三角形ＡＰＸ，ＡＱＸ は二等辺三角形ということがいえます。

よって、ＡＰ＝ＡＸ＝ＡＱ とわかります。

ＡＤ，ＡＥ は角の二等分線なので、下の図４のように

角ＸＡＤ＝■、角ＸＡＥ＝● とすると、■＋●＝３０°なので

　　　　　

角ＰＡＱ＝６０° とわかります。

ゆえに、三角形ＡＰＱは、ＡＰ＝ＡＱで、角Ａ＝６０°の二等辺三角形、

すなわち、正三角形 です。

（３）（１）より、三角形ＸＹＺ の周の長さは、ＰＺ＋ＺＹ＋ＹＱ の長さに等しいので、

この長さが最短となるのは、４点Ｐ，Ｚ，Ｙ，Ｑ が下の図５のように一直線に並んだときで、

この長さは正三角形ＡＰＱ の１辺の長さに等しいです。

つまり、三角形ＡＱＰ の１辺の長さが最も短くなるのがどんなときかを考えると、

ＡＰ＝ＡＱ＝ＡＸ なので、

ＡＸ の長さが最も短くなるときです。

点Ｘ は辺ＢＣ 上の点なので、ＡＸ の長さが最も短くなるのは、

点Ａ と辺ＢＣ のキョリが最短となる位置に点Ｘ があるときで

点Ｘ が点Ａ から辺ＢＣ に下ろした垂線との交点にあるときです。

このとき、ＡＸ の長さは、三角形ＡＢＣ の面積が９２ｃ㎡、

辺ＢＣ＝１０ｃｍ なので、

ＡＸ＝９２×２÷１０＝１８．４ｃｍ

と求められ、三角形ＸＹＺの周の長さが最短となるとき、

その長さは、１８．４ｃｍ です。

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