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2014年8月16日 (土)

何故そうなるのか、その理由は?(駒場東邦中学 2006年)

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下の図の三角形ABC は、角Aの大きさが30度、

辺BCの長さが 10cmで、その面積は92c㎡ です。

辺BC,CA,ABの上にある 点をそれぞれX,Y,Z とします。

また、点X の辺AB,AC に関して線対称となる点をそれぞれP,Q とします。

このとき、次の問に答えなさい。

            Pic_3159q

(1)三角形XYZの周の長さは、

     4点P,Z,Y,Qを結ぶ折れ線の長さに等しくなります。

     その理由を説明しなさい。

(2)三角形APQはどのような三角形になりますか。

    その理由も説明しなさい。

(3)三角形XYZの周の長さが最も短くなるように、

     点X,Y,Z の位置を決めたとき、その長さを求めなさい。

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(1)まず、点P,Qの位置は、下の図1のように、点X から辺AB,AC に垂線を下ろして、

交点をそれぞれ点D,E としたとき、

DX=PX、EX=QX となるように垂線を延ばしていったところになります。

     Pic_3160a

ここで、三角形ZPX、YQX について考えると、下の図2より

     Pic_3161a

点Z から 辺PX に垂線を下ろすと、辺PX が2等分されているので

三角形ZPX は二等辺三角形であるといえます。

同様に、三角形YQX も二等辺三角形であるといえます。

よって、XZ=PZ,XY=QY となるので、三角形XYZ の周の長さは

4点P,Z,Y,Q を結ぶ折れ線の長さと等しくなります。

 

(2)続いて、下の図3のように三角形APX,AQX を考えると

     Pic_3162a

(1)と同様に、頂点A から辺PX,QX に下ろした垂線は、

底辺を二等分しているので、三角形APX,AQX は二等辺三角形ということがいえます。

よって、AP=AX=AQ とわかります。

AD,AE は角の二等分線なので、下の図4のように

角XAD=■、角XAE=● とすると、■+●=30°なので

     Pic_3163a

角PAQ=60° とわかります。

ゆえに、三角形APQは、AP=AQで、角A=60°の二等辺三角形、

すなわち、正三角形 です。

(3)(1)より、三角形XYZ の周の長さは、PZ+ZY+YQ の長さに等しいので、

この長さが最短となるのは、4点P,Z,Y,Q が下の図5のように一直線に並んだときで、

Pic_3164a

この長さは正三角形APQ の1辺の長さに等しいです。

つまり、三角形AQP の1辺の長さが最も短くなるのがどんなときかを考えると、

AP=AQ=AX なので、

AX の長さが最も短くなるときです。

点X は辺BC 上の点なので、AX の長さが最も短くなるのは、

点A と辺BC のキョリが最短となる位置に点X があるときで

点X が点A から辺BC に下ろした垂線との交点にあるときです。

このとき、AX の長さは、三角形ABC の面積が92c㎡、

辺BC=10cm なので、

AX=92×2÷10=18.4cm

と求められ、三角形XYZの周の長さが最短となるとき、

その長さは、18.4cm です。

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